66 一元非线性方程的解法习题课.docx

1、66 一元非线性方程的解法习题课第六章 一元非线性方程的解法习题课一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握方程求根的数值解法。二、教学内容及学时分配本章主要介绍方程求根的迭代法。三、教学重点难点1教学重点：各种方法串讲一遍，并举例说明用法。2. 教学难点：非线性方程迭代法。四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解迭代收敛性。五、正文若(x)是非线性函数，则(x)=0称为一元非线性方程若(x)是多项式函数，则(x)=0称为代数方程若(x)是含超越函数，则(x)=0称为超越方程若(x*)=0，则称x*为方程(x)=0的根，或称为函数(x)的零点。若(x)

2、=(x-x*)kg(x), g(x*)0，则称x*为方程(x)=0的k重根，或称为函数(x)的k重零点。x*为函数(x)的k重零点 (x*)=(x*)=(k-1)(x*)=0, (k)(x*)01、二分法二分法或称对分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。问题：设函数(x)在a, b上连续，且(a) (b)0，则(x)=0在a, b内至少有一零点，a, b称有根区间，若(x)=0在a, b内有唯一根x*，求满足精度要求的近似根.。二分法的基本思想：-计算中通过对分区间、缩小区间范围的步骤搜索零点的位置。二分法的计算过程如下：(结合图, 教学)(1) 把a,b二等分，分点x0=(a+b)/2,若

3、(x0)=0, 则实根x*=x0，计算结束，否则若(x0) (a)0, 则x*(a,x0), 取a1=a,b1=x0, 否则x*(x0,b), 取a1=x0,b1=b,得有根区a1,b1, 其长度是原a,b的一半。(2) 重复上述步骤，把a1,b1二等分，分点x1=(a1+b1)/2,若(x1)0, 又的得有根区a2,b2, 其长度是a1,b1的一半。(3) 如此反复下去，若(xk)0, 则可的一列有根区间：a,ba1,b1 a1,b1 ak,bk 其中ak,bk的长度是ak-1,bk-1的一半, lin(bk-ak)=0, limxk=x*实际计算时，可按精度要求结束二分法过程：(1) 当b

4、k+1-ak+1时，有x*-xk,计算结束(2) 要x*-xk 作k+1次二分法，计算结束。例 用二分法求解(x)=x4-x-10.27=0在区间（1, 2）上的根, 精确到10-2。解：(1) (1)= -10, (2)=4 ，有根区间1, 2(2) x0=(1+2)/2=1.5, (1.5)= -6.707, 有根区间1.5, 2(3) x2=(1.5+2)/2=1.75, (1.75)= -2.641, 有根区间1.75, 2结果见表2.1b7-a70.007810-2, x*-x70, (1)= -sin10, (x)在0,1内有实根;又 在(0,1)内 (x)= -1-conx=14

5、.2788 要二分15次计算机上机时二分法的计算步骤：-（课外阅读）二分法的特点：-（课外阅读）6.2 迭代法（逐次逼近法）1. 迭代法及其几何意义问题：若(x)=0在a, b内有一根x*，求(x)=0满足精度 要求的近似根.。迭代法思想方法：-(1) 将(x)=0转换成等价形式：x=g(x), (g(x)称迭代函数)(2) 给定初值x0，构造迭代序列: xx+1=g(xx) , k=0.1.2. (3) limx k+1=limg(xk)=a时迭代法收敛(否则发散), 则a就是方程(x)=0的根。 k k在计算中, 当xk+1-xk0, (x) 在(1,2)内有唯一实根，(1) 将x5-2x

6、-1=0转换成 x=g(x)=, 得迭代公式：xk+1=, k=0.1.2. 取初值x0=1.5, 计算得：x1=1.31951, , x5=x6=1.29065 x*1.29065 是所求的根。(2) 若将x5-2x-1=0转换成 x=0.5(x5-1)得迭代公式：xk+1=0.5(x5k-1), k=0.1.2. 取初值x0=1.5, 计算 x1=3.29688, , 迭代法发散.对于方程(x)=0构造的多种迭代格式xk+1=g(xk)，怎样判断构造的迭代格式是否收敛？收敛是否与迭代的初值有关？ 2、迭代法的收敛条件和误差估计定理 设迭代函数g(x)满足(1) 对任意xa,b有 ag(x)

7、b(2) g(x)可微，且存在正数q1，使对任意xa,b有g(x)q1则迭代公式xk+1=g(xk)对任意初值x0a,b均收敛于方程x=g(x)在区间a,b上的唯一根x*，且有如下误差估计式 证：（1）先证明存在性：令(x)=x-g(x), 则有(a)=a-g(a)0 , (b)=b-g(b)0,故有ax*b, 使得 (x*)=x*-g(x*)=0, 或x*=g(x*)（2）再证明惟一性：设x*, y*是x=g(x)的根，则有 q1，x*,=y*（3）证明迭代序列收敛q1， k+时，qk0, 有x*-xk0, 从而序列xk收敛于x*（4）证明误差估计式, x k+t-x k+t-1q txk

