中考数学一元二次方程专题复习学案.docx

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中考数学一元二次方程专题复习学案

2017年中考数学一元二次方程专题复习学案

2017年中考数学专题练习7《一元二次方程》

【知识归纳】

1．一元二次方程：

在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数

2一元二次方程的常用解法：

（1）直接开平方法：

形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法

（2）配方法：

用配方法解一元二次方程的一般步骤是：

①；②，③，④，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解如果n＜0，则原方程无解

（3）公式法：

一元二次方程的求根公式是

（4）因式分解法：

因式分解法的一般步骤是：

①；②；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解

3一元二次方程根的判别式：

关于x的一元二次方程的根的判别式为

（1）>0一元二次方程有两个实数根，即

（2）=0一元二次方程有相等的实数根，即

（3）<0一元二次方程实数根

4．一元二次方程根与系数的关系

若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么，

【基础检测】

1．（2016•枣庄）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）

A．B．﹣1．2D．﹣

2．（2016•雅安）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及的值分别为（　　）

A．4，﹣2B．﹣4，﹣2．4，2D．﹣4，2

3．（2016•威海）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（　　）

A．B．﹣．4D．﹣1

4．（2016•台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了4场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）

A．x（x﹣1）=4B．x（x+1）=4．x（x﹣1）=4D．x（x+1）=4

．（2016•随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为288万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）

A．20（1+2x）=288B．288（1+x）2=20

．20（1+x）2=288D．20+20（1+x）+20（1+x）2=288

6．（2016•衡阳）关于x的一元二次方程x2+4x+=0有两个相等的实根，则的值为（　　）

A．=﹣4B．=4．≥﹣4D．≥4

7（2016•辽宁丹东•3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为　　．

8．（2016•四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2+1）=0有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求的取值范围．

【分析】

（1）根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4（2+1）≥0，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2+1）+6≥20，然后解不等式和利用

（1）中的结论可确定满足条的的取值范围．

9．（2016•四川内江12分）某中学外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图14所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．

（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；

（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？

如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；

（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．

【达标检测】

一、选择题

1．方程的解是（）

A．B．．D．或

2．（2016•内蒙古包头•3分）若关于x的方程x2+（+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则的值是（　　）

A．﹣B．．﹣或D．1

3．（2016•四川泸州）若关于x的一元二次方程x2+2（﹣1）x+2﹣1=0有实数根，则的取值范围是（　　）

A．≥1B．＞1．＜1D．≤1

4（2016•湖北荆门•3分）已知3是关于x的方程x2﹣（+1）x+2=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△AB的两条边的边长，则△AB的周长为（　　）

A．7B．10．11D．10或11

．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．B．．D．

6．（2016•广州）定义运算：

a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+=0（＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（　　）

A．0B．1．2D．与有关

7．（2016•湖北荆门）若二次函数=x2+x的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+x=7的解为（　　）

A．x1=0，x2=6B．x1=1，x2=7．x1=1，x2=﹣7D．x1=﹣1，x2=7

8（2016•东潍坊）关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（　　）

A．1°B．30°．4°D．60°

二、填空题

9（201•丹东）若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a=　　．

10（2016•东省德州市•4分）方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x12+x22=　　．

11．（2016•四川宜宾）已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22=　　．

12．（2016•四川攀枝花）设x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则+的值为　　．

13．把小圆形场地的半径增加米得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的4倍，设小圆形场地的半径为x米，若要求出未知数x，则应列出方程（列出方程，不要求解方程）。

14．若一元二次方程x2﹣6x+=0有两个相等的实数根，则的值为．

1．（2016•湖北黄石）关于x的一元二次方程x2+2x﹣2+1=0的两实数根之积为负，则实数的取值范围是　　．

16．若方程的两根分别为，，则的值为_________．

17．（2016•四川眉）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为　　．

18（2016•四川眉）设、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则2+3+n=　．

三、解答题（1-4题每题6分,题9分，6-7题每题8分,共49分）

19．解方程

20（2016•东潍坊）关于x的方程3x2+x﹣8=0有一个根是，求另一个根及的值．

21．（2016•湖北荆州）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣）x2+3x+（3﹣）n=0②中，、、n均为实数，方程①的根为非负数．

