(2)求出图中a的值;
(3)下表是该小学的作息时间,若同学们希望在上午第一节下课8:
20时能喝到不超过
40oC的开水,已知第一节下课前无人接水,请直接写出生活委员应该在什么时间
或时间段接通饮水机电源.(不可以用上课时间接通饮水机电源)
、反比例函数与翻折结合问题
k
例1.如图,四边形OABC是面积为4的正方形,函数y=-(x>0)的图象经过点B.x
(1)求k的值;
(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折,得到正方形MABC'、NA'BC.设线段k
MC'、NA、分别与函数y=(x>0)的图象交于点E、F,求线段EF所在直线的解析式.
x
OAAf
A,
的制浄匕
=-11/Ij■
(1)求证:
△AOE与ABOF的面积相等
EF对折后,C点恰好落在OB上
点M、N的坐标;若不存在,请说明理由
(2)求反比例函数的解析式;
在N的左侧),使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出
例2•如图1,在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点C的坐标为(4,3),反比
k
(3)如图2,P点坐标为(2,-3),在反比例函数y=—的图象上是否存在点M、N(Mx
k
例函数y=k(k>0)的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F,将△CEF沿
x
*it力雕g尿7・N^BC曲疋方陋酣拆所符
Mi(1>足血栈耳4妁if办辩
HOC・2・
点h坐标-
肖尸=3时.x=1,剋F(L4j.
b
A
V
~■■
L
F
X
*p
■
1
團】
團2
三、反比例函数中的探究性问题
(2010
山东省德州)•探究
(1)在图1中,已知线段AB,CD,其中点分别为E,
F.
①若
A(-1,
0),B(3,0),贝UE点坐标为
②若
C(-2,
2),D(-2,-1),则F点坐标为
⑵在图2中,已知线段AB的端点坐标为A(a,
x
C
J
b),B(c,dD
第1题图
1
求出图中AB中点D的坐标(用含a,b,c,d的
代数式表示),并给出求解过程.
•归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置,
当其端点坐标为A(a,b),B(c,d),AB中点为D(x,
y)
时,
x=
.(不必证明)
O
第1题图2
•运用在图2中,一次函数yx2与反比例函数y3的图象交点为A,B.
x
1求出交点A,B的坐标;
2若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形,
请利用上面的结论求出顶点P的坐标.
1
【答案】解:
探究⑴①(1,0):
②(-2,);
2
(2)过点A,D,B三点分别作x轴的垂线,垂足分别为
A,D,B,则AA//BB//CC
*y
•••D为AB中点,由平行线分线段成比例定理得
O
即D点的横坐标是同理可得D点的纵坐标是
•••AB中点D的坐标为(?
C)•
22
归纳:
yx2
运用①由题意得3
y-
x
x3,x1,
解得或
y1.y3.
•••即交点的坐标为A(-1,-3),B(3,1)
②以AB为对角线时,由上面的结论知AB中点M的坐标为(1,-1).
•••平行四边形对角线互相平分,
•••OM=0P,即卩M为0P的中点.
•••P点坐标为(2,-2).
同理可得分别以0A,0B为对角线时,
点P坐标分别为(4,4),(-4,-4).
•满足条件的点P有三个,坐标分别是(2,-2),(4,4),(-4,-4).
例2
(1)探究新知:
如图1,已知△ABC与△ABD的面积相等,试判断AB与CD的位置关
系,并说明理由.
(2)结论应用:
k
1如图2,点M,N在反比例函数y=k(k>0)的图象上,过点M作ME丄y轴,过点N
x
作NF丄x轴,垂足分别为E,F,试证明:
MN//EF;
2若①中的其他条件不变,只改变点M,N的位置如图3所示,请判断MN与EF是否平
【答案】
(1)证明:
分别过点C,D,作CG丄AB,DH丄AB,垂足为G,H,则/CGA=ZDHB=90°.
•••CG//DH.
•/△KBC与AABD的面积相等,•CG=DH.
•四边形CGHD为平行四边形.
•AB//CD.
(2)①证明:
连结MF,NE.
设点M的坐标为(xi,yi),点N的坐标为(X2,y2).
k
•••点M,N在反比例函数y(k>0)的图象上,
x
•为%k,X2『2k.
•/ME丄y轴,NF丄x轴,
•OE=yi,OF=X2.
.11
--S^efm=Xiyik,
22
S/EFN=
1i.
x2y2k.
22
/.S^efm
=S^efn.
由(i)
中的结论可知:
MN//EF.
