精品讲义人教版九年级数学上专题253 用频率估计概率知识点+例题+练习题含答案.docx
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精品讲义人教版九年级数学上专题253用频率估计概率知识点+例题+练习题含答案
第二十五章概率初步
25.3用频率估计概率
用频率估计概率
连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次、20次、30次、40次、50次……分别记录每轮试验中硬币“正面向上”和“反面向上”出现的次数，求出“正面向上”和“反面向上”的频率，分析数据，可探索出频率的变化规律．
帮—重点
用随机事件的频率估计事件发生的概率
帮—难点
体验当试验的所有可能结果不是有限个或不是等可能出现时，要用频率估计概率
帮—易错
不能正确理解概率与频率的关系
用频率估计概率
（1）从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．
（2）一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率
稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P（A）=p．
一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计摸到黄球的概率为
A．0.3B．0.7
C．0.4D．0.6
【答案】A
【解析】∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，
∴估计摸到黄球的概率为0.3，故选A．
【名师点睛】一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率
稳定于某个常数p，那么估计事件A发生的概率P（A）=p．试验得出的频率只是概率的估计值．概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映出的规律并非在每一次试验中都发生．
下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题：
投篮次数（n）
50
100
150
209
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
124
153
252
投中频率（
）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
____
____
（1）将表格补充完成；（精确到0.01）
（2）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？
（3）根据此概率，估计这名同学投篮622次，投中的次数约是多少？
【解析】
（1）153÷300=0.51，252÷500≈0.50；
故答案为：
0.51，0.50；
（2）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是0.5；
（3）622×0.5=311（次）．
所以估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次．
1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是
A．频率等于概率
B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
D．试验得到的频率和概率不可能相等
2．随机事件A出现的频率
满足
A．
=0B．
=1
C．
＞1D．0<
<1
3．两人各抛一枚硬币，则下面说法正确的是
A．每次抛出后出现正面或反面是一样的
B．抛掷同样的次数，则出现正、反面的频数一样多
C．在相同条件下，即使抛掷的次数很多，出现正、反面的频数也不一定相同
D．当抛掷次数很多时，出现正、反面的次数就相同了
4．一个不透明的口袋里装有除颜色不同外其余都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：
先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出1球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球有
A．60个B．50个C．40个D．30个
5．在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共
个，每个球除颜色外都相同，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于
，则可估计这个袋中红球的个数约为__________．
6．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的a=__________；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到0.1）；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？
7．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：
抽取的彩色弹力球数n
500
1000
1500
2000
2500
优等品频数m
471
946
1426
1898
2370
优等品频率
0.942
0.946
0.951
0.949
0.948
（1）请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图
（2）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？
（精确到0.01）
（3）从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率．
（4）现从第（3）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为
，求取出了多少个黑球？
1．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，它们的形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后放回……如此大量摸球试验后，小新发现从布袋中摸出红球的频率稳定于0.2，摸出黑球的频率稳定于0.5，对此试验，他总结出下列结论：
①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率应稳定于0.3；
②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；
③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．
其中说法正确的是
A．①②③B．①②C．①③D．②③
2．抛掷一枚质地均匀的硬币
次，正面朝上的次数最有可能为
A．
B．
C．
D．
3．在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有________个白球．
4．一鱼池里有鲤鱼，鲫鱼，鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼，鲫鱼出现的概率约为31%和42%，则这个鱼池里大概有鲤鱼______尾，鲫鱼______尾，鲢鱼______尾.
5．某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下表．
（1）从这批衬衣中抽1件是次品的概率约为多少？
（2）如果销售这批衬衣600件，那么至少要再准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客更换？
6．小明抛硬币的过程（每枚硬币只有正面朝上和反面朝上两种情况）见下表，阅读并回答问题：
抛掷结果
10次
50次
500次
5000次
出现正面次数
3
24
258
2498
出现正面的频率
30%
48%
51.6%
49.96%
（1）从表中可知，当抛完10次时正面出现3次，正面出现的频率为30%，那么，小明抛完10次时，得到__________次反面，反面出现的频率是__________；
（2）当他抛完5000次时，反面出现的次数是__________，反面出现的频率是__________；
（3）通过上表我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于__________，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于__________.
