正规文法与有限自动机的相互转换.docx
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正规文法与有限自动机的相互转换
淮阴工学院
编译原理课程设计报告
选题名称:
正规文法与有限自动机的相互转换
系（院）:
计算机工程学院
专业:
计算机科学与技术（软件工程方向）
班级:
软件1082
姓名:
陈超学号:
02
指导教师:
高丽王文豪江波于永彦
学年学期:
2011~2012学年第1学期
2012年01月07日
摘要：
正规文法包括左线性文法和右线性文法。
由于正规文法和正规表达式在描述语言的能力上是等价的，而正规表达式和有限自动机在描述语言的能力上也是等价的，因此，正规文法和有限自动机之间也存在着等价性。
通常，对于正规文法G和有限自动机M，G所定义的语言记作L（G），M所能识别的语言记作L（M），如果有L（G）=L（M）,则称G和M是等价的。
关键词：
正规文法；有限自动机；等价性；构造方法
1课题综述
目的
1.理解正规文法与有限自动机（FA）的本质联系；
2.掌握正规文法与有限自动机之间相互转化的算法原理；
3.学会使用VisualC++等编程工具实现正规文法与有限自动机之间的相互转化；
设计内容
使用VisualC++/VisualC#等工具，设计软件MySoft_3，可以实现以下功能：
1.根据用户输入的文本文件（*.txt）的名称，打开文件，并从文件中获取文法的产生式、非终结符、终结符、开始符等基本信息；
2.判断该文法是否为正规文法，若是，则将其转化为有限自动机；
3.根据用户输入的文本文件（*.txt）的名称，打开文件，并从文件中获取有限自动机的状态集、字母表、初态、终态集、转移函数等基本信息；
4.判断该自动机是否合法，若合法，则将其转化为正规文法；
设计原则
正规文法与有穷自动机有着特殊的关系，采用下面的规则可从正规文法G直接构造一个有穷自动机NFAM；使得L（M）=L（G）：
（1）M的字母表与G的终结符相同；
（2）为G中的每一个非终结符生成M的一个状态，G的开始符S是开始状态；
（3）增加一个新状态Z，作为NFA的终态；
（4）对G中的形如A->tB的规则（其中T为终结符或，A为非终结符的产生式），构造M的一个转换函数f（A,t）=B；
（5）对G中形如A->t的产生式，构造M的一个转换函数f（A，t）=Z。
2系统分析
正规式
正规式：
正则表达式，表示正规集的工具。
一个正规式对应一个正规文法（3型文法）
之间能够进行准换
三个基本规则：
A->xB,B->y 则A=xy。
A->xA|y 则A=x*y （x*代表x从1到无穷多个）
A->x,A->y则A=x|y
正规式主要用到了递归的思想，无论遇到多复杂的正规式都可以拆分成上面这三种形式，然后进行解题。
有限自动机（有穷自动机）
DFA（DeterministicFiniteAutomation）：
确定的有限自动机
表达式：
M=（S，∑，f，So，Z）
为一个有限状态集合
2.∑是一个字母表，它所包含的的每个元素称为一个输入字符；
是一个从SX∑（笛卡尔乘积）至S的单值部分映射。
f（S，a）=s'意味着当现在的状态为s，输入字符a时，将转换到下一状态s'.s'为s的一个后继状态。
∈S，是唯一的初态；
⊆S，是一个终态集。
NFA（Nondeterministic Finite Automata）：
不确定的有限自动机
如果理解了有限自动机，则无限自动机和它的区别就是上面的第四项。
So⊆S，它的初态不是唯一的，而是一个集合。
向DFA的转换
这个转换是一个比较简单的过程。
1.如果有一个不确定的有限自动机，则可以转化为图的方式。
此处不详述怎样转图的方式。
2.先将初态确定，然后根据输入的每个元素可以得到哪些状态，依次列表。
3.这些状态集合可以称为这个有限状态集合n个子集。
按0,1,2……的顺序编号。
4.因为这些子集之间的关系是输入一个确定值确定的，所以这些子集之间存在一些关系，即把这些子集的关系写出来完成NFA向DFA的转换。
如果不懂可以从网上找一个例子进行理解。
正规式与有限自动机之间的转换
