小学奥数带余除法.docx

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小学奥数带余除法

小学奥数带余除法

2.6带余除法

2.6.1相关概念

在整数范围内，整数a除以整数b（b≠0），若有a÷b＝q……r，（即a=bq+r），0≤r＜b。

当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。

2.6.2余数的性质

⑴被除数=除数×商＋余数，除数=（被除数－余数）÷商，商=（被除数－余数）÷除数。

⑵余数小于除数。

2.6.3同余定理

（1）如果a，b除以c的余数相同，就称a、b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。

（a、b、c均为正整数）例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

（2）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。

注意：

当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（3）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。

注意：

当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

性质

（2）（3）都可以推广到多个自然数的情形。

2.6.4典型例题

例15122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

分析与解：

由性质

（2）知，除数×商=被除数-余数。

5122-66=5056，

5056应是除数的整数倍。

将5056分解质因数，得到

5056=26×79。

由性质

（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。

例2被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

解：

因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52，被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数，所以除数×33+52=2058-除数，所以除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。

例3甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

解：

因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

所以乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

例4有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。

求这个数。

分析与解：

先由题目条件，求出这个数的大致范围。

因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。

由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。

将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。

所求整数是29。

例5求478×296×351除以17的余数。

分析与解：

先求出乘积再求余数，计算量较大。

根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

所求余数是1。

例6甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。

两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。

参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。

如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

分析与解：

甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

（11×25）÷36=7……23，

即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

例79437569与8057127的乘积被9除，余数是__。

讲析：

一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。

9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。

7×3=21，21÷9=2……3。

所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。

例8在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。

讲析：

可将1、2、3、……、1994这1994个数，分别除以26。

然后，按所得的余数分类。

要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。

但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。

这样的数有1994÷26=76（个）……余18（个）。

但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。

所以，最多能选出77个。

例9一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。

这个整数是_____。

讲析：

如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。

因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。

不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。

例10小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。

那么该题的余数是多少？

讲析：

被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。

又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。

例11五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。

夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。

第三、四、五只猴子也都这样做。

问：

最初至少有______个桃子。

讲析：

因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1个桃子。

于是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等份了。

加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。

因为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成5等份。

这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了。

所以，这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（个）。

例12在1、2、3、……、30这30个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。

讲析：

我们可将1到30这30个自然数分别除以7，然后按余数分类。

余数是0：

7、14、21、28

余数是1：

1、8、15、22、29

余数是2：

2、9、16、23、30

余数是3：

3、10、17、24

余数是4：

4、11、18、25

余数是5：

5、12、19、26

余数是6：

6、13、20、27

要使两数之和不是7的倍数，必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。

所以，可以取余数是1、2、3的数，不取余数是4、5、6的数。

而余数为0的数只取一个。

　　故最多可以取15个数。

例13一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。

求满足条件的最小自然数。

分析与解：

这道例题就是《孙子算经》中的问题。

这个问题有三个条件，一下子不好解答。

那么，我们能不能通过先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢？

我们试试看。

满足“除以3余2”的数，有2，5，8，11，14，17，…

在上面的数中再找满足“除以5余3”的数，可以找到8，8是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”两个条件的数，容易知道，8再加上3与5的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有

8，23，38，53，68，…

在上面的数中再找满足“除以7余2”的数，可以找到23，23是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三个条件的数。

23再加上或减去3，5，7的公倍数，仍然满足这三个条件，[3，5，7]=105，因为23＜105，所以满足这三个条件的最小自然数是23。

在例1中，若找到的数大于[3，5，7]，则应当用找到的数减去[3，5，7]的倍数，使得差小于[3，5，7]，这个差即为所求的最小自然数。

例14求满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然数。

分析与解：

与例1类似，先求出满足“除以5余1”的数，有6，11，16，21，26，31，36，…

在上面的数中，再找满足“除以7余3”的数，可以找到31。

同时满足“除以5余1”、“除以7余3”的数，彼此之间相差5×7=35的倍数，有31，66，101，136，171，206，…

在上面的数中，再找满足“除以8余5”的数，可以找到101。

因为101＜[5，7，8]=280，所以所求的最小自然数是101。

在例1、例2中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部三个约束条件的数。

这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。

例15在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？

解：

满足“除以3余2”的数有5，8，11，14，17，20，23，…

再满足“除以7余3”的数有17，38，59，80，101，…

再满足“除以11余4”的数有59。

因为阳[3，7，11]=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。

（10000-59）÷231=43……8，所以在10000以内符合题意的数共有44个。

例16求满足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然数。

分析与解：

如果给所求的自然数加3，所得数能同时被6，8，9整除，所以这个自然数是

[6，8，9]-3=72-3=69。

带余除法（五年级奥数题及答案）

来源：

奥数网整理文章作者：

　　2010-08-1710:

09:

26

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五年级奥数答案]

带余除法69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。

分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：

15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余数相同（余数都是1）。

但是19-15能被2整除.由此我们可以得到

　　带余除法

　　69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。

　　分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：

15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余数相同（余数都是1）。

但是19-15能被2整除.由此我们可以得到这样的结论：

如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。

　　反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。

　　解答：

　　∵三个整数被N除余数相同，

　　∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，

　　∴N是21和35的公约数。

　　∵要求N的最大值，

　　∴N是21和35的最大公约数。

　　∵21和35的最大公约数是7，

　　∴N最大是7。