1．（2019•湖北襄阳）下列说法错误的是
A．必然事件发生的概率是1
B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生
D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
2．（2019•江苏泰州）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近
A．20B．300
C．500D．800
3．（2019•绍兴）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：
组别（cm）
x<160
160≤x<170
170≤x<180
x≥180
人数
5
38
42
15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是
A．0.85B．0.57C．0.42D．0.15
4．（2019•柳州）柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
种子数n
30
75
130
210
480
856
1250
2300
发芽数m
28
72
125
200
457
814
1187
2185
发芽频率
0.9333
0.9600
0.9615
0.9524
0.9521
0.9509
0.9496
0.9500
依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是__________（结果精确到0.01）．
5．（2019•长沙）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
“摸出黑球”的次数
36
387
2019
4009
19970
40008
“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）
0.360
0.387
0.404
0.401
0.399
0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是__________．（结果保留小数点后一位）
6．（2019•雅安）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．
根据统计图：
（1）求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数；
（2）补全折线统计图；
（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？
1．【答案】C
【解析】概率是一个确定的数，频率是一个变化量，当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近.由此可得，选项C正确.故选C．
2．【答案】D
【解析】大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，故频率
的含义是在n次试验中发生m次，即必有0<
<1．故选D．
3．【答案】C
【解析】抛硬币是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预料.故选C．
4．【答案】C
【解析】∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球，
∴白球与红球的数量之比为1：
4，
∵白球有10个，
∴红球有10×4=40（个），
故选C．
5．【答案】
【解析】黑球个数为：
，红球个数：
.故答案为：
6．
【名师点睛】本题考查了频数和频率，频率是频数与总数之比，掌握频数频率的定义是解题的关键.
6．【解析】
（1）a=
=0.58，故答案为：
0.58；
（2）随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于0.60，所以其概率的估计值是0.60，故答案为：
0.60；
（3）由
（2）摸到白球的概率估计值为0.60，
所以可估计口袋中白球的个数=20×0.6=12（个），黑球20−12=8（个）.
答：
黑球8个，白球12个.
【名师点睛】本题考查利用频率估计概率，事件A发生的频率等于事件A出现的次数除以实验总次数；在实验次数非常大时，事件A发生的频率约等于事件发生的概率，本题可据此作答；对于（3）可直接用概率公式.
7．【解析】
（1）如图，
（2）
=
=0.9472≈0.95．
（3）P（摸出一个球是黄球）=
=
．
（4）设取出了x个黑球，则放入了x个黄球，则
=
，解得x=5．
答：
取出了5个黑球．
【名师点睛】本题考查利用频率估算概率，数量较大、批次较多时用求平均值的方法更接近概率，理解题意灵活运用概率公式是解题关键.
1．【答案】B
【解析】∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，
∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：
1–20%–50%=30%，故此选项正确；
∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率，
∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；
③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误；
故正确的有①②．故选B．
【名师点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据频率与概率的关系得出是解题关键．
2．【答案】C
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币
次，正面朝上的次数最有可能为
次，故选C．
【名师点睛】本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
3．【答案】12
【解析】∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，
∴白球所占的比例为：
，
设盒子中共有白球x个，则
，解得x=12，
经检验，x=12是原方程的根，
故答案为：
12．
【名师点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
4．【答案】310；420；270
【解析】根据所给数据可得：
鲤鱼：
1000×31%=310（尾）；
鲫鱼：
1000×42%=420（尾）；
鲢鱼：
1000–310–420=270（尾）.
故答案为：
310；420；270.
5．【答案】
（1）0.06；
（2）36件
【解析】
（1）抽查总体数m=50+100+200+300+400+500=1550，
次品件数n=0+4+16+19+24+30=93，P（抽到次品）=
=0.06．
（2）根据
（1）的结论：
P（抽到次品）=0.06，则600×0.06=36（件）．
答：
至少准备36件正品衬衣供顾客调换．
6．【答案】
（1）7；70%；
（2）2502；50.04%；（3）抛掷总次数；1
【解析】
（1）从表中可知，当抛完10次时正面出现3次，正面出现的频率为30％，那么，小明抛完
10次时，得到7次反面，反面出现的频率是
=0.7=70%；
（2）当他抛完5000次时，反面出现的次数是5000–2498=2502，反面出现的频率是2502÷5000=0.5004=50.04%；
（3）通过上面我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于抛掷总次数，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于1.
1．【答案】C
【解析】A、必然事件发生的概率是1，正确；
B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；
C、概率很小的事件也有可能发生，故错误；
D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，
故选C．
2．【答案】C
【解析】观察表格发现：
随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5=500次，故选C．
3．【答案】D
【解析】样本中身高不低于180cm的频率=
=0.15，所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．故选D．
4．【答案】
【解析】概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，∴这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95．故答案为：
0.95．
5．【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，
故摸到白球的频率估计值为0.4；故答案为：
0.4．
6．【解析】
（1）由折线统计图知“非常满意”9人，由扇形统计图知“非常满意”占15%，所以被调查学生总数为9÷15%=60（人），所以“满意”的人数为60–（9+21+3）=27（人）；
（2）如图：
（3）所求概率为
．
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