任意的正规式都可以转换为上述三种的表现形式。
在一个有限自动机转换为正规式时，就是考虑从初态到终态可以输入哪些数据到达。
而这些数据可以用哪种正规式概括进来。
3系统设计
从正规文法到有限自动机
正规文法到有限自动机的等价性证明
定理1：
对于每一个右线性正规文法GR和左线性正规文法GL，都存在一个有限自动机M与之等价。
证明：
1.设右线性文法GR=（VT,VN,S,P），将VN中每个非终结符视为状态符号，并增加一个新的终止符号f，（fVN）。
令M=（VN{f}，VT，d，S，{f}），其中状态转换函数d由以下规则定义：
①若对某个AVN及aVT{ε}，P中有产生式A→a，则令d（A，a）=f；
②对任意的AVN及aVT{ε}，设P中左端为A右端第一个符号为a的所有产生式为A→aA1∣aA2∣…∣aAk（不包括A→a），则令d（A，a）={A1，A2，…，Ak}。
显然上述得到的M为一个NFA。
到此，已说明存在一个FAM与该右线性文法对应，下面说明它们的等价性（L（GR）=L（M））。
对右线性正规文法GR，在SW的最左推导过程中，利用A→aB一次就相当于在M中从状态A出发经标记为a的箭弧到达状态B（包括a=ε的情形）。
在推导过程的最后，利用A→a一次则相当于在Ｍ中从状态A出发经标记为a的箭弧到达终态f（包括a=ε的情形）。
综上所述，在正规文法GR中，SW的充要条件是：
在M中，从状态S到状态f有一条通路，其上所有箭弧的标记符号依次连接起来恰好等于W，这就是说，WL（GR）当且仅当WL（M），故L（GR）=L（M）。
2.设左线性文法GL=（VT,VN,S,P），将VN中每个非终结符视为状态符号，并增加一个新的初始状态符号q，（qVN）。
令M=（VN{q}，VT，d，q，{S}），其中状态转换函数d由以下规则定义：
①若对某个AVN及aVT{ε}，P中有产生式A→a，则令d（q，a）=A；
②对任意的AVN及aVT{ε}，设P中所有右端第一个符号为A，第二个符号为a的所有产生式为A1→Aa，A2→Aa，…，AK→Aa，则令d（A，a）={A1，A2，…，Ak}。
显然上述得到的M为一个NFA。
到此，已说明存在一个FAM与该左线性文法对应，下面说明它们的等价性（L（GL）=L（M））。
对左线性正规文法GL，在SW的最左推导过程中，利用B→Aa一次就相当于从状态A出发经标记为a的箭弧到达状态B（包括a=ε的情形）。
在推导的最后，利用A→a一次则相当于在Ｍ中从状态q出发经标记为a的箭弧到达状态A（包括a=ε的情形）。
综上所述，在正规文法GL中，SW的充要条件是：
在M中，从状态q到状态S有一条通路，其上所有箭弧的标记符号依次连接起来恰好等于W，这就是说，WL（GL）当且仅当WL（M），故L（GL）=L（M）。
正规文法到有限自动机的构造方法
上述定理的证明采用了构造性的证明方法，由此可以得出由正规文法到有限自动机的构造方法。
从右线性正规文法GR=（VT,VN,S,P）构造有限自动机M=（VN{f}，VT，d，S，{f}）的方法如下：
①将VN中每个符号视为一个状态符号，增加一个新的终态符号f，fVN；
②对于产生式A→a（aVT{ε}），则构造d（A，a）=f；
③对于产生式A→aA1（aVT{ε}），则构造d（A，a）=A1。
从左线性正规文法GL=（VT,VN,S,P）构造有限自动机M=（VN{q}，VT，d，q，{S}）的方法如下：
①将VN中每个符号视为一个状态符号，增加一个新的初态符号q，qVN；
②对于产生式A→a（aVT{ε}），则构造d（q，a）=A；
③对于产生式A1→Aa（aVT{ε}），则构造d（A，a）=A1。
从有限自动机到正规文法
有限自动机到正规文法的等价性证明
定理2：
对于每一个有限自动机M，都存在一个右线性正规文法GR和左线性正规文法GL与之等价。
证明：
1.设DFAM=（S，∑，d，S0，F），分以下两种情况进行证明：
（1）若S0F，则令GR=（∑,S,S0,P），其中P是由以下规则定义的产生式集合，对任何a∑及A,BS，若d（A，a）=B，则：
①当BF时，令A→aB；
②当BF时，令A→aB∣a；
