66 一元非线性方程的解法习题课.docx
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66一元非线性方程的解法习题课
第六章一元非线性方程的解法习题课
一、教学目标及基本要求
通过对本节课的学习，使学生掌握方程求根的数值解法。
二、教学内容及学时分配
本章主要介绍方程求根的迭代法。
三、教学重点难点
1．教学重点：
各种方法串讲一遍，并举例说明用法。
2.教学难点：
非线性方程迭代法。
四、教学中应注意的问题
多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解迭代收敛性。
五、正文
若（x）是非线性函数，则（x）=0称为一元非线性方程
若（x）是多项式函数，则（x）=0称为代数方程
若（x）是含超越函数，则（x）=0称为超越方程
若（x*）=0，则称x*为方程（x）=0的根，或称为函数（x）的零点。
若（x）=（x-x*）kg（x）,g（x*）0，则称x*为方程（x）=0的k重根，或称为函数（x）的k重零点。
x*为函数（x）的k重零点（x*）=（x*）=…=（k-1）（x*）=0,（k）（x*）0
1、二分法
二分法或称对分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。
问题：
设函数（x）在[a,b]上连续，且（a）（b）<0，则（x）=0在[a,b]内至少有一零点，[a,b]称有根区间，若（x）=0在[a,b]内有唯一根x*，求满足精度要求的近似根.。
二分法的基本思想：
-----计算中通过对分区间、缩小区间范围的步骤搜索零点的位置。
二分法的计算过程如下：
（结合图,教学）
（1）把[a,b]二等分，分点x0=（a+b）/2,
若（x0）=0,则实根x*=x0，计算结束，否则
若（x0）（a）<0,则x*（a,x0）,取a1=a,b1=x0,否则x*（x0,b）,取a1=x0,b1=b,
得有根区[a1,b1],其长度是原[a,b]的一半。
（2）重复上述步骤，把[a1,b1]二等分，分点x1=（a1+b1）/2,
若（x1）0,又的得有根区[a2,b2],其长度是[a1,b1]的一半。
（3）如此反复下去，若（xk）0,则可的一列有根区间：
[a,b][a1,b1][a1,b1]…[ak,bk]…
其中[ak,bk]的长度是[ak-1,bk-1]的一半,lin（bk-ak）=0,limxk=x*
实际计算时，可按精度要求结束二分法过程：
（1）当bk+1-ak+1<时，有x*-xk<,计算结束
（2）要x*-xk<,只需
即k+1>
∴作k+1次二分法，计算结束。
例用二分法求解（x）=x4-x-10.27=0在区间（1,2）上的根,精确到10-2。
解：
（1）
（1）=-10,
（2）=4，有根区间[1,2]
（2）x0=（1+2）/2=1.5,（1.5）=-6.707,有根区间[1.5,2]
（3）x2=（1.5+2）/2=1.75,（1.75）=-2.641,有根区间[1.75,2]
…
结果见表2.1
b7-a7≈0.0078<10-2,x*-x7<=0.510-2,∴x*≈x=1.863
例证明1-x-sinx=0在[0,1]内有唯一实根，使用二分法求误差不大于0.510-4的根要二分多少次？
解：
（1）（x）=1-x-sinx,（0）=1>0,
（1）=-sin1<0,∴（x）在[0,1]内有实根;
又在（0,1）内（x）=-1-conx<0,（x）单调减少，∴（x）在[0,1]内有唯一实根，
（2）=0.510-4，k+1>
=
≥14.2788
∴要二分15次
计算机上机时二分法的计算步骤：
------（课外阅读）
二分法的特点：
------（课外阅读）
§6.2迭代法（逐次逼近法）
1.迭代法及其几何意义
问题：
若（x）=0在[a,b]内有一根x*，求（x）=0满足精度要求的近似根.。
迭代法思想方法：
-----
（1）将（x）=0转换成等价形式：
x=g（x）,（g（x）称迭代函数）
（2）给定初值x0，构造迭代序列:
xx+1=g（xx）,k=0.1.2.…
（3）limxk+1=limg（xk）=a时迭代法收敛（否则发散）,则a就是方程（x）=0的根。
kk
在计算中,当xk+1-xk<时取a=xk+1为方程的根。
几何意义------
（1）将求（x）=0的根转换成求：
y=x,y=g（x）的交点P*（x,g（x））
（2）构造点列：
{Pk（xk,g（xk））}逼近交点P*（x,g（x））（图2-2）
例求（x）=x5-2x-1=0在区间（1,2）内的根,用6位有效数字计算。
解：
（1）=-2,
（2）=27，又在（1,2）内（x）=5x4-2>0,∴（x）在（1,2）内有唯一实根，
（1）将x5-2x-1=0转换成x=g（x）=
得迭代公式：
xk+1=
k=0.1.2.…
取初值x0=1.5,计算得：
x1=1.31951,…,x5=x6=1.29065
∴x*≈1.29065是所求的根。
（2）若将x5-2x-1=0转换成x=0.5（x5-1）
得迭代公式：
xk+1=0.5（x5k-1）,k=0.1.2.…
取初值x0=1.5,计算x1=3.29688,…,迭代法发散.
