printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
a[i]++;
continue;
}
else
{if(i==0)
return;
a[--i]++;
}
}while
(1)
}
main()
{comb(5,3);
}
【问题】填字游戏
问题描述:
在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N(N≥10)内的某9个数字,每个方格填一个整数,似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。
试求出所有满足这个要求的各种数字填法。
可用试探发找到问题的解,即从第一个方格开始,为当前方格寻找一个合理的整数填入,并在当前位置正确填入后,为下一方格寻找可填入的合理整数。
如不能为当前方格找到一个合理的可填证书,就要回退到前一方格,调整前一方格的填入数。
当第九个方格也填入合理的整数后,就找到了一个解,将该解输出,并调整第九个的填入的整数,寻找下一个解。
为找到一个满足要求的9个数的填法,从还未填一个数开始,按某种顺序(如从小到大的顺序)每次在当前位置填入一个整数,然后检查当前填入的整数是否能满足要求。
在满足要求的情况下,继续用同样的方法为下一方格填入整数。
如果最近填入的整数不能满足要求,就改变填入的整数。
如对当前方格试尽所有可能的整数,都不能满足要求,就得回退到前一方格,并调整前一方格填入的整数。
如此重复执行扩展、检查或调整、检查,直到找到一个满足问题要求的解,将解输出。
回溯法找一个解的算法:
{intm=0,ok=1;
intn=8;
do{
if(ok)扩展;
else调整;
ok=检查前m个整数填放的合理性;
}while((!
ok||m!
=n)&&(m!
=0))
if(m!
=0)输出解;
else输出无解报告;
}
如果程序要找全部解,则在将找到的解输出后,应继续调整最后位置上填放的整数,试图去找下一个解。
相应的算法如下:
回溯法找全部解的算法:
{intm=0,ok=1;
intn=8;
do{
if(ok)
{if(m==n)
{输出解;
调整;
}
else扩展;
}
else调整;
ok=检查前m个整数填放的合理性;
}while(m!
=0);
}
为了确保程序能够终止,调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验,即要求按某种有许模型生成填数序列。
给解的候选者设定一个被检验的顺序,按这个顺序逐一形成候选者并检验。
从小到大或从大到小,都是可以采用的方法。
如扩展时,先在新位置填入整数1,调整时,找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。
将上述扩展、调整、检验都编写成程序,细节见以下找全部解的程序。
【程序】
#include
#defineN12
voidwrite(inta[])
{inti,j;
for(i=0;i<3;i++)
{for(j=0;j<3;j++)
printf(“%3d”,a[3*i+j]);
printf(“\n”);
}
scanf(“%*c”);
}
intb[N+1];
inta[10];
intisprime(intm)
{inti;
intprimes[]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};
if(m==1||m%2=0)return0;
for(i=0;primes[i]>0;i++)
if(m==primes[i])return1;
for(i=3;i*i<=m;)
{if(m%i==0)return0;
i+=2;
}
return1;
}
intcheckmatrix[][3]={{-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},
{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};
intselectnum(intstart)
{intj;
for(j=start;j<=N;j++)
if(b[j])returnj
return0;
}
intcheck(intpos)
{inti,j;
if(pos<0)return0;
for(i=0;(j=checkmatrix[pos][i])>=0;i++)
if(!
isprime(a[pos]+a[j])
return0;
return1;
}
intextend(intpos)
{a[++pos]=selectnum
(1);
b[a][pos]]=0;
returnpos;
}
intchange(intpos)
{intj;
while(pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)
b[a[pos--]]=1;
if(pos<0)return–1
b[a[pos]]=1;
a[pos]=j;
b[j]=0;
returnpos;
}
voidfind()
{intok=0,pos=0;
a[pos]=1;
b[a[pos]]=0;
do{
if(ok)
if(pos==8)
{write(a);
pos=change(pos);
}
elsepos=extend(pos);
elsepos=change(pos);
ok=check(pos);
}while(pos>=0)
}
voidmain()
{inti;
for(i=1;i<=N;i++)
b[i]=1;
find();
}
【问题】n皇后问题
问题描述:
求出在一个n×n的棋盘上,放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局。
这是来源于国际象棋的一个问题。
皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向相互捕捉。
如图所示,一个皇后放在棋盘的第4行第3列位置上,则棋盘上凡打“×”的位置上的皇后就能与这个皇后相互捕捉。
12345678
××
×××
×××
××Q×××××
×××
×××
××
××
从图中可以得到以下启示:
一个合适的解应是在每列、每行上只有一个皇后,且一条斜线上也只有一个皇后。
求解过程从空配置开始。
在第1列至第m列为合理配置的基础上,再配置第m+1列,直至第n列配置也是合理时,就找到了一个解。
接着改变第n列配置,希望获得下一个解。
另外,在任一列上,可能有n种配置。
开始时配置在第1行,以后改变时,顺次选择第2行、第3行、…、直到第n行。
当第n行配置也找不到一个合理的配置时,就要回溯,去改变前一列的配置。
得到求解皇后问题的算法如下:
{输入棋盘大小值n;
m=0;
good=1;
do{
if(good)
if(m==n)
{输出解;
改变之,形成下一个候选解;
}
else扩展当前候选接至下一列;
else改变之,形成下一个候选解;
good=检查当前候选解的合理性;
}while(m!