显然，上述得到的文法为一个右线性正规文法，下面说明它们的等价性（L（M）=L（GR））。
在DFAM中，对任何w∑*，不妨设w=a1a2…ak，其中ai∑（i=1,2,…,k），若SW，则存在一个最左推导：
S0a1A1a1a2A2…a1…aiAia1…aiai+1Ai+1…a1…ak，因而，在M中存在一条从S0出发一次经过A1，…，Ak-1到达终态的通路，该通路上所有箭弧的标记依次为a1，…，ak。
反之亦然。
所以，wL（GR）当且仅当wL（M），故L（M）=L（GR）。
（2）若S0F，因为d（S0,ε）=S0，所以εL（M），但上面构造的L（GR）中不含ε。
因此，需在文法中添加产生式S0→ε，这样，就有L（M）=L（GR）。
2.设DFAM=（S，∑，d，S0，F），分以下两种情况进行证明：
（1）若S0F，则令GL=（∑,S,X,P），其中XF，P是由以下规则定义的产生式集合，对任何a∑及A,BS，若d（A，a）=B，则：
①当A≠S0时，令B→Aa；
②当A=S0时，令B→a∣Aa；
显然，上述得到的文法为一个左线性正规文法，下面说明它们的等价性（L（M）=L（GL））。
在DFAM中，对任何w∑*，不妨设w=a1a2…ak，其中ai∑（i=1,2,…,k），若存在一条从S0到X的通路，通路上所有箭弧的标记依次为a1，…，ak，则在GL中一定存在一个最左推导：
XAkakAk-1ak-1ak…A2a2…ak…a1…ak，即wL（GL）。
反之亦然。
所以，wL（GL）当且仅当wL（M），故L（M）=L（GL）。
（2）若S0F，则εL（M），但上面构造的L（GL）中不含ε。
因此，需在文法中添加产生式X→ε，这样，就有L（M）=L（GL）。
有限自动机到正规文法的构造方法
上述定理的证明采用了构造性的证明方法，由此可以得出由有限自动机到正规文法的构造方法。
从有限自动机M=（S，∑，d，S0，F）构造右线性正规文法GR的方法如下：
令GR=（∑,S,S0，P），其中P是由以下规则定义的产生式集合：
对任何d（A，a）=B,
①若BF，则令A→aB；
②若BF，并且B状态有箭弧射出，则令A→aB∣a；若BF，并且B状态没有箭弧射出，则令A→a；
③若S0F，则令S0→ε。
从有限自动机M=（S，∑，d，S0，F）构造左线性正规文法GL的方法如下：
令GL=（∑,S,X，P），其中P是由以下规则定义的产生式集合：
对任何d（A，a）=B,
①若A不是初始状态，则令B→Aa；
②若A是初始状态，并且A状态有箭弧射入，则令B→Aa∣a；若A是初始状态，并且A状态没有箭弧射入，则令B→a；
③若S0F，则令X→ε。
4代码编写
#include
usingnamespacestd;
intmain（）
{
intn,m;
和于永彦火旺等.程序设计语言编译原理（第3版）[M].北京：
国防工业出版社，2000.7
2.胡元义.编译原理教程（第二版）[M].西安：
西安电子科技大学出版社，2006.8
3.刘坚.编译原理基础[M].西安：
西安电子科技大学出版社，2002.4
4.吕映芝.编译原理[M].北京：
清华大学出版社，1998.5
5.胡元义等.编译原理课程辅导与习题解析[M].北京：
人民邮电出版社，2002.
指导教师评语
学号
02
姓名
陈超
班级
软件1082
选题
名称
正规文法与有限自动机的相互转换
序号
评价内容
权重（%）
得分
1
考勤记录、学习态度、工作作风与表现。
5
2
自学情况：
上网检索机时数、文献阅读情况。
10
3
论文选题是否先进，是否具有前沿性或前瞻性。
5
4
成果验收：
是否完成设计任务；能否运行、可操作性如何等。
20
5
报告的格式规范程度、是否图文并茂、语言规范及流畅程度；主题是否鲜明、重心是否突出、论述是否充分、结论是否正确；是否提出了自己的独到见解。
30
6
文献引用是否合理、充分、真实。
5
7
答辩情况：
自我陈述、回答问题的正确性、用语准确性、逻辑思维、是否具有独到见解等。
25
合计
指导教师（签名）：
年月日
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