8、-xk-1, 设k固定, 对于任意的正整数p,xk+p-xkxk+p-xk+p-1+xk+p-1-xk+p-2+xk+1-xk (qp+qp-1+q) xk-xk-1=令p+, 有xk+px*, qp0, 有注：(1) 由误差估计式可见：当xk+1-xk 时可结束计算；(2) q越小收敛速度越快，q接近1，收敛缓慢，甚至造成迭代失败。(2) 定理2.1是判断迭代法收敛的充分条件，而非必要条件。迭代公式发散的充分条件：若 ，迭代公式x=g(x)发散。例 已知(x)=x-lnx-2=0 在(2,4)内有一根，其等价形式：（1）xk=lnx+2（2）x=ex-2判断对应的迭代法的敛散性，解：（1）g

9、(x)=lnx+2, g(x)= 对应的迭代法的收敛。（2）g(x)=ex-2, g(x)=ex-2 对应的迭代法的发散。 例 求x=ex 在x=0.5附近的一个根, 按五位小数计算，精度=10-3解：（1）确定有根区间： (x)=x-e-x=0, (0.5)-0.106530, (0.6)0.051190, 得有根区间：(0.5,0.6)(2) 构造迭代公式： ，g(x)=e-x, g(0.5)0.60653(0.5,0.6), g(0.7)0.49659(0.5,0.7)*, g(0.61)0.54335(0.5,0.61), 在(0.54.0.61)内满足定理2.1（1）迭代公式收敛。

10、(3) 取x0=0.5, 计算，得表2-2：可见：x*x10=0.567为了保证迭代收敛，我们要考虑在根附近的收敛性。3、局部收敛性与迭代法的阶定义 若存在D：x-x*, 使迭代公式xk+1=g(xk) 对任意初值x0D收敛，则称它在根x*附近的局部收敛。定理 设g(x)在方程x=g(x)的根x*附近具有一阶连续导数，且g(x)1，则迭代公式xk+1=g(xk) 在x*附近局部收敛。 例：在例5中，g(x)=e -x, 在(0.1)内g(x) = e -x e0=1, 迭代公式在根x*附近局部收敛。例 已知x=(x)在a,b内有根x*，且在a,b上满足(x)-31，试构造g(x), 使xk+1

11、=g(xk) (k=1,2)局部收敛于x*。分析：令g(x)= (x)-3, 1, 则在a,b内g(x)= (x)-30，有： 则称xk是p阶收敛的，当p=1, 0C1时，称为线性收敛； 当1p2时，称为超越收敛 当p=2时，称为平方收敛若由迭代函数g(x)产生的序列xk是p阶收敛的，则称g(x)是p阶迭代函数,并称迭代公式xk+1=g(xk) 是p阶收敛. 一般来说，阶数P越高，收敛速度越块。阶数是衡量收敛好坏的标志之一。 定理 若g(x)在g(x)=0的根x*附近有连续的p阶导数，且g(x*)=g(x*)=g(p-1)(x*)=0,g(p)(x*)0。则迭代公式xk+1=g(xk) 在x*

12、的邻域内是p阶收敛的, 且证：(1) 由g(x*)=0，知迭代公式xk+1=g(xk)在x*附近局部收敛。，(2) 把g(x)在x*处泰勒展开 在西xk与x*之间。 ek+1=xk+1-x*=g(xk)-g(x*)= 迭代公式p阶收敛例 已知迭代公式局部收敛于的根x*=1，证明迭代公式平方收敛。证法一：(应用定理2.3), , g(1)=0, g(1)0 迭代公式平方收敛。证法二：(应用定义2.2) 迭代公式平方收敛。计算机上机时迭代法的计算步骤：-（课外阅读）4、 牛顿迭代法对方程(x)=0, 可构造多种迭代公式xk+1=g(xk), 牛顿迭代法是借助于对函数(x) 作一阶泰勒展开而构造的一

13、种迭代格式。将(x)在(x)=0在近似根x k作一阶泰勒展开： (x)=0可近似表示成： 设其根为x k+1, 有： 当(x k)0，有： （牛顿迭代公式）用此迭代公式求方程的近似根的方法称为牛顿迭代法。牛顿法的几何意义作y=(x)在x0点的切线与x轴的交点x1，再作y=(x)在x1点的切线与x轴的交点x2，,这样逐步逼近方程的根x*。如图：牛顿切线法示意图所以牛顿迭代法也称切线法。例 用牛顿迭代法求方程 x=e x 在0,1中的近似根。解： 把方程改为：(x)=xex-1=0, (x )=ex+xex,得迭代公式： (k=0,1,2)取x0=0.5, 计算结果(列于表2.3中)：k0123x