对于方程（x）=0构造的多种迭代格式xk+1=g（xk），怎样判断构造的迭代格式是否收敛？
收敛是否与迭代的初值有关？
2、迭代法的收敛条件和误差估计
定理设迭代函数g（x）满足
（1）对任意x[a,b]有a≤g（x）≤b
（2）g（x）可微，且存在正数q<1，使对任意x[a,b]有g（x）≤q<1
则迭代公式xk+1=g（xk）对任意初值x0[a,b]均收敛于方程x=g（x）在区间[a,b]上的唯一根x*，且有如下误差估计式
证：
（1）先证明存在性：
令（x）=x-g（x）,则有
（a）=a-g（a）≤0,（b）=b-g（b）≥0,
故有a≤x*≤b,使得（x*）=x*-g（x*）=0,或x*=g（x*）
（2）再证明惟一性：
设x*,y*是x=g（x）的根，则有
∵q<1，∴x*,=y*
（3）证明迭代序列收敛
∵q<1，∴k+时，qk0,有x*-xk0,从而序列{xk}收敛于x*
（4）证明误差估计式,
xk+t-xk+t-1≤qtxk-xk-1,
∴设k固定,对于任意的正整数p,
xk+p-xk≤xk+p-xk+p-1+xk+p-1-xk+p-2+…+xk+1-xk
≤（qp+qp-1+…+q）xk-xk-1=
≤
令p+,有xk+px*,qp0,有
注：
（1）由误差估计式可见：
当xk+1-xk<时可结束计算；
（2）q越小收敛速度越快，q接近1，收敛缓慢，甚至造成迭代失败。
（2）定理2.1是判断迭代法收敛的充分条件，而非必要条件。
迭代公式发散的充分条件：
若
，迭代公式x=g（x）发散。
例已知（x）=x-lnx-2=0在（2,4）内有一根，其等价形式：
（1）xk=lnx+2
（2）x=ex-2
判断对应的迭代法的敛散性，
解：
（1）g（x）=lnx+2,g（x）=
∴对应的迭代法的收敛。
（2）g（x）=ex-2,g（x）=ex-2
∴对应的迭代法的发散。
例求x=e—x在x=0.5附近的一个根,按五位小数计算，精度ε=10-3
解：
（1）确定有根区间：
（x）=x-e-x=0,（0.5）≈-0.10653<0,
（x）=1+e-x>0,（0.6）≈0.05119>0,得有根区间：
（0.5,0.6）
（2）构造迭代公式：
，
g（x）=e-x,g（0.5）≈0.60653（0.5,0.6）,[g（0.7）≈0.49659（0.5,0.7）]*,
g（0.61）≈0.54335（0.5,0.61）,
∴在（0.54.0.61）内满足定理2.1
（1）
∴迭代公式收敛。
（3）取x0=0.5,计算，得表2-2：
可见：
x*≈x10=0.567
为了保证迭代收敛，我们要考虑在根附近的收敛性。
3、局部收敛性与迭代法的阶
定义若存在D：
x-x*<,使迭代公式xk+1=g（xk）对任意初值x0D收敛，则称它在根
x*附近的局部收敛。
定理设g（x）在方程x=g（x）的根x*附近具有一阶连续导数，且g（x）1，则
迭代公式xk+1=g（xk）在x*附近局部收敛。
例：
在例5中，g（x）=e-x,在（0.1）内g（x）=e-xe0=1,
∴迭代公式在根x*附近局部收敛。
例已知x=（x）在[a,b]内有根x*，且在[a,b]上满足（x）-3<1，试构造g（x）,使xk+1=g（xk）（k=1,2…）局部收敛于x*。
分析：
令g（x）=[（x）-3],≤1,则在[a,b]内g（x）=（x）-3<1
x=g（x）=[（x）-3x]+C=[x-3x]+C=-2x+C,
∴=
.C=0,g（x）=
定义设迭代序列{xk}收敛于的根x*，迭代误差ek=xk-x*（k=1,2…），
若存在常数p≥1和C>0，有：
则称{xk}是p阶收敛的，
当p=1,0当1当p=2时，称为平方收敛
若由迭代函数g（x）产生的序列{xk}是p阶收敛的，则称g（x）是p阶迭代函数,并称迭代公式
xk+1=g（xk）是p阶收敛.