（1）求的取值范围；

（2）当方程②有两个整数根x1、x2，为整数，且=+2，n=1时，求方程②的整数根；

（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣）+x2（x2﹣）=（x1﹣）（x2﹣），且为负整数时，试判断||≤2是否成立？

请说明理由．

22（2016•内蒙古包头）一幅长20、宽12的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：

2．设竖彩条的宽度为x，图案中三条彩条所占面积为2．

（1）求与x之间的函数关系式；

（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．

23（2016•青海西宁）青海新闻网讯：

2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340万元，新建120个公共自行车站点、配置220辆公共自行车．

（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？

（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．

参考答案

【知识归纳答案】

1．一元二次方程：

两、2、、、bx、、a、b

2一元二次方程的常用解法：

（1）直接开平方法：

、

（2）配方法：

①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解如果n＜0，则原方程无解

（3）公式法：

（4）因式分解法：

①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解

3一元二次方程根的判别式：

（1）不等、

（2）两个、

（3）没有

4．一元二次方程根与系数的关系，

【基础检测答案】

1．（2016•枣庄）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）

A．B．﹣1．2D．﹣

【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．

【解答】解：

∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为，

∴﹣2+=，

解得，=﹣1，

故选B．

【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．

2．（2016•雅安）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及的值分别为（　　）

A．4，﹣2B．﹣4，﹣2．4，2D．﹣4，2

【分析】根据题意，利用根与系数的关系式列出关系式，确定出另一根及的值即可．

【解答】解：

由根与系数的关系式得：

2x2=﹣8，2+x2=﹣=﹣2，

解得：

x2=﹣4，=2，

则另一实数根及的值分别为﹣4，2，

故选D

【点评】此题考查了根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

3．（2016•威海）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（　　）

A．B．﹣．4D．﹣1

【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．

【解答】解：

∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，

∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，

解得a=2，b=﹣，

∴ba=（﹣）2=．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

4．（2016•台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了4场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）

A．x（x﹣1）=4B．x（x+1）=4．x（x﹣1）=4D．x（x+1）=4

【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）=4．

【解答】解：

∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，

∴共比赛场数为x（x﹣1），

∴共比赛了4场，

∴x（x﹣1）=4，

故选A．

【点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．

．（2016•随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为288万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）

A．20（1+2x）=288B．288（1+x）2=20

．20（1+x）2=288D．20+20（1+x）+20（1+x）2=288

【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为288万人次”，可得出方程．

【解答】解：

设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=288，

故选．

【点评】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

6．（2016•衡阳）关于x的一元二次方程x2+4x+=0有两个相等的实根，则的值为（　　）

A．=﹣4B．=4．≥﹣4D．≥4

【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4=0，然后解一次方程即可．

【解答】解：

∵一元二次方程x2+4x+=0有两个相等的实根，

∴△=42﹣4=0，

解得：

=4，

故选：

B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4a：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

7（2016•辽宁丹东•3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为　60（1+x）2=100　．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出，6月的营业额，即可列出方程．

【解答】解：

设平均每月的增长率为x，

根据题意可得：

60（1+x）2=100．

故答案为：

60（1+x）2=100．

8．（2016•四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2+1）=0有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求的取值范围．

【分析】

（1）根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4（2+1）≥0，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2+1）+6≥20，然后解不等式和利用

（1）中的结论可确定满足条的的取值范围．

【解答】解：

（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2+1）≥0，

解得≤4；

（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2+1，

而2x1x2+x1+x2≥20，

所以2（2+1）+6≥20，解得≥3，

而≤4，

所以的范围为3≤≤4．

【点评】本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根与系数的关系．

9．（2016•四川内江）某中学外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图14所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．

（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；

（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？

如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；

（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．【考点】应用题，一元二次方程，二次函数。

解：

（1）苗圃园与墙平行的一边长为（30－2x）米．依题意可列方程

x（30－2x）＝72，即x2－1x＋36＝0．

解得x1＝3，x2＝12．

（2）依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11．

面积S＝x（30－2x）＝－2（x－）2＋（6≤x≤11）．

①当x＝时，S有最大值，S最大＝；

②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×（30－22）＝88．

（3）令x（30－2x）＝100，得x2－1x＋0＝0．

解得x1＝，x2＝10．

∴x的取值范围是≤x≤10．

【达标检测答案】

一、选择题

1．方程的解是（）

A．B．．D．或

【答案】D

【解析】

试题分析：

先移项，得x2－3x＝0，再提公因式，得x（x－3）＝0，从而得x＝0或x＝3

故选D

2．（2016•内蒙古包头•3分）若关于x的方程x2+（+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则的值是（　　）

