人教版高中数学排列组合教案设计.docx
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人教版高中数学排列组合教案设计
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排列与组合
一、教学目标
1、知识传授目标：
正确理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培养目标：
能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题
3、思想教育目标：
发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力
二、教材分析
1.重点：
加法原理，乘法原理。
解决方法：
利用简单的举例得到一般的结论．
2.难点：
加法原理，乘法原理的区分。
解决方法：
运用对比的方法比较它们的异同．
三、活动设计
1.活动：
思考，讨论，对比，练习．
2.教具：
多媒体课件．
四、教学过程正
1．新课导入
随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。
排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．
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2．新课
我们先看下面两个问题．
（l）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
板书：
图
因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4十2十3=9种不同的走法．
一般地，有如下原理：
加法原理：
做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有m种不同的方法，……，21在第n类办法中有m种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m十m2n1十…十m种不同的方法．n
（2）我们再看下面的问题：
由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？
板书：
图
这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一
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种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有3X2=6种不同的走法．
一般地，有如下原理：
乘法原理：
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有m种不同的方法，……，做第n步有21m种不同的方法．那么完成这件事共有N＝mm…m种不同的方法．n12n例1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
1）从中任取一本，有多少种不同的取法？
2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？
解：
（1）从书架上任取一本书，有两类办法：
第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．
答：
从书架L任取一本书，有11种不同的取法．
（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：
第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N＝6X5＝30．
答：
从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．
练习：
一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币
1）从中任取一枚，有多少种不同取法？
2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？
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例2：
（1）由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？
（2）由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？
（3）由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？
解：
要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：
第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，
这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．
答：
可以组成125个三位数．
练习：
1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．
（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？
（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出
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多少个加法式子？
3．题2的变形
4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
小结：
要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？
分类时用加法，分步时用乘法
其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习
练习
1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？
2．在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？
3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？
4．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
作业：
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排列】【复习基本原理类办法，第一类办法n做一件事，完成它可以有1.加法原理办种不同的方法……，第n中有m种不同的方法，第二办法中有m21m种不同的方法，那么完成这件事共有法中有n…m+m+m+N=mn231种不同的方法.
步n个步骤，做第一.2乘法原理做一件事，完成它需要分成步n种不同的方法，做第二步有m种不同的方法，……，做第有m21那么完成这件事共有种不同的方法，.有mn?
mmm?
?
…N=m?
n231.种不同的方法3.两个原理的区别：
1】【练习北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少1.种不同的机票？
可以组成多少个无重复数字的二位数？
请一一32、12.由数字、.
列出【基本概念】（这个元素m（个不同元素中，任取）什么叫排列？
从1.nn?
m一定的顺序叫做从n按照里的被取元素各不相同）个不同排成一列，．．．．．一个排列个元素的m元素中取出．．．．
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2.什么叫不同的排列？
元素和顺序至少有一个不同.
什么叫相同的排列？
元素和顺序都相同的排列3..
什么叫一个排列？
4.
【例题与练习】
1.由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？
2.已知a、b、c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.
【排列数】
1.定义：
从n个不同元素中，任取m（）个元素的所有排n?
m列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示.
mpn用符号表示上述各题中的排列数.
2.排列数公式：
=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）
mpn；；；312?
ppp?
?
nnn
；4?
pn
计算：
=；=；42pp55
=；2p15
【课后检测】
1.写出：
①从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列；
②由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.
③由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.
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2.计算：
8p②③①④334212pp?
p2p
8610087p12排列
课题：
排列的简单应用
（1）
目的：
进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．
过程：
一、复习：
（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）
1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；
2．排列数的定义，排列数的计算公式
n!
mnm,nZ）≤（其中?
mm或?
A）?
1m?
）（n2）（n?
?
?
An（n1?
nn（n?
m）!
3．全排列、阶乘的意义；规定0!
