《概率论与数理统计》科学出版社课后习题答案docx.docx

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第二章随机变量

X2

3

45

6

7

8

9

10

11

12

P1/3

1/1

1/1

1/

5/3

1/

5/3

1/

1/1

1/1

1/3

6

8

2

9

6

6

6

9

2

8

6

CO0C

2・2解：

根据£p（X=k）=\9得^aek=19即

«=0«=0

2.3解：

用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B（2,0・7）

用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B（2,0・4）

（1）两人投中的次数相同

P{X=Y}=P{X=0/Y=0}+P{X=1/Y=1}+P{X=2/Y=2}=

C：

0.7°0.32xC：

0.4°0.62+C【070.3*C：

0.4O6i+C：

0・720.3°xC：

0.42（）.6°=0.3124

（2）甲比乙投中的次数多

P{X>Y}=P{X=l/Y=0}+P{X=2/Y=0}+P{X=2/Y=1}=

C：

0.7S.3】x（7^0.4°0.62+（7"0.720.3°x（7"0.4°0.62+（7'o.72O.3°x^'o.4'0.61=0.5628

2・4解:

（1）P{1^X^3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=-+-

1515155

（2）P{O.5

11

丄[1_（丄）打

2.5解:

（1）P{X丸4卮•••}专+右+圭+…圭世__

~4

（2）P{X^3}=1-P{X<3}=1-P{X=1}-P{X=2}=1-1=i

2.6解：

设A表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0,

b2

P[X=0}=P[AlA2A3A4}=P（A,）P（A2IA,）P（A31Aj）P（A41A,=

1817161512

V\z\z—

2019181719

P{X=1}=P{£瓦石瓦}+P{£&石&}+F忆石企瓦}+卩{石石瓦

218171618217161818216181716232

—xxx+xXx+xXx+xXX=

2019181720191817201918172019181795

12323

P{X=2}=\-P{X=0}-P{X=1}=1=—

199595

2.7解：

（1）设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B（4,0.4）

P（X>3）=P（X=3）+P（X=4）=C：

0.4?

0.6i+C：

0.4°0.6°=0」792

（2）设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B（5,0.4）

P（Xn3）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）={7'（）.430.62++C；（）・45（）.6°=（）.31744

2.8

（1）X〜P（A）=P（O.5X3）=P（1.5）

P{X=0}

（2）X〜P（入）=P（0・5X4）=P

（2）

2°2l

2.9解：

设应配备m名设备维修人员。

又设发生故障的设备数为

X,贝Ux〜5（180,0.01）o

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99,即

P（X0.99,也即

P（X"+1）50.01

因为2180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为

2=180x0.01=1.8的泊松分布。

査泊松分布表，得，当m+l=7时上式成立，得m=6o

故应至少配备6名设备维修人员。

2・10解：

一个元件使用1500小时失效的概率为

P（1000

^^1000

J000兀2

1000

1500

1000

设5个元件使用1500小时失效的元件数为V,则八B（5,l）O

所求的概率为

2・11解:

（l）P（X<2）=F

（2）=ln2

P（0vX<3）=F（3）-F（0）=1-0=1

P（2

（2）=In2.5-In2=Ini.25

x_l\

0其它

2.12解：

⑴由F（+g及肿心（0）,得故

a=l,b=—：

L

（2）f\x）=F\x）=\xe2c°

0x<0

（3）P（Vhr4vXvVlnT6）=F（VlnT6）-F（Vln4）

In16In4<

=（1一/〒）_（1_/亍）=_=0.25

4

2.13

（1）

假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电

量不足的概率为：

P{0.8

J）・80.8

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天

供电量不足的概率为:

P{0.9

2.14解:

