中考数学复习知识点易错部分突破训练一元二次方程附答案.docx

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中考数学复习知识点易错部分突破训练一元二次方程附答案

2021年中考数学复习知识点易错部分突破训练：

一元二次方程（附答案）

1．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（　　）

A．2，﹣3B．﹣2，﹣3C．2，﹣3xD．﹣2，﹣3x

2．已知实数a，b同时满足a2+b2﹣11＝0，a2﹣5b﹣5＝0，则b的值是（　　）

A．1B．1，﹣6C．﹣1D．﹣6

3．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：

将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔•花拉子米的思路，解方程x2﹣4x﹣21＝0时构造的图形及相应正方形面积S正确的是（　　）

A．

S＝21+4＝25B．

S＝21﹣4＝17

C．

S＝21+4＝25D．

S＝21﹣4＝17

4．若关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（　　）

A．k≠1B．k＜0C．k＜﹣1D．k＞0

5．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）

A．﹣2或4B．4C．﹣2D．2或﹣4

6．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．

B．

且k≠1C．

D．

且k≠1

7．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程

kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（　　）

A．6.5B．7C．6.5或7D．8

8．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（　　）

A．5个B．4个C．3个D．2个

9．关于未知数x的方程ax2+4x﹣1＝0只有正实数根，则a的取值范围为（　　）

A．﹣4≤a≤0B．﹣4≤a＜0C．﹣4＜a≤0D．﹣4＜a＜0

10．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（　　）．

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

11．代数式2x2﹣4x+3的值一定（　　）

A．大于3B．小于3C．等于3D．不小于1

12．已知x，y都为实数，则式子﹣3x2+3xy+6x﹣y2的最大值是（　　）

A．0B．2

C．

D．12

13．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝　　．

14．将方程（2﹣x）（x+1）＝8化为二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是　　，它的一次项系数是　　，常数项是　　．

15．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是　　．

16．已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是　　．

17．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝　　，x1＝　　，x2＝　　．

18．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是　　．

19．设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，则这个直角三角形的斜边长为　　．

20．若关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，则k的取值范围是　　．

21．已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则

+2x1x2+

＝　　．

22．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．若某小组共x个队，共赛了90场，则列出的方程是　　．

23．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，求m的值．

24．关于x的一元二次方程（2m﹣4）x2+3mx+m2﹣4＝0有一根为0，求m的值．

25．

（1）（y﹣1）2﹣4＝0

（2）（配方法）2x2﹣5x+2＝0．

26．解方程：

2x2﹣5x﹣1＝0；

27．解关于x的方程：

a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）＝（a2﹣1）x．

28．选用适当的方法解下列方程：

（1）（3﹣x）2+x2＝9；

（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0；

（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；

（4）

（x﹣1）2＝（1﹣x）

29．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个实数根，求k的取值范围．

30．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心，CB长为半径画弧交线段AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧交线段AB于点E，连结BD．

（1）若∠A＝∠ABD，求∠C的度数．

（2）设BC＝a，AB＝b．

①请用含a，b的代数式表示AD与BE的长．

②AD与BE的长能同时是方程x2+2ax﹣b2＝0的根吗？

说明理由．

31．4月12日华为新出的型号为“P30Pro”的手机在上海召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“P30Pro”手机进行销售，每台的成本是4400元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是5400元，共获利100万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加400元，获得的利润却是国内的6倍．

（1）求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？

（2）受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低m%，销量上涨5m%；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨m%，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求m的值．