=1
4．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用．
二、新授：
例1：
⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
解：
问题可以看作：
7个元素的全排列——＝50407A7⑵7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
解：
根据分步计数原理：
7×6×5×4×3×2×1＝7！
＝5040
⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
解：
问题可以看作：
余下的6个元素的全排列——=720
6A6
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⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：
根据分步计数原理：
第一步甲、乙站在两端有种；第二2A2步余下的5名同学进行全排列有种则共有=240种排列方552AAA552法
⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法一（直接法）：
第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位2A5同学中选5位进行排列（全排列）有种方法所以一共有＝525AAA5552400种排列方法．
解法二：
（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾6A6有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法．所以甲不56AA56能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400种．576AAA2576小结一：
对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．
例2：
7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：
先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学6A6“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝1440
622AAA622⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
解：
方法同上，一共有＝720种．35AA35
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⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
解法一：
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的42A5个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行4A4排列有种方法．所以这样的排法一共有＝960种方法．2242AAAA5242解法二：
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，所以丙不能站在5A5排头和排尾的排法有种方法．256960A?
?
2A）?
（A265解法三：
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种51AA54方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有521AAA542＝960种方法．
小结二：
对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．
例3：
7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：
（排除法）2673600?
?
A?
AA267解法二：
（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他5A5们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法．2253600AAA?
656
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⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
解：
先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，4A4再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一3A5共有＝1440种．34AA54小结三：
对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．
三、小结：
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；
⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
2．基本的解题方法：
⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；
⑵某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；
⑶某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；
⑷在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．
四、作业：
《课课练》之“排列课时1—3”
课题：
排列的简单应用
（2）
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目的：
使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解．
过程：
一、复习：
1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；
2．常见的排队的三种题型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法；
⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法．
3．分类、分布思想的应用．
二、新授：
示例一：
从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
解法一：
（从特殊位置考虑）51A?
136080A99解法二：
（从特殊元素考虑）若选：
若不选：
65A5?
A99则共有＋＝136080
65A?
A599136080解法三：
（间接法）56AA?
?
109示例二：
⑴八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？
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略解：
甲、乙排在前排；丙排在后排；其余进行全排列．521AAA544＝5760种方法．所以一共有521AAA544ab两种商品必须,⑵不同的五种商品在货架上排成一排，其中c,d两种商品不排在一起,则不同的排法共有多少种？
排在一起，而abe捆在一起与“捆绑法”和“插空法”的综合应用）,略解：
（进行排列有；2A2c,da,
；最后将两种商品排进去一共有此时留下三个空，将2A3b“松绑”有．所以一共有＝24种方法．2222AAAA3222⑶6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？
略解：
（分类）若第一个为老师则有；若第一个为学生则有33AA3333AA33所以一共有2＝72种方法．33AA33示例三：
⑴由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？
略解：
45231A325A?
?
A?
A?
?
A55555⑵由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13000大的正整数？
解法一：
分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有种方法；另一类是首位不为1，有种方法．所以一共有4131AAAA3344个数比13000大．4131114A?
A?
AA3344
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解法二：
（排除法）比13000小的正整数有个，所以比130003A3大的正整数有＝114个．35A?
A35示例四：
用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．
⑴第114个数是多少？
⑵3796是第几个数？
解：
⑴因为千位数是1的四位数一共有个，所以第114360A?
5个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，212?
A4所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3968”排在第6个位置上，所以“3968”是第114个数．
⑵由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3
796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3796是第95个数．
示例五：
用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中
⑴能被25整除的数有多少个？
⑵十位数字比个位数字大的有多少个？
解：
⑴能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，个，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有所以一共有＋1122AAAA3344＝21个．11AA33注：
能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．
⑵用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有31AA300?
55
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个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可．．1，所以十位数字比个位数字大的有个．能的”31150AA?