=0);
}
在编写程序之前,先确定边式棋盘的数据结构。
比较直观的方法是采用一个二维数组,但仔细观察就会发现,这种表示方法给调整候选解及检查其合理性带来困难。
更好的方法乃是尽可能直接表示那些常用的信息。
对于本题来说,“常用信息”并不是皇后的具体位置,而是“一个皇后是否已经在某行和某条斜线合理地安置好了”。
因在某一列上恰好放一个皇后,引入一个一维数组(col[]),值col[i]表示在棋盘第i列、col[i]行有一个皇后。
例如:
col[3]=4,就表示在棋盘的第3列、第4行上有一个皇后。
另外,为了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置,设定col[0]的初值为0当回溯到第0列时,说明程序已求得全部解,结束程序运行。
为使程序在检查皇后配置的合理性方面简易方便,引入以下三个工作数组:
(1)数组a[],a[k]表示第k行上还没有皇后;
(2)数组b[],b[k]表示第k列右高左低斜线上没有皇后;
(3)数组c[],c[k]表示第k列左高右低斜线上没有皇后;
棋盘中同一右高左低斜线上的方格,他们的行号与列号之和相同;同一左高右低斜线上的方格,他们的行号与列号之差均相同。
初始时,所有行和斜线上均没有皇后,从第1列的第1行配置第一个皇后开始,在第m列col[m]行放置了一个合理的皇后后,准备考察第m+1列时,在数组a[]、b[]和c[]中为第m列,col[m]行的位置设定有皇后标志;当从第m列回溯到第m-1列,并准备调整第m-1列的皇后配置时,清除在数组a[]、b[]和c[]中设置的关于第m-1列,col[m-1]行有皇后的标志。
一个皇后在m列,col[m]行方格内配置是合理的,由数组a[]、b[]和c[]对应位置的值都为1来确定。
细节见以下程序:
【程序】
#include
#include
#defineMAXN20
intn,m,good;
intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
voidmain()
{intj;
charawn;
printf(“Entern:
“);scanf(“%d”,&n);
for(j=0;j<=n;j++)a[j]=1;
for(j=0;j<=2*n;j++)cb[j]=c[j]=1;
m=1;col[1]=1;good=1;col[0]=0;
do{
if(good)
if(m==n)
{printf(“列\t行”);
for(j=1;j<=n;j++)
printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);
printf(“Enteracharacter(Q/qforexit)!
\n”);
scanf(“%c”,&awn);
if(awn==’Q’||awn==’q’)exit(0);
while(col[m]==n)
{m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
}
col[m]++;
}
else
{a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;
col[++m]=1;
}
else
{while(col[m]==n)
{m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
}
col[m]++;
}
good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];
}while(m!
=0);
}
试探法找解算法也常常被编写成递归函数,下面两程序中的函数queen_all()和函数queen_one()能分别用来解皇后问题的全部解和一个解。
【程序】
#include
#include
#defineMAXN20
intn;
intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
voidmain()
{intj;
printf(“Entern:
“);scanf(“%d”,&n);
for(j=0;j<=n;j++)a[j]=1;
for(j=0;j<=2*n;j++)cb[j]=c[j]=1;
queen_all(1,n);
}
voidqueen_all(intk,intn)
{inti,j;
charawn;
for(i=1;i<=n;i++)
if(a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i])
{col[k]=i;
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;
if(k==n)
{printf(“列\t行”);
for(j=1;j<=n;j++)
printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);
printf(“Enteracharacter(Q/qforexit)!
\n”);
scanf(“%c”,&awn);
if(awn==’Q’||awn==’q’)exit(0);
}
queen_all(k+1,n);
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i];
}
}
采用递归方法找一个解与找全部解稍有不同,在找一个解的算法中,递归算法要对当前候选解最终是否能成为解要有回答。
当它成为最终解时,递归函数就不再递归试探,立即返回;若不能成为解,就得继续试探。
设函数queen_one()返回1表示找到解,返回0表示当前候选解不能成为解。
细节见以下函数。
【程序】
#defineMAXN20
intn;
intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
intqueen_one(intk,intn)
{inti,found;
i=found=0;
While(!
found&&i{i++;
if(a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i])
{col[k]=i;
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;
if(k==n)return1;
else
found=queen_one(k+1,n);
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=1;
}
}
returnfound;
}
二、贪婪法
贪婪法是一种不追求最优解,只希望得到较为满意解的方法。
贪婪法一般可以快速得到满意的解,因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。
贪婪法常以当前情况为基础作最优选择,而不考虑各种可能的整体情况,所以贪婪法不要回溯。
例如平时购物找钱时,为使找回的零钱的硬币数最少,不考虑