32．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．

我们定义：

一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由是：

因为5＝12+22、所以5是“完美数”．

解决问题：

（1）已知29是“完美数”．请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式　　．

（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn的值　　．

探究问题：

（1）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，则x+y的值　　．

（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．

参考答案

1．解：

一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4，

去括号得：

2x2﹣2x＝x﹣3+4，

移项，合并同类项得：

2x2﹣3x﹣1＝0，

其二次项系数与一次项分别是2，﹣3x．

故选：

C．

2．解：

∵a2+b2﹣11＝0，①

a2﹣5b﹣5＝0，②

∴①﹣②得b2+5b﹣6＝0，

（b+6）（b﹣1）＝0，

∴b1＝﹣6，b2＝1．

当b＝﹣6时，

a2＝﹣25，方程无实数根，不合题意，舍去．

∴b＝1．

故选：

A．

3．解：

x2﹣4x﹣21＝0

x2﹣4x+4＝21+4

（x﹣2）2＝25

正方形面积（阴影部分）S＝21+4＝25，

故选：

C．

4．解：

∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，

∴x1＝2，x2＝k+1．

∵方程有一根小于1，一根大于1，

∴k+1＜1，解得：

k＜0，

∴k的取值范围为k＜0．

故选：

B．

5．解：

设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，

解得：

y＝4或﹣2，

当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，

当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，

所以x2+2x＝4．

故选：

B．

6．解：

①当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为﹣2x﹣2＝0，此时方程有一个解，不符合题意；

②当k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，

∴（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，

解得：

k＞

且k≠1．

故选：

B．

7．解：

∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程

kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，

∴△＝[﹣（k+3）]2﹣4×

k×6＝0，

解得k＝3，

∴一元二次方程为

x2﹣6x+6＝0，

∴两腰之和为

＝4，

∴△ABC的周长为4+3＝7，

故选：

B．

8．解：

m2x2﹣8mx+12＝0，

解法一：

△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，

∴x＝

＝

，

∴x1＝

，x2＝

，

解法二：

（mx﹣2）（mx﹣6）＝0，

∴x1＝

，x2＝

，

∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，

∴

＞0，

＞0，

∴m＝1或2或3或6，

则满足条件的m的值的个数是4个，

故选：

B．

9．解：

当a＝0时，方程是一元一次方程，方程是4x﹣1＝0，解得x＝

，是正根；

当a≠0时，方程是一元二次方程．

∵a＝a，b＝4，c＝﹣1，

∴△＝16+4a≥0，

x1+x2＝﹣

＞0，

x1•x2＝﹣

＞0

解得：

﹣4≤a＜0．

总之：

﹣4≤a≤0．

故选：

A．

10．解：

设截去的小正方形的边长是xcm，由题意得

（28﹣2x）（20﹣2x）＝180，

解得：

x1＝5，x2＝19，

∵20﹣2x＞0，

∴x＜10．

∴x2＝19，不符合题意，应舍去．

∴x＝5．

∴截去的小正方形的边长是5cm．

故选：

C．

11．解：

∵（x﹣1）2≥0，

∴代数式2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x+1）+1＝2（x﹣1）2+1≥1，

则代数式2x2﹣4x+3的值一定不小于1．

故选：

D．

12．解：

﹣3x2+3xy+6x﹣y2

＝﹣（

）

＝﹣[（

x2﹣6x+12）+（

x2﹣3xy+y2）﹣12]