A．﹣B．．﹣或D．1

【考点】一元二次方程的解．

【分析】由根与系数的关系可得：

x1+x2=﹣（+1），x1•x2=，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或﹣1，然后把±1分别代入两根之和的形式中就可以求出的值．

【解答】解：

由根与系数的关系可得：

x1+x2=﹣（+1），x1•x2=，

又知个实数根的倒数恰是它本身，

则该实根为1或﹣1，

若是1时，即1+x2=﹣（+1），而x2=，解得=﹣；

若是﹣1时，则=．

故选：

．

3．（2016•四川泸州）若关于x的一元二次方程x2+2（﹣1）x+2﹣1=0有实数根，则的取值范围是（　　）

A．≥1B．＞1．＜1D．≤1

【考点】根的判别式．

【分析】直接利用根的判别式进而分析得出的取值范围．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程x2+2（﹣1）x+2﹣1=0有实数根，

∴△=b2﹣4a=4（﹣1）2﹣4（2﹣1）=﹣8+8≥0，

解得：

≤1．

故选：

D．

4（2016•湖北荆门•3分）已知3是关于x的方程x2﹣（+1）x+2=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△AB的两条边的边长，则△AB的周长为（　　）

A．7B．10．11D．10或11

【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

【分析】把x=3代入已知方程求得的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△AB的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．

【解答】解：

把x=3代入方程得9﹣3（+1）+2=0，

解得=6，

则原方程为x2﹣7x+12=0，

解得x1=3，x2=4，

因为这个方程的两个根恰好是等腰△AB的两条边长，

①当△AB的腰为4，底边为3时，则△AB的周长为4+4+3=11；

②当△AB的腰为3，底边为4时，则△AB的周长为3+3+4=10．

综上所述，该△AB的周长为10或11．

故选：

D．

．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．B．．D．

【答案】A．

【解析】

试题分析：

∵关于x的一元二次方程有实数根，∴△=，∴．故选A．

6．（2016•广州）定义运算：

a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+=0（＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（　　）

A．0B．1．2D．与有关

【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，ab=，根据新运算，找出b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．

【解答】解：

∵a，b是方程x2﹣x+=0（＜0）的两根，

∴a+b=1，ab=．

∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．

故选A．

【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，ab=．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．

7．（2016•湖北荆门•3分）若二次函数=x2+x的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+x=7的解为（　　）

A．x1=0，x2=6B．x1=1，x2=7．x1=1，x2=﹣7D．x1=﹣1，x2=7

【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法．

【分析】先根据二次函数=x2+x的对称轴是x=3求出的值，再把的值代入方程x2+x=7，求出x的值即可．

【解答】解：

∵二次函数=x2+x的对称轴是x=3，

∴﹣=3，解得=﹣6，

∴关于x的方程x2+x=7可化为x2﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7）=0，解得x1=﹣1，x2=7．

故选D．

8（2016•东潍坊•3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（　　）

A．1°B．30°．4°D．60°

【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值．

【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα=，再由α为锐角，即可得出结论．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，

∴△=﹣4sinα=2﹣4sinα=0，

解得：

sinα=，

∵α为锐角，

∴α=30°．

故选B．

二、填空题

9（201•丹东，第1题3分）若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a=　　．

【解析】：

根据方程的根的定义将x=1代入方程得到关于a的方程，然后解得a的值即可．

【解答】解：

将x=1代入得：

1+2+a=0，

解得：

a=﹣3．

故答案为：

﹣3．

【点评】本题主要考查的是方程的解（根）的定义和一元一次方程的解法，将方程的解代入方程是解题的关键．

10（2016•东省德州市•4分）方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x12+x22=　　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系得出“x1+x2=，x1•x2=”，再利用完全平方公式将x12+x22转化成﹣2x1•x2，代入数据即可得出结论．

【解答】解：

∵方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，

∴x1+x2=，x1•x2=，

∴x12+x22=﹣2x1•x2=﹣2×（）=．

故答案为：

．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是求出x1+x2=，x1•x2=．

11．（2016•四川宜宾）已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22=　　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，再利用完全平方公式变形得到x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：

根据题意得x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，

所以x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x