一般来说，阶数P越高，收敛速度越块。
阶数是衡量收敛好坏的标志之一。
定理若g（x）在g（x）=0的根x*附近有连续的p阶导数，且g（x*）=g（x*）=…=g（p-1）（x*）=0,
g（p）（x*）0。
则迭代公式xk+1=g（xk）在x*的邻域内是p阶收敛的,且
证：
（1）由g（x*）=0，知迭代公式xk+1=g（xk）在x*附近局部收敛。
，
（2）把g（x）在x*处泰勒展开
在西xk与x*之间。
ek+1=xk+1-x*=g（xk）-g（x*）=
∴
∴迭代公式p阶收敛
例已知迭代公式
局部收敛于
的根x*=1，证明迭代公式平方收敛。
证法一：
（应用定理2.3）
g
（1）=0,g
（1）0
∴迭代公式平方收敛。
证法二：
（应用定义2.2）
∴
∴迭代公式平方收敛。
计算机上机时迭代法的计算步骤：
------（课外阅读）
4、牛顿迭代法
对方程（x）=0,可构造多种迭代公式xk+1=g（xk）,牛顿迭代法是借助于对函数（x）作一阶泰
勒展开而构造的一种迭代格式。
将（x）在（x）=0在近似根xk作一阶泰勒展开：
（x）=0可近似表示成：
设其根为xk+1,有：
当（xk）0，有：
（牛顿迭代公式）
用此迭代公式求方程的近似根的方法称为牛顿迭代法。
牛顿法的几何意义
作y=（x）在x0点的切线与x轴的交点x1，再作y=（x）在x1点的切线与x轴的交点x2，…,这样逐步逼近方程的根x*。
如图：
牛顿切线法示意图
所以牛顿迭代法也称切线法。
例用牛顿迭代法求方程x=e–x在[0,1]中的近似根。
解：
把方程改为：
（x）=xex-1=0,
（x）=ex+xex,
得迭代公式：
（k=0,1,2…）
取x0=0.5,计算结果（列于表2.3中）：
k
0
1
2
3
xk
0.5
0.57102
0.56716
0.56714
x3-x20.00002,xx3=0.56714,
说明：
与例2.5比较，以看到牛顿迭代法的收敛速度明显于对分法。
例用牛顿迭代法计算
取=10-6
解：
x=
是方程（x）=x2-31=0的正实根
（x）=2x,
得迭代公式：
（k=0,1,2…）
（5,6）,取x0=5.5,计算结果：
k
0
1
2
3
xk
5.5
5.56818182
5.56776438
5.56776436
x3-x20.00000002<
x3=5.56776436,
例应用牛顿迭代法于方程（x）=xn-a=0,和（x）=1-
=0,分别导出求
（a>0）的迭代公式
解：
（1）（x）=xn-a=0,（x）=nxn-1,
得迭代公式：
（k=0,1,2…）
（2）（x）=1-
=0,（x）=
得迭代公式：
（k=0,1,2…）
5、牛顿迭代法的收敛速度
定理设x*是方程（x）=0的单根，且（x）在x*的某邻域有二阶连续导数，则牛顿法在x*
附近局部收敛，且至少二阶收敛。
有
证：
牛顿迭代函数：
g（x）=x-
x*是（x）=0的单根，且（x*）=0,（x*）0,
g（x*）=
由定理知牛顿法在x*附近局部收敛，且至少二阶收敛。
牛顿迭代法也有局限性：
（1）若x是（x）的重根，迭代法也收敛，但已是一`阶收敛；
（2）当迭代的初始值x0在某根的附近时迭代才能收敛到这个根，尤其在（x0）数值很小时,会
发生从一个根附近跳向另一个根附近的情况，如图
图2.3失效的牛顿迭代法