14、k0.50.571 020.567 160.567 14 x3-x20.000 02, xx3=0.56714,说明：与例2.5比较，以看到牛顿迭代法的收敛速度明显于对分法。例 用牛顿迭代法计算, 取=10-6解：x=, 是方程(x )=x2-31=0 的正实根(x )=2x,得迭代公式： (k=0,1,2)(5,6), 取x0=5.5, 计算结果：k0123xk5.55.568 181 825.567 764 385.567 764 36 x3-x20.000 000 020)的迭代公式解：(1) (x )=xn-a=0 , (x )=nxn-1,得迭代公式： (k=0,1,2)(2) (x

15、 )=1-=0 , (x )=,得迭代公式： (k=0,1,2)5、 牛顿迭代法的收敛速度定理 设x*是方程(x )=0的单根，且(x )在x*的某邻域有二阶连续导数，则牛顿法在x*附近局部收敛，且至少二阶收敛。有 证：牛顿迭代函数：g(x)=x-x*是(x )=0的单根，且(x* )=0, (x* )0,g(x*)=由定理知牛顿法在x*附近局部收敛，且至少二阶收敛。牛顿迭代法也有局限性：(1) 若x是(x )的重根，迭代法也收敛，但已是一阶收敛；(2) 当迭代的初始值x0在某根的附近时迭代才能收敛到这个根，尤其在(x0 )数值很小时, 会发生从一个根附近跳向另一个根附近的情况，如图图2.3

16、失效的牛顿迭代法牛顿迭代法对初值要求比较高，我们有：定理2.5 若在a,b上, (a )(b)0, 牛顿迭代序列单调收敛到(x )=0的单根。证略，其几何意义如图：6、牛顿下山法：牛顿迭代法，当初值x0离单根太远，迭代法发散，但一旦收敛域会平方收敛，为扩大收敛域，可用下山法：将迭代公式改为：其中参数（01）称下山因子，的选取使满足：(xk+1)(xk)为方便起见，开始可取=1，然后逐步分半减少，既逐次取为1,1/2,1/22，, 直至找到满足条件(xk+1)(xk)的的值。例 求方程 x3-x-1=0 在x=1.5附近的根。=10-4解： （1）(x)=x3-x-1=0, (x )=3x2-1

17、(x )=ex+xex,得迭代公式： (k=0,1,2)(2) 若取x0=0.7，得x=3.587 234，可见偏离根x*.(3) 改用下山法，令(k=0,1,2)仍取x0=0.7，逐次取为1,1/2,1/22，,搜索，当取=1/22=0.25时，x1=1.421 809, 已满足条件(xk+1)(xk),计算结果见表2-4-, x4-x3, x*x4=0.567:7、弦截法(割线法)为避免导数的计算，在牛顿迭代公式中：用差商：代替导数(xk)，就得到弦截法迭代公式： 对应的迭代法称为弦截法。 弦截法的几何意义过两点P0(x0, (x0)和P1(x1, (x1)的做一条割线（弦），该割线与轴的

18、交点就是生成的迭代点x2，再做过P1(x1, (x1)和P2(x2, (x2)的一条割线，该割线与x轴的交点是x3，继续做下去得到方程(x)=0的根, 如图2.4所示图 弦截法示意图 事实上，差商：是割线的斜率。弦截法迭代与牛顿迭代法比较：（1）都是线性迭代法；（2）牛顿迭代法计算xk+1时，只用到前一步的xk，称单点迭代法，而弦截法迭代，要用到前两步的xk, xk-1, 称多点迭代法，（3）用弦截法迭代求根，每次只需计算一次函数值，而用牛顿迭代法每次要计算一次函数值和一次导数值。（4）弦截法收敛速度稍慢于牛顿迭代法。收敛的阶为1.618例 用弦截法求方程 x=e x 在x=0.5附近的根，=

19、10-3解：(x)=x-e -x, 取x0=0.5, x1=0.6迭代公式： (k=0,1,2)计算结果见表2-5-, x3-x2, x*x3=0.5678、埃特金(Aitken)迭代法埃特金(Aitken)迭代法是一种迭代加速方法。假设迭代公式：xk+1=g(xk) 收敛速度太慢，在有根区间g(x)L (变化不大), 先作两次迭代： 由微分中值定理有： 由此消去L，得： 从而得改进迭代式：,埃特金迭代公式：两次迭代： 改进： 例 用埃特金迭代法求方程 x=0.99cosx+1 在(1, 2) 内的根，=10-5解：建立迭代公式：xk+1=0.99cosx k+1 ,g(x)=0.99cosx+1, 在(1, 2) 内g(x)=-0.99sinx0.991, 迭代法收敛，但q=0.991,收敛速度太慢。构造埃特金迭代公式： 取x0=1.5, 计算结果见表2-6-, x3-x2=0.000 001, x*x3=1.282 975