弦长公式.docx

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弦长公式

弦长公式

弦长=│x1-x2│√（k^2+1）=│y1-y2│√[（1/k^2）+1]

　　其中k为直线斜率,（x1,y1）,（x2,y2）为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号

　　证明方法如下：

　　假设直线为:

Y=kx+b

　　圆的方程为：

（x-a）^2+（y-u）^2=r^2

　　假设相交弦为AB，点A为（点B为

　　则有AB=√（x1-x2）^2+（y1-y2）^

　　把y1=kx1+b.

　　y2=kx2+b分别带入,

　　则有：

　　AB=√（x1-x2）^2+（kx1-kx2）^2

　　=√（x1-x2）^2+k^2（x1-x2）^2

　　=√1+k^2*│x1-x2│

　　证明ABy1-y2│√[（1/k^2）+1]

　　的方法也是一样的

　　证明方法二

　　d=√（x1-x2}^2+（y1-y2）^2

　　这是两点间距离公式

　　因为直线

　　y=kx+b

　　所以y1-y2=kx1+b-（kx2+b）=k（x1-x2）

　　将其带入

　　d=√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2

　　得到

　　d=√（x1-x2）^2+[k（x1-x2）]^2

　　=√（1+k^2）（x1-x2）^2

　　=√（1+k^2）*√（x1-x2）^2

　　=√（1+k^2）*√（x1+x2）^2-4x1x2

公式二

　　抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物

抛物线

线于A（x1,y1）和B（x2,y2）两点，则AB弦长：

d=p+x1+x2y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：

d=p-﹙x1+x2﹚

　　x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：

d=p+y1+y2

　　x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：

d=p-﹙y1+y2﹚

公式三

　　d=√（1+k^2）|x1-x2|=√（1+k^2）[（x1+x2）^2-4x1x2]=√（1+1/k^2）|y1-y2|=√（1+1/k^2）[（y1+y2）^2-4y1y2]

　　关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√（1+k^2）[（x1+x2）^2-4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

　　d=√[（1+k^2）△/a^2]=√（1+k^2）√（△）/|a|

　　在知道圆和直线方程求弦长时，可利用方法二，将直线方程代入圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程，其中△为一元二次方程中的b^2：

-4ac，a为二次项系数。

　　补遗：

公式2符合椭圆等圆锥曲线不光是圆。

公式/|a|是在整个平方根运算后再进行的……（先开平方了然后再除）

　　2式可以由1推出，很简单，由韦达定理，x1+x2=-b/ax1x2=c/a带入再通分即可……

在知道圆和直线方程求弦长时也可以用勾股定理（点到直线距离、半径、半弦）。

点差法

　点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

　　利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。

　　点差法：

适应的常见问题：

　　弦的斜率与弦的中点问题；

　　①注意：

点差法的不等价性；（考虑⊿>0）

　　②“点差法”常见题型有：

求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。

　　在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。

　　与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.

　　解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:

联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法求解.

　　若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标（x1,y1）,（x2,y2）,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法".

　　求直线方程或求点的轨迹方程

　　例1抛物线X^2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x^2+px+q=0，（常数p、q∈R）的两个实根，求直线AB的方程.

　　解：

设A（x1,y1）、B（x2,y2），则x1^2=3y1①；x1^2+px1+q=0②；

　　由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0③；

　　同理px2+3y2+q=0④.

　　∵③、④分别表示经过点A（x1,y1）、B（x2,y2）的直线，因为两点确定一条直线.

　　∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程.

　　例2过椭圆x^2+4y^2=16内一点P（1，1）作一直线l，使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.

　　解：

设弦的两端点为P1（x1,y1）、P2（x2,y2），则x1^2+4y1^2=16，x2^2+4y2^2=16，

　　两式相减，得（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）=0，因为x1+x2=2，y1+y2=2，∴等式两边同除（x1﹣x2），有2+8k=0∴k=﹣.故直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即4y+x﹣5=0

　　求圆锥曲线方程用点差法

　定义：

我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数的轨迹称为双曲线。

　　定义1：

平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离[1]）的点的轨迹称为双曲线。

　　定义2：

平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。

　　定义3：

一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

　　定义4：

在平面直角坐标系中，二元二次方程f（x,y）=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

　　、b、c不都是零.

　　2.b^2-4ac>0.

　　^2+b^2=c^2

　　在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。

这时双曲线的方程退化为：

x^2/a^2-y^2/b^2=1.