牛顿迭代法对初值要求比较高，我们有：
定理2.5若在[a,b]上,（a）（b）<0,（x）0,（x）连续不变号，初值x0[a,b],（x0）（x0）>0,牛顿迭代序列单调收敛到（x）=0的单根。
证略，其几何意义如图：
6、牛顿下山法：
牛顿迭代法，当初值x0离单根太远，迭代法发散，但一旦收敛域会平方收敛，为扩大收敛域，可用下山法：
将迭代公式改为：
其中参数（0<<1）称下山因子，的选取使满足：
（xk+1）<（xk）
为方便起见，开始可取=1，然后逐步分半减少，既逐次取为1,1/2,1/22，…,直至找到满足条件（xk+1）<（xk）的的值。
例求方程x3-x-1=0在x=1.5附近的根。
=10-4
解：
（1）（x）=x3-x-1=0,（x）=3x2-1
（x）=ex+xex,
得迭代公式：
（k=0,1,2…）
（2）若取x0=0.7，得x=3.587234，可见偏离根x*.
（3）改用下山法，令
（k=0,1,2…）
仍取x0=0.7，逐次取为1,1/2,1/22，…,搜索，当取=1/22=0.25时，x1=1.421809,已满足条件
（xk+1）<（xk）,计算结果见表2-4---,x4-x3<,x*x4=0.567:
7、弦截法（割线法）
为避免导数的计算，在牛顿迭代公式中：
用差商：
代替导数（xk），就得到弦截法迭代公式：
对应的迭代法称为弦截法。
弦截法的几何意义
过两点P0（x0,（x0））和P1（x1,（x1））的做一条割线（弦），该割线与轴的交点就是生成的迭代点x2，再做过P1（x1,（x1））和P2（x2,（x2））的一条割线，该割线与x轴的交点是x3，继续做下去得到方程（x）=0的根,如图2.4所示
图弦截法示意图
事实上，差商：
是割线的斜率。
弦截法迭代与牛顿迭代法比较：
（1）都是线性迭代法；
（2）牛顿迭代法计算xk+1时，只用到前一步的xk，称单点迭代法，而弦截法迭代，要用到前两步的xk,xk-1,称多点迭代法，
（3）用弦截法迭代求根，每次只需计算一次函数值，而用牛顿迭代法每次要计算一次函数值和一次导数值。
（4）弦截法收敛速度稍慢于牛顿迭代法。
收敛的阶为1.618
例用弦截法求方程x=e–x在x=0.5附近的根，=10-3
解：
（x）=x-e-x,取x0=0.5,x1=0.6
迭代公式：
（k=0,1,2…）
计算结果见表2-5---,x3-x2<,x*x3=0.567
8、埃特金（Aitken）迭代法
埃特金（Aitken）迭代法是一种迭代加速方法。
假设迭代公式：
xk+1=g（xk）收敛速度太慢，在有根区间g（x）L（变化不大）,
先作两次迭代：
由微分中值定理有：
由此消去L，得：
从而得改进迭代式：
埃特金迭代公式：
两次迭代：
改进：
例用埃特金迭代法求方程x=0.99cosx+1在（1,2）内的根，=10-5
解：
建立迭代公式：
xk+1=0.99cosxk+1,
g（x）=0.99cosx+1,在（1,2）内g（x）=-0.99sinx≤0.99<1,迭代法收敛，但q=0.991,
收敛速度太慢。
构造埃特金迭代公式：
取x0=1.5,计算结果见表2-6---,x3-x2=0.000001<,x*x3=1.282975
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