．．
552三、小结：
能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性．
X”之排列练习四、作业：
“3＋
组合⑴
课题：
组合、组合数的概念
目的：
理解组合的意义，掌握组合数的计算公式．
过程：
一、复习、引入：
1．复习排列的有关内容：
定特相公
点义同排列式
排
以上由学生口答．
2．提出问题：
示例1：
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
示例2：
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，
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有多少种不同的选法？
引导观察：
示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的．
引出课题：
组合问题．．．
二、新授：
nmmn）个组合的概念：
一般地，从（个不同元素中取出≤1．nm个元素的一个组合元素并成一组，叫做从．个不同元素中取出
注：
1．不同元素2．“只取不排”——无序性3．相同组合：
元素相同
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：
A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；从（组合）⑴
⑵从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）
nmmn）个元素的．组合数的概念：
从（个不同元素中取出≤2nm个元素的组合数．所有组合的个数，叫做从用个不同元素中取出符号表示．mCn例如：
示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：
甲乙，甲丙，乙丙．即有种组合．23C?
3A、B、C、DAB，又如：
从2个进行游览的组合：
四个景点选出ACADBCBDCD一共6，种组合，即：
，，，26C?
4在讲解时一定要让学生去分析：
要解决的问题是排列问题还是
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组合问题，关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算呢？
mCn3．组合数公式的推导
abc，d中取出，3⑴提问：
从4个不同元素个元素的组合数，3C4是多少呢？
启发：
由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3．．．．．．．．．个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，333AAC444如下：
组合排列
abc?
abc,bac,cab,acb,bca,cbadba?
adb,abd,bad,bdadab,abdadc,?
cda,dcadac,acd,cadacdbdcbcd?
cbd,cdb,dcb,,dbcbcd由此可知：
每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：
①考3A4虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；②对每一个3C4组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：
3A33A＝，所以：
．33334A?
CA?
C
34443A3nm个元素的排列数一般地，求从个不同元素中取出⑵推广：
nm个元素的组先求从个不同元素中取出，可以分如下两步：
①mAnm个元素全排列数，根据分布计数原；合数②求每一个组合中mmACmn理得：
＝mmmAC?
Amnn⑶组合数的公式：
mAn（n?
1）（n?
2）（n?
m?
1）?
mn?
C?
nm!
mAm
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n!
或m?
?
C）nmN?
且（n,m?
nm!
（n?
m）!
⑷巩固练习：
1．计算：
⑴⑵47CC107m?
12．求证：
1mm?
C?
?
C
nnn?
m3．设求的值．?
12x?
3xCC?
?
Nx13x2?
x?
?
2x?
3?
x?
1?
x≤4即：
2解：
由题意可得：
≤?
x?
1?
2x?
3?
x=2或3或∵∴4
Nx?
?
xxx=2时原式7；当；当=3当时原式值为=2时原式值为7值为11．
∴所求值为4或7或11．
4．例题讲评
例1．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分
法？
略解：
22290?
CC?
C?
246例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？
解法一：
（直接法）小组构成有三种情形：
3男，2男1女，1，所以一共有＝男2女，分别有，，++2112221133CCC?
CC?
C?
?
CCCC4466646444100种方法．
解法二：
（间接法）33C?
C?
100106
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5．学生练习：
（课本99练习）
三、小结：
定特相公
式组合义点同排
列组
合此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定
是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．四、课作业：
课堂作业：
教学与测试758和课时课外作业：
课课练7组⑵合课题：
组合的简单应用及组合数的两个性质熟练掌握组合数的计目的：
深刻理解排列与组合的区别和联系，并且能够运用它解决一些简单的应算公式；掌握组合数的两个性质，用问题．过程：
一、复习回顾：
1．复习排列和组合的有关内容：
强调：
排列——次序性；组合——无序性．2．练习一：
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n．（本式也可变形为：
练习1：
求证：
）1?
mm1?
mmmCnC?
C?
C
1nn?
1?
nnm练习2：
计算：
①和；②与；③3323754C?
CCCCCC?
67106101111答案：
①120，120②20，20③792
（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）
3．练习二：
⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
（组合问题）⑵（排列问题）答案：
⑴22C90?
A?
451010二、新授：
1．组合数的性质1：
．mn?
mCC?
nn
nmnm个不同元素中取出个元素后，剩下?
理解：
一般地，从个元素．因
nmn?
个不同元素中取出个元素的每一个组合，与剩下的为从mnm
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