＝﹣[（

x﹣2

）2+（

x﹣y）2﹣12]，

∵要求原式的最大值，即求（

x﹣2

）2+（

x﹣y）2﹣12的最小值，

显然，当（

x﹣2

）＝0，（

x﹣y）2＝0，即x＝4，y＝6时，取得最小值为﹣12，

∴式子﹣3x2+3xy+6x﹣y2的最大值是12，

故选：

D．

13．解：

因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．

所以得到

，解得m＝2．

14．解：

（2﹣x）（x+1）＝8，

2x+2﹣x2﹣x﹣8＝0，

﹣x2+x﹣6＝0，

两边都除以﹣1得：

x2﹣x+6＝0，

即一元二次方程的一般形式是x2﹣x+6＝0，它的一次项系数是﹣

1，常数项是6，

故答案为：

x2﹣x+6＝0，﹣1，6．

15．解：

设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，

则t2+mt+1＝0①，

t2+t+m＝0②，

①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，

如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，不符合题意；

如果m≠1，那么t＝1，

把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．

故常数m的值为﹣2．

故答案为：

﹣2．

16．解：

∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，

∴方程m（x+a﹣2）2+n＝0可变形为m[（x﹣2）+a]2+n＝0，

∵此方程中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，

解得x1＝﹣1或x2＝3．

故答案为：

x1＝﹣1，x2＝3．

17．解：

2x2﹣7x+1＝0，

a＝2，b＝﹣7，c＝1，

∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41，

∴x＝

＝

，

∴x1＝

，x2＝

，

故答案为：

41，

，

．

18．解：

x2﹣6x+8＝0，

（x﹣2）（x﹣4）＝0，

x﹣2＝0，x﹣4＝0，

x1＝2，x2＝4，

当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，

当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，

故答案为：

13．

19．解：

设x2+y2＝t，则原方程可化为：

t（t﹣1）＝20，

∴t2﹣t﹣20＝0，

即（t+4）（t﹣5）＝0，

∴t1＝5，t2＝﹣4（舍去），

∴x2+y2＝5，

∴这个直角三角形的斜边长为

，

故答案为：

．

20．解：

∵关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，

∴△＝b2﹣4ac＝k2﹣16＞0，

即k2＞16，

解得k＜﹣4或k＞4，

而k＜﹣4时，x2﹣k|x|+4的值不可能等于0，

所以k＞4．

故填空答案：

k＞4．

21．解：

∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，

∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，

∴

+2x1x2+

＝2x1x2+

＝2×（﹣8）+

＝﹣16+

＝﹣

，

故答案为：

﹣

．

22．解：

∵每个队都要与其余队比赛一场，某小组共x个队，

∴每个队都要赛（x﹣1）场，

∵共赛了90场，

∴可列方程为x（x﹣1）＝90，

故答案为x（x﹣1）＝90．

23．解：

根据题意得，|m﹣1|＝2，且m+1≠0，

解得：

m＝3，

答：

m的值为3．

24．解：

把x＝0代入（2m﹣4）x2+3mx+m2﹣4＝0，得：

m2﹣4＝0，

解得m＝±2，

又∵2m﹣4≠0，

解得m≠2，

∴m＝﹣2．

25．解：

（1）移项得：

（y﹣1）2＝4，

开方得：

y﹣1＝±2，

解得：

y1＝3，y2＝﹣1．

（2）

，

，

，

，

∴

，x2＝2．

26．解：

（1）a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1，

∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝33，

∴x＝

，

∴x1＝

，x2＝

．

解：

（2）原式＝﹣4+2

×

﹣

+|1﹣2×

|，

＝﹣4+6﹣

+

﹣1，

＝

+

．

27．解：

整理方程得

（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）＝0．

（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，

[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]＝0，

x1＝

，x2＝

；

（2）当a2﹣a＝0时，原方程为一元一次方程，

当a＝0时，x＝0；

当a＝1时，x＝2．

28．解：

（1）（3﹣x）2+x2＝9，

2x2﹣6x＝0，

x2﹣3x＝0，

x（x﹣3）＝0，

x1＝0，x2＝3；

（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0，

（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）﹣6＝0，

（2x﹣1﹣3）（2x﹣1+2）＝0，

x1＝2，x2＝﹣

；

（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；

3x﹣1＝±2（x﹣1），

3x﹣1＝2x﹣2，3x﹣1＝﹣2x+2，

x1＝﹣1，x2＝

；

（4）

（x﹣1）2＝（1﹣x），

（x﹣1）2+（x﹣1）＝0，

（x﹣1）（

x﹣

+1）＝0，

x1＝1，x2＝

．

29．解：

∵方程有两个实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝36﹣4k×9＝36﹣36k≥0，

解得：

k≤1且k≠0．

30．解：

（1）∵∠A＝∠ABD，∠ABC＝90°，

∴∠A+∠C＝∠CBD+∠ABD＝90°，

∴∠C＝∠CBD，

∵CD＝CB，

∴∠CDB＝∠CBD＝∠C，

∴△CDB是等边三角形，

∴∠C＝60°；

（2）①∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝a，AB＝b，

∴AC＝

，

∵CD＝BC＝a，

∴AD＝AE＝AC﹣CD＝

﹣a，

∴BE＝AB﹣AE＝b﹣

+a；

②AD与BE的长不能同时是方程x2+2ax﹣b2＝0的根；

理由：

设AD，BE分别为方程x2+2ax﹣b2＝0的两根，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，AD+BE＝﹣2a，AD•BE＝﹣b2，

∵a＞0，b＞0，

∴AD+BE＝﹣2a＜0，AD•BE＝﹣b2＜0，而AD+BE＞0，AD•BE＞0，

∴AD与BE的长不能同时是方程x2+2ax﹣b2＝0的根．

31．解：

（1）设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元，

根据题意得：

•[x﹣（4400+400）]＝6×100，

x＝10800，

答：

该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是10800元；

（2）第一个星期国内销售手机的数量为：

＝1000（台），

由题意得：

10800（1+m%）×[10000﹣2000﹣1000（1+5m%）]﹣5400（1﹣m%）×1000（1+5m%）＝69930000，

10800（1+m%）（7000﹣5000m%）﹣5400×1000（1﹣m%）（1+5m%）＝69930000，

1080（1+m%）（7﹣5m%）﹣540（1﹣m%）（1+5m%）＝6993，

设m%＝a，则原方程化为：

1080（1+a）（7﹣5a）﹣540（1﹣a）（1+5a）＝6993，

360（1+a）（7﹣5a）﹣180（1﹣a）（1+5a）＝2331，

a2＝0.01，

a＝0.1或﹣0.1（舍），

∴m＝10．

32．解：

解决问题：

（1）∵29＝52+22，

∴29是“完美数”；

（2）∵x2﹣4x+5＝（x2﹣4x+4）+1＝（x﹣2）2+1，

又x2﹣4x+5＝（x﹣m）2+n，

∴m＝2，n＝1，

∴mn＝2×1＝2；

故答案为：

（1）29＝52+22；

（2）2；

探究问题：

（1）x2+y2﹣2x+4y+5＝0，

x2﹣2x+1+（y2+4y+4）＝0，

（x﹣1）2+（y+2）2＝0，

∴x﹣1＝0，y+2＝0，

∴x＝1，y＝﹣2，

∴x+y＝1﹣2＝﹣1；

故答案为：

﹣1；

（2）当k＝13时，S是完美数，

理由如下：

S＝x2+4y2+4x﹣12y+13

＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9

＝（x+2）2+（2y﹣3）2，

∵x，y是整数，

∴x+2，2y﹣3也是整数，

∴S是一个“完美数”