②MN//EF.
课堂练习
达标训练
k
I、若一次函数y=2x—i和反比例函数y=的图象都经过点(i,i).
2x
(1)求反比例函数的解析式;
(2)已知点A在第三象限,且同时在两个函数的图象上,求点A的坐标;
(3)利用
(2)的结果,若点B的坐标为(2,0),且以点A、0、B、P为顶点的四边形
是平行四边形,请你直接写出点P的坐标.
2、已知:
如图,正比例函数
k
y=ax的图象与反比例函数y=—的图象交于点A(3,2)
x
(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式;
(2)根据图象信息回答问题:
在第一象限内,当x取何值时,反比例函数的值大于该正比
例函数的值?
3过点M作直线MN//x轴,交y轴于点B;过点A作直线AC//y轴交x轴于点C,交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时,求过点M、A的一次函数解析式和求出线段MA的长.
能力提升
1、(育才二模)⑴“三等分角”是数学史上一个著名问题,但数学家已经证明,仅用尺规
不可能“三等分任意角”•但对于特定度数的已知角,如90。
角、45°角等,是可以用尺规
进行三等分的•如图a,ZAOB=90。
,我们在边OB上取一点C,用尺规以OC为一边向/
AOB内部作等边△OCD,作射线OD,再用尺规作出/DOB的角平分线OE,则射线OD、
OE将ZAOB三等分•仔细体会一下其中的道理,然后用尺规把图b中的ZMON三等分(已
知/MON=45°).(不需写作法,但需保留作图痕迹,允许适当添加文字的说明)
图a
c):
将给定的锐角
⑵数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法(如图
1
ZAOB置于直角坐标系中,边OB在x轴上、边OA与函数y—的图象交于点P,以Px
为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两直
1
线相交于点M,连接OM得到/MOB,则/MOB=-ZAOB.要明白帕普斯的方法,请研
3
究以下问题:
①设P(a,丄)、R(b,-),求直线OM对应的函数关系式(用含a、b的代数式表示)ab
②分别过点P和
OM上,并据此证明/
图c
2.(2011江苏镇江常州)在平面直角坐标系XOY中,直线li过点A(1,0)且与y轴平
行,直线12过点B(0,2)且与x轴平行,直线11与直线12相交于点P.点E为直线12上k
一点,反比例函数错误!
未找到引用源。
y=(k>0)的图象过点E与直线11相交于点F.
x
(1)若点E与点P重合,求k的值;
(2)连接OE.OF.EF.若k>2,且△OEF的面积PEF的面积的2倍,求E点的坐标;
(3)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M.E.F为顶点的三角形与△PEF全等?
若存在,求E点坐标;若不存在,请说明理由.
反比例函数综合题;全等三角形的判定与性质;勾股定
理.
专题:
分类讨论.
分析:
(1)根据反比例函数中k=xy进行解答即可;
(2)当k>2时,点E.F分别在P点的右侧和上方,过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形,再求出S/FPE=错误!
未找到引用源。
k2-k+1,根据S/OEF=S矩形OCGD-S^DOF-S牟GD-S^OCE即可求出k的值,进而求出E点坐标;
(3)①当kv2时,只可能是△MEF也/PEF,作FH丄y轴于H,由△FHM^ZMBE可求出
BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,求出k的值,进而可得出E
点坐标;
②当k>2时,只可能是厶MFE也zPEF,作FQ丄y轴于Q,△^QM^ZMBE得,
BM
FQ
EM
FM
可求出BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,求出k的值,进而
可得出E点坐标.
课外练习
1、如图,矩形OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连结OB,将纸片OABC沿BC折叠,使点A落在点A'处,
A'B与y轴交于点F。
已知OA=1,AB=2。
⑴设CF=X,贝UOF=
⑵求BF的长;
k
⑶设过点B的双曲线为y—(k工0),试问双曲线I上是否存在一点M,使得以
x
OB为一边的厶OBM的面积等于1?
若存在,试求出点M的横坐标;若不存在,试说明理
由。
已知取曲线\=-与直线丫=丄工相交于儿R两点.第一象限上的点K在且点左恻)
x4
是双曲线丫=£上的动点-过点月作BDlly轴交文轴于点D-过AT(0,-«)作NC"工轴交
X
択曲线)-=£于点E,交強D于点匚.
X
(2)SB是cd的中点,四边形OFCE的面积対4,求直线C订的解析式.
<3)设直线AM、弁别与〉耙相文于F*Q两点,且M4二刃fCf求p~q的値.