　　上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。

重要概念和性质

焦点

准线

离心率

　　在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。

　　双曲线有两个焦点，两条准线。

（注意：

尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。

但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。

）

顶点

渐近线

双曲线的简单几何性质

1.轨迹上一点的取值范围：

　　│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。

2、对称性：

　　关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：

　　A（-a,0），A'（a,0）。

同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.

　　B（0,-b），B'（0,b）。

同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.

　　F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c

　　对实轴、虚轴、焦点有：

a^2+b^2=c^2

4、渐近线：

　　焦点在x轴：

y=±（b/a）x.

　　焦点在y轴：

y=±（a/b）x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。

其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。

　　令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。

θ=arccos（1/e）

　　令θ=0，得出ρ=ep/1-e,x=ρcosθ=ep/1-e

　　令θ=PI，得出ρ=ep/1+e,x=ρcosθ=-ep/1+e

　　这两个x是双曲线定点的横坐标。

　　求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）

　　x=[（ep/1-e）+（-ep/1+e）]/2

　　（注意化简一下）

　　直线ρcosθ=[（ep/1-e）+（-ep/1+e）]/2

　　是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。

　　将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’

　　则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e）]

　　则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e）]

　　代入上式：

　　ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e）]}=[（ep/1-e）+（-ep/1+e）]/2

　　即：

ρsin[arccos（1/e）-θ’]=[（ep/1-e）+（-ep/1+e）]/2

　　现在可以用θ取代式中的θ’了

　　得到方程：

ρsin[arccos（1/e）-θ]=[（ep/1-e）+（-ep/1+e）]/2

　　现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上的点在渐近线中

　　　设M（x,y）是双曲线在第一象限的点，则

　　y=（b/a）√（x^2-a^2）（x>a）

　　因为x^2-a^2

　　即y

　　所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方

　　根据对称性第二、三、四象限亦如此

5、离心率：

　　第一定义：

e=c/a且e∈（1，+∞）.

　　第二定义：

双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线（相应准线）的距离d的比等于双曲线的离心率e.

　　d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e

6、双曲线焦半径公式

　　（圆锥曲线上任意一点P（x,y）到焦点距离）

　　左焦半径：

r=│ex+a│　

　　右焦半径：

r=│ex-a│

7、等轴双曲线

　　一双曲线的实轴与虚轴长相等即：

2a=2b且e=√2

　　这时渐近线方程为：

y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）

8、共轭双曲线

　　双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。

　　几何表达：

S：

（x^2/a^2）-（y^2/b^2）=1S'：

（y^2/b^2）-（x^2/a^2）=1

　　特点：

（1）共渐近线；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点

（2）焦距相等

　　（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1

9、准线：

　　焦点在x轴上：

x=±a^2/c

　　焦点在y轴上：

y=±a^2/c

10、通径长：

　　（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）

　　d=2b^2/a

　　11、过焦点的弦长公式：

　　d=2pe/（1-e^2cos^2θ）

12、弦长公式：

　　d=√（1+k^2）|x1-x2|=√（1+k^2）（x1-x2）^2=√（1+1/k^2）|y1-y2|=√（1+1/k^2）（y1-y2）^2推导如下：

　　由直线的斜率公式：

k=（y1-y2）/（x1-x2）

　　得y1-y2=k（x1-x2）或x1-x2=（y1-y2）/k

　　分别代入两点间的距离公式：

|AB|=√[（x1-x2）^2;+（y1-y2）^2;]

　　稍加整理即得：

　　|AB|=|x1-x2|√（1+k^2;）或|AB|=|y1-y2|√（1+1/k^2;）

　　·双曲线的标准公式与反比例函数

　　　X^2/a^2-Y^2/b^2=1（a>0,b>0）

　　而反比例函数的标准型是xy=c（c≠0）

　　但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的

　　因为xy=c的对称轴是y=x,y=-x而X^2/a^2-Y^2/b^2=1的对称轴是x轴，y轴

　　所以应该旋转45度

　　设旋转的角度为a（a≠0，顺时针）

　　（a为双曲线渐进线的倾斜角）

　　则有

　　X=xcosa+ysina

　　Y=-xsina+ycosa

　　取a=π/4

　　则

　　X^2-Y^2=（xcos（π/4）+ysin（π/4））^2-（xsin（π/4）-ycos（π/4））^2

　　=（√2/2x+√2/2y）^2-（√2/2x-√2/2y）^2

　　=4（√2/2x）（√2/2y）

　　=2xy.

　　而xy=c

　　所以

　　X^2/（2c）-Y^2/（2c）=1（c>0）

　　Y^2/（-2c）-X^2/（-2c）=1（c<0）

　　由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.