要使方程F+2Kx+2K+3=0有实根则使

A=（2K）'-4（2K+3）n0

解得K的取值范围为Y,-l]U[4,+o）]，又随机变量K~U（-2,4）则有实根的概率为

[一1一（一2）+4—3]1

P=—4^2）—=3

2.15解：

X~P（A）=P（^L）

■flOO]x*1（）0—

（1）P{X<100}=f——八°°心=八°°=l-e2

鸟200o

1____

（2）P23（）0}q册现"站

0C

300

3

P{100

I

=e

100

「3001一丄几300

=I——e2^dx=e200J100200

丄_丄_2

P{X<100,100

2.16W：

设每人每次打电话的时间为X,X-E（0.5）,则一个人打

电话超过10分钟的概率为

又设282人中打电话超过10分钟的人数为*则

丫〜3（282,幺一5）。

因为门=282较大，p较小，所以丫近似服从参数为A=282xe-5^1.9的泊松分布。

所求的概率为

P（y>2）=1-P（Y=0）-P（Y=1）

=1—/9_1.9/9=1_2.9/9=0.56625

2.17解：

（l）P（X<105）=OG105"11（））=O（-0.42）=1-0（0.42）

=1-0.6628=0.3372

（2）p（ioo

=①（0.83）-①（—0.83）=20（0.83）-l=2x0.7967-1=0.5934

2.18解：

设车门的最低高度应为a厘米，X沖1（170点）

P{X>a}=l-P{X

P{X0.99

6

d-17（）

6

=2.33

心184厘米

2・19解：

X的可能取值为如。

厂2/T

因为P（X=1）=十石=0.6;

P（X=3）=

1

cl

P（X=2）=l-0.6-0.1=0.3

所以X的分布律为

X

1

2

3

p

0.6

0.3

0.1

X的分布函数为

0X<1

F（x）=

0.6

0.9

1

2

2.20

（1）

71

P[Y=0}=P{X=-}=0.2

P{Y=tt2}=P{X=0}+P{X=^}=03+0.4=0.7

P{Y=4tt2}=P{X=—}=0.1

7T~

0.2

0.7

0.1

P{Y=-\}=P{X=0}+P{X=兀}=0.3+0・4=0.7

P{Y=\}=

P{X=|}4-P{X：

二——}=0.2+0・l：

2

=0.3

Y

-1

1

%

0.7

0.3

2.21

（1）

当-1K1时，F（a）=P{X=-1}=0.3

当1K2时，F（x）=P{X=-l}+P{X=1}=0.3+P{X=1}=0.8

P{X=1}=0.8-0.3=0.5

当22时，F（x）=P{X=-l}+P{X=1}+P{X=2}=0.8+P{X=2}=1

P{X=2}=1—0.8=0.2

X-1

1

2

P0.3

0.5

0.2

P{Y=1}=P{X=—1}+P{X=1}=0.3+0.5=0.8

P{Y=2}=P{X=2}=0.2

2.22.X~N（O,1）.・・fx（x）=^=e~

ZE

（1）设FY（y）,人（），）分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函

}=

数,则

Fy（y）=P{Y

对F心）求关于y的导数，得从沪吩T字（岁）丄刃上/畔

yG（一8,00）

（2）设FyW）,人（y）分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函

数，则当yV0时,Fy（y）=P{Y

当y〉o时，有

——e2clx

“（y）=P{YSy}=P{^x-\ny}=£

对巴（y）求关于y的导数，得

y>0

y<0

（3）设FY（y）,川y）分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函

数，则当y<0时，Fr（y）=P{Y

当y>0时，Fy（y）=P{Y

对巴（刃求关于y的导数，得

（Iny）2

y>0

y<0

2.23VXU（0,tt）:

