集合的概念与运算.docx

集合的概念与运算.docx

《集合的概念与运算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集合的概念与运算.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

集合的概念与运算

集合的概念与运算

题目第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算

高考要求理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.

2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质

知识点归纳

定义：

一组对象的全体形成一个集合.

特征：

确定性、互异性、无序性.

表示法：

列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图

分类：

有限集、无限集.

数集：

自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ.

关系：

属于∈、不属于、包含于（或）、真包含于、集合相等＝.

运算：

交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；

并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};

补运算＝{x|xA且x∈U}，U为全集

性质：

AA；φA；若AB，BC，则AC；

A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；

A∩B＝AA∪B＝BAB；

A∩CA＝φ；A∪CA＝I；C（CA）＝A；

C（AB）＝（CA）∩（CB）.

方法：

韦恩示意图,数轴分析.

注意：

①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{（1,2）}与{1,2}；

②AB时，A有两种情况：

A＝φ与A≠φ.

③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是-1,所有非空真子集的个数是。

④区分集合中元素的形式：

如；；；；；；。

⑤空集是指不含任何元素的集合。

、和的区别；0与三者间的关系。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。

⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线（面）的关系。

题型讲解

例1已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.

解：

A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，

设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，

且－1≤x1≤0，①

由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.②

由①②知x1＝－1，x2＝2，

∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.

评述：

本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.

例2设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是

A.PQB.QPC.P=QD.P∩Q=Q

剖析：

Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，

对m分类：

①m=0时，－4＜0恒成立；

②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得-1m＜0.

综合①②知-1m≤0，∴Q={m∈R|-1m≤0}.

答案：

C

评述：

本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.

例3已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围.

剖析：

如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.

解：

由得

x2+（m－1）x+1=0.①

∵A∩B≠，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.

首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1.

当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；

当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.

综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1］.

评述：

上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.

例4设，求实数的取值范围。

分析：

若满足，则集合B需分两种情况求解。

①集合A中的元素x是集合B中的元素；②集合B为空集。

解：

由.

∵，∴

当，即无实根，由，

即，解得；

当时，由根与系数的关系：

当时，由根与系数的关系：

当时，由根与系数的关系：

综上所得。

例5求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？

分析：

分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。

解：

如图先画出文氏图，不难看出不符合条件

的数共有

（200÷2）＋（200÷3）＋（200÷5）

－（200÷10）－（200÷6）－（200÷15）

＋（200÷30）＝所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）

例6已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？

若存在，求出，若不存在，说明理由。

分析：

此题的关键是理解符号是两层含义：

解：

∵∴，即＝0，

解得

当时，，为A中元素

当时，

当时，

∴这样的实数x存在，是或。

另法：

∵∴，

∴＝0且

∴或。

变式思考题：

同时满足条件：

①②若，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。

答案：

这样的集合M有8个：

例7　某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生67人，学唱歌的学生45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌,人数是21人,那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？

解：

设学舞蹈的学生有x人，学唱歌的人有y人，

既学舞蹈又学唱歌的人又z人，

由题意可列方程：

解得

所以，同时学舞蹈和唱歌的有33人。

例8对于集合,是否存在实数？

若存在，求出的取值，若不存在，试说明理由。

解：

∴,即二次方程:

，

解之得

故存在实数.

例9已知集合，求的值。

解：

由可知，

（1），或

（2）

解

（1）得，

解

（2）得

又因为当时，与题意不符

所以，.

例10已知为全集，解:

由

所以

由

例11已知集合，求的值.

解：

（1）当含有两个元素时：

；

（2）当含有一个元素时：

若

若

综上可知：

。

小结：

1.正确理解集合中元素的特征：

确定性，互异性，无序性；

2.用列举法或描述法给出集合，考察元素与集合之间的元素；或不给出集合中的元素，但只给出若干个抽象的集合及某些关系，运用文氏图解决有关问题。

3.熟练运用集合的并、交、补的运算并进行有关集合的运算。

4.注意符号的理解，相互之间的转化：

例如等等.

学生练习

题组一：

1.已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于

A.{x|x＜－2}B.{x|x＞3}C.{x|－1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}

解析：

M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，

N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，

∴M∩N={x|－1＜x＜2}.

答案：

C

2.已知集合A={x∈R|x＜5－}，B={1，2，3，4}，则（A）∩B等于

A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}

解析：

A={x∈R|x≥5－}，而5－∈（3，4），

∴（A）∩B={4}.

答案：

D

3.设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是

A.P∩Q=PB.P∩QQC.P∪Q=QD.P∩QP

解析：

P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩QP.

答案：

D

4.设U是全集，非空集合P、Q满足PQU，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是______.

解析：

构造满足条件的集合，实例论证.

U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，

则（Q）=｛3｝，（P）={2，3}，易见（Q）∩P答案：

（Q）∩P

5.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜xA｝，则A、B、C之间的关系是________.

解析：

用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.

答案：

BA，A∈C，B∈C

题组二：

1.设全集为实数集R，集合M={x|x21999x20000},P={x||x1999|a}（a为常数）,且1P,则M与P满足（）

（A）（B）

（C）　（D）

2．若非空集合A={x|2a+1x3a5},B={x|3x22},则能使AB

成立的所有a的集合是（）

（A）{a|1a9}（B）{a|6a9}（C）{a|a9}（D）

3．设集合A={x|x2a},B={x|x2},若A∩B=A,则实数a的取值范围是（）

（A）a4（B）a4（C）0a4（D）0a4

4．若{1,2}A{1,2,3,4,5},则满足这一关系的集合A的个数为。

5．设集合A={x|x2+x1=0},B={x|ax+1=0},若BA,则实数a的不同取值个数为。

6.设全集I=R，集合A={x|x2x2=y2,yR,y≠0},B={y|y=x+1,xA},则．若集合A={32x,1,3},B={1,x2},且AB=A,求实数x.

8．设全集I=R，A={x|0},B={x|lg（x22）=lgx},求A∩．已知集合A={y|y2（a2+a+1）y+a（a2+1）0},B={y|y=x2/2x+5/2,0x3},若A∩B=,求实数a的取值范围。

10．已知集合A={x|6/（x+1）1},B={x|x22x+2m0,xR},若AB=A,求实数m的取值范围。

11．已知A={x|x2ax+a219=0},B={x|log3（x2+x3）=1},C={x|=1},且A∩B,A∩C=,求实数a的值。

参考答案：

D2．B.3．B．75．3　6.（,0][2,+）.7．x=3或x．{1}.9．a或a210．m3/211．a=5

课前后备注