13.双曲线内、上、外

　　在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x^2/a^2-y^2/b^2>1；

　　在双曲线的线上称为双曲线上，则有x^2/a^2-y^2/b^2=1；

　　在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x^2/a^2-y^2/b^2<1。

三角形面积公式

　　若∠F1PF2=θ，

　　则S△F1PF2=b^2*cot（θ/2）或S△F1PF2=b^2*/tan（θ/2）

　　·例：

已知F1、F2为双曲线C：

x^2-y^2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多少

　　解：

由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b^2*cot（θ/2）=√3

　　设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=1/2*h*2√2;h=√6/2

双曲线参数方程

　　双曲线的参数方程：

x=a*secθ（正割）y=b*tanθ（a为实半轴长，b为虚半轴长，θ为参数。

）

椭圆的焦半径公式

　　设M（xo，y0）是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F1（-c，0），F2（c，0）的距离，那么（左焦半径）r1=a+ex0，（右焦半径）r2=a-ex0，其中e是离心率。

　　推导：

r1/∣MN1∣=r2/∣MN2∣=e

　　可得：

r1=e∣MN1∣=e（a^2/c+x0）=a+ex0，r2=e∣MN2∣=e（a^2/c-x0）=a-ex0。

　　同理：

∣MF1∣=a+ex0，∣MF2∣=a-ex0。

双曲线的焦半径公式

　　双曲线的焦半径及其应用：

　　1：

定义：

双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

　　2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1

　　点P（x,y）在左支上

　　│PF1│=-（ex+a）；│PF2│=-（ex-a）

　　点P（x,y）在右支上

　　│PF1│=ex+a；│PF2│=ex-a

抛物线的焦半径公式

　　抛物线r=x+p/2

　　通径:

圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦

　　双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a^2/c-c

　　抛物线的通径是2p

定义：

椭圆

　　椭圆的焦点三角形是指

　　以椭圆的两个焦点F1,F2与椭圆上任意一点P为定点组成的三角形。

求解--运用公式：

　　设P为椭圆上非左，右端点的一点。

　　角F1F2P=αF2F1P=βF1PF2=θ

　　则有离心率e=sin（α+β）/（sinα+sinβ）

　　焦点三角形面积S=b^2*tan（θ/2）

证明方法一：

　　设F1P=cF2P=b2a=c+b

　　由射影定理得2c=ccosβ+bcosα

　　e=c/a=2c/2a=ccosβ+bcosα/（c+b）

　　由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/（sinβ+sinα）=sin（α+β）/（sinα+sinβ）

证明方法二：

　　对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n

　　则m+n=2a

　　在△F1PF2中,由余弦定理:

　　（F1F2）^2=m^2+n^2-2mncosθ

　　即4c^2=（m+n）^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn（1+cosθ）

　　所以mn（1+cosθ）=2a^2-2c^2=2b^2

　　所以mn=2b^2/（1+cosθ）

　　S=（mnsinθ）/2.............（正弦定理的三角形面积公式）

　　=b^2*sinθ/（1+cosθ）

　　=b^2*[2sin（θ/2）cos（θ/2）]/2[cos（θ/2）]^2

　　=b^2*sin（θ/2）/cos（θ/2）

　　=b^2*tan（θ/2）

例题

　　F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值

　　【解】△PQF2面积=△QF1F2面积+△QF1F2面积△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，三角形PQF2的面积=三角形PF1F2的面积+三角形QF1F2的面积=1/2*|y2-y1|*2c=c*|y2-y1|之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可。

请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。

设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值.　【解】a2=3,b2=2c2=3-2=1c=1所以F1F2=2c=2假设A在x上方，B在下方直线过（1,0）设直线是x-1=m（y-0）x=my+1代入2x2+3y2=6（2m2+3）y2+4my-4=0y1+y2=-4m/（2m2+3）,y1y2=-4/（2m2+3）三角形F1AB=三角形F1F2A+F1F2B他们底边都是F1F2=2则面积和最小就是高的和最小即|y1|+|y2|因为AB在x轴两侧,所以一正一负所以|y1|+|y2|=|y1-y2|（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=16m2/（2m2+3）2+16/（2m2+3）|y1-y2|=4√[m2+（2m2+3）]/（2m2+3）=4√3*√（m2+1）]/（2m2+3）令√（m2+1）=p2m2+3=2p2+1且p>=1则p/（2p2+1）=1/（2p+1/p）分母是对勾函数所以p=√（1/2）=√2/2时最小这里p>=1,所以p=1,2p+1/p最小=3此时p/（2p2+1）最大=1/3所以|y1-y2|最大=4√3*1/3所以最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3　　抛物线y^2=2px（p>0），C（Xo，Yo）为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2