.fx（x）=<

丄

71

0

0

其它

（1）

FY（y）=P{Y

当一oo

FY（y）=P[Y

山71

对Fy（y）求关于y的导数,

1上1丄

得到恥）十22,才

0

-co

2\r\7r

当ynl或yw—l时，Fy（y）=P{Y

当一1arccosy}=「—dx

•krccosy冗

-1

其它

对巴（y）求关于y的导数，得到

——（arccosy）f=——/fY（y）=<71龙Ji_），

o

（3）当y>l或y<00^FY（y）=P{Y

当Ovyvl时I

Fy（y）=P{Y

f•

J^-arcsiny

71

弹resiny|

=I—dx+J）兀

对件（y）求关于y的导数，得到

—arcsiny（兀一arcsiny）f=——〔

人（y）=龙•71•-r

其它

第三章随机向量

P

3

128

3.2

X

1

2

2

0

C；C；_3

■MM1■

45

Cs>

3

31

C3C2-2

C；5

0

3.4

（1）a=l

9

⑵-

12

（3）

P{（X,r）eD}=y）dx=[（6-y）x-1x2]|：

\ly

=-f（—y2_6y+5—）Jy=-（—y3-3y2+5—y）|'=-x-=—

92--2-96"2-（）9327

F（x,），）=££2e-{2t,+v}dudv=£e'vdv£2e'2udu=（―厂IQ（—产“I：

）=（1—Q）（1—e~2x）

P（Y

3・6解:

P（x2+y2

^（1+x2+y2）2

I

龙（1+厂2）2

rf（l+r2）=——x2/rx|

7i2（l+r2）0

一1+厂1+/

3.7参见课本后面P227的答案

fy（y）=£/（x,yXx=£|xy2dx=|y2*x2|~=3y2

x0

0，其它

f3y20

Uy）=\o其它

3・9解：

X的边缘概率密度函数人⑴为:

①当x>1或r<0时，f（x,y）=0，

fY（y）=[4.8），（2-x）dx=4.8y[2x-|x2]|'=4.8y[l|-2y+gy2]

fx（x）=0y>1或yv0

0

②当0S<1时,fx（x）=f4.8y（2-Q/y=2Ay2（2-x）\^=2.4x2（2-x）

Y的边缘概率密度函数人（刃为:

①当y>1或yv0时,f（x,y）=0,fy（y）=0

②当os1时，

fY（y）=（4・8y（2-x）dx=4・8觅2兀-卜时=4.8冗斗_2y+£y2]

〉L〉厶L

=2.4y（3_4y+）F）

3.10

（1）参见课本后面P227的答案

0

0

其它

6xCl~x）

0

0

0

0

其它

3.11参见课本后面P228的答案3.12参见课本后面P228的答案

3.13

（1）

ix（%）=

论+卸

0

0

其它

2x

A（.V）=<

［（x2+知

0

其它

对于0

A（.v）>o,

所以“忤

3_

MT

36

0

对于OSG时，fx（x）>0

所以九EX爲

9xy

x"+亠

3

2x^+——

3

0

020

♦+-x

3

其它

0<>'<2

其它

0

其它

其它

6x2+2xy

2+y

3x+y

6x+2

0<%

其它

其它

—

布

1

0.15

0.25

0.35

0.75

3

0.05

0.18

0.02

0.25

Y的边缘分

布

0.2

0.43

0.37

1

由表格可知P{X=l;Y=2}=0.25^P{X=l}P{Y=2}=0.3225

故P{X;r=y>P{X=x^Y=y]

所以X与Y不独立

3.15

X

1

2

3

X的边缘分布

1

1

6

1

9

1

18

1

3

2

1

3

a

b

-+a+b

3

Y的边缘分

布

1

2

a+-

9

b+—

18

1

由独立的条件P{X=兀;Y=y}=P{X=x}P{Y=W则

P{X=2；y=2}=P{X=2}P{Y=2}

P{X=2；y=3}=P{X=2}P{Y=3}

工P{XT}=1

可以列出方程

（—a+/?

）（—a）=a

39

lo3

—Ici+b

33

a>0,b>0

0

3.16解

（1）在3・8中A（x）=2

0

其它

f3/O

ACv）=lo其它

当0

当x〉2或xvO时，当y〉l或yvO时,

fxMfY（y）=O=f（x,y）

所以，X与Y之间相互独立。

⑵在3.9中，皿）七4血7穿'

[（）具匕

fy（y）=

2.4y（3_4y+），）

0

0

其它

当0SW1,0分51时,

AU）/r（y）=2.4x2（2-x）2.4X3-4y+/）=5.76x2（2-x）X3-4y+r）

H/ay），所以x与Y之间不相互独立。

3.17解:

»）=匚/（“）勿=「壮'詁于尸壮

人（沪匚心如厲、耐如申

尢（切•人（刃=2刃

故X与Y相互独立

3.18参见课本后面P228的答案

第四章数字特征

4.1解：

E（X）=X^Pl=l

■

9

E（Y）=DpT9

i

•••甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又•••

两台机床的总的产量相同•••乙机床生产的零件的质量较好。

4.2解:

X的所有可能取值为

P{x=3}=—7=0.1

Cs

r2

P{X=4}=W=0・3

C5

r2

P{X=5}=*4=0.6

Cs

E（X）=^x/A.=3x0.14-4x0.3+5x0.6=4.5i

4.3参见课本230页参考答案

4・4解：

P

ri-a-p）]2

P{X»}=/7（l-#）Un=1,2,3

E（X）=工兀[人=£砂（1一〃）"T///=!

4.6参考课本230页参考答案

4・7解：

设途中遇到红灯次数为X,则X~B（3,0.4）

E（X）=zlp=4x0.3=1.2

4・8解

£（%）=”（兀）皿

—00

150023000|

『*皿+[（—3（）0（））皿

01500舗1500

500+1000

=1500

4.9参见课本后面230页参考答案

4.10参见课本后面231页参考答案

4.11解:

设均值为心方差为

则X~N（“y2）根据题意有:

P（X〉96）=1—P（Xv96）

（7（J

=i一①⑴

=2.3%

①⑴=0.997，解得t=2即a=12

所以成绩在60到84的概率为

P（60

12cr12

=0

（1）.0（-1）

=2O（l）-l

=2x0.8413-1=0.6826

4.12E（X2）=0x0.4+12x0.3+22xO.2+32xO」=2

E（5F+4）=4xO4+（5心4）心+（5席+4）心+（5小4）><0・曰4

E（Y）=E（2X）=讣诧=2卩（-厂2曲弋+2沁】心解：

》心2

\Q严1

E（y）=E（e'2X）=

\^e-xdx=[e-3xdx^--e-\=-

4・14解：

八平

设球的直径为X贝h2二

b_a

0

a

其它

E（V）=E

（一）=£（石X）=[

4.15参看课本后面231页答案

V占H知"皿）

4.16解:

『⑴二匚f^y）dy=[12ydy=^Xf（），）=匸f（x,y）d）T12yFx=12y-12yE（X）=_O）•皿訂4兀如€

.343

e（y）=fv（x）-ydy=（12y-12yd'_5

E（x”映,y）皿如呼寸如T"yM冷

0

E（X、=[丁（x）/dx=[4兀dx=§

E（Y2）=[/（y）•寸dy=112y-12ydy=|

922216

E（X「+厂）+E（厂）=石

4.17W

•••X与Y相互独立,

E（XY）=E（X）E（y）=[x2xdx£ye5~ydy=（-刊：

）£yd（—产））

2s282

=-x（—y严I+[e5~ycfy）=—X[5+（~e5~y）|J=—x（5+1）=4

4.18,4.19,4.20参看课本后面231,232页答案

4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和,

乙（心1,2,…10）表示第

i颗骰子出现的点数，则X=^xi9且XpX2,-XI0是

f=l

独立同分布的，又E（XZ.）=1x1+2X-+-.-4-6x1=—

6666

ioioQI

所以E（X）=E（工XJ=工E（X,）=l（）x盲=35

/=!

/=16

4.22参看课本后面232页答案

4.23£（%2）=0x0.4+12x0.3+22x0.2+32x0.1=2

Z）（X）=E（X2）-[E（X）]2=2-12=1

E（y2）=0x0.3+12xO.5+22xO.2+32x0=1.3

D（Y）=£（r2）-[E（y）12=1.3-0.92=0.49

4.24

E（X?

）=fx2-xdx+fx2（--x+l）Jx=—x4|2+[-—x4+-x3]|4=l+—=—

山4£416o163233

r°142

D（X）=E（X2）-[E（X）]2=--4=-

33

-1

-1

其它

其它

Var（X）=E（X2）-[E（X）]2=

=52

-I

ff*1+小

/；（），）=•k4〔0

vtzr（y）=£