反比例函数题型的综合提优题.docx

1、反比例函数题型的综合提优题第三讲 反比例函数典型题、常考题复习 2学习目标：能够将反比例函数与其它知识进行联系、综合分析解决相关问题，能够用反比例函数来解 决实际问题重点难点：综合运用所学知识解决反比例函数中的综合问题，分析此类问题的切入点，积累解题经验合作探究：典型例题讲解一、反比例函数的实际应用问题例 1（ 2010 四川达州） 近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是 CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中 CO的浓度达到mg/L ，此后浓度呈直线型增加，在第 7 小时达到最高值 46 mg/L ，发生爆炸；爆炸后，空 气中的 CO 浓度成反比

2、例下降 .如图 11，根据题中相关信息回答下列问题：（1） 求爆炸前后空气中 CO 浓度 y 与时间 x 的函数关系式，并写出相应的自变量取值 范围；（2） 当空气中的 CO 浓度达到 34 mg/L 时， 井下 3 km 的矿工接到自动报警信号， 时他们至少要以多少 km/h 的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3） 矿工只有在空气中的 CO 浓度降到 4 mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自 救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井【答案】解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为y x b由图象知y kix b过点（0, 4 ）与（7, 46）b 4 k, 6 .解

3、得 ，7K b 46 b 4y 6x 4,此时自变量 X的取值范围是0wx 7.x（2 ）当 y=34 时，由 y 6x 4 得,6X+4=34 , X=5 .撤离的最长时间为7-5=2（小时）.撤离的最小速度为 3 +2=1.5（km/h）.322(3)当 y=4 时，由 y 得,X=80.5 , 80.5-7=73.5( 小时).x矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.例2、(反比例函数新颖题)某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10 oC，待加热到100 oC,饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温 y(0C

4、)和通电时间x (min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某天水温和室温为 20 oC，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：(1)分别求出当0 wxw8和8 0)的图象经过点 B. x(1 )求k的值；(2 )将正方形 OABC分别沿直线 AB、BC翻折，得到正方形 MABC、NABC.设线段 kMC、NA、分别与函数y= (x 0)的图象交于点 E、F,求线段EF所在直线的解析式.xO A AfA,的制浄匕= -11 /I j (1)求证： AOE与ABOF的面积相等EF对折后，C点恰好落在 OB上点M、N的坐标；若不存在，请说明理由(2)

5、求反比例函数的解析式;在N的左侧)，使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出例2 如图1，在平面直角坐标系中，四边形 AOBC是矩形，点C的坐标为(4 , 3)，反比k(3)如图2, P点坐标为(2 , - 3),在反比例函数 y=的图象上是否存在点 M、N ( M xk例函数y= k (k 0)的图象与矩形 AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F,将CEF沿x* it力雕 g尿7NBC曲疋方陋酣拆所符Mi(1 足血栈耳4妁if办辩H OC2点h坐标-肖尸=3 时.x =1 ,剋 F(L4j.bAV LFX *p 1團】團2三、反比例函数中的探究性问题(2010山东省德州

6、) 探究 (1)在图1中，已知线段 AB , CD ,其中点分别为 E,F.若A (-1 ,0) , B (3 , 0),贝U E点坐标为若C (-2 ,2), D (-2 , -1)，则F点坐标为在图2中，已知线段 AB的端点坐标为 A(a,xCJb) , B(c , dD第1题图1求出图中AB中点D的坐标(用含 a, b, c, d的代数式表示)，并给出求解过程.归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置,当其端点坐标为 A(a, b), B(c, d), AB中点为D(x,y)时,x=.(不必证明)O第1题图2运用 在图2中，一次函数y x 2与反比例函数 y 3的图象交点为A, B.

7、x1求出交点A, B的坐标；2若以A，O, B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点 P的坐标.1【答案】解：探究 (1 , 0):(-2 ,);2(2)过点A , D , B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A , D , B ，则 AA / BB / CC*yD为AB中点，由平行线分线段成比例定理得O即D点的横坐标是 同理可得D点的纵坐标是AB中点D的坐标为(？ C ) 2 2归纳:y x 2运用 由题意得 3y -xx 3， x 1 ，解得 或y 1 . y 3.即交点的坐标为 A(-1 , -3) , B(3 , 1)以AB为对角线时, 由上面的结论知 AB中点M的坐标

8、为(1 , -1).平行四边形对角线互相平分，OM =0P,即卩M为0P的中点.P点坐标为(2 , -2).同理可得分别以0A , 0B为对角线时，点P坐标分别为(4 , 4) , (-4,-4).满足条件的点P有三个，坐标分别是(2 , -2) , (4 , 4) , (-4 , -4).例2 (1 )探究新知：如图1，已知ABC与ABD的面积相等，试判断 AB与CD的位置关系，并说明理由.(2)结论应用：k1如图2，点M , N在反比例函数y= k (k0)的图象上，过点 M作ME丄y轴，过点Nx作NF丄x轴，垂足分别为 E, F，试证明：MN /EF;2若中的其他条件不变，只改变点 M

9、, N的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平【答案】（1 ）证明：分别过点 C, D，作CG丄AB, DH丄AB , 垂足为 G , H，则/CGA =ZDHB = 90 . CG /DH ./ KBC与AABD的面积相等， CG= DH .四边形CGHD为平行四边形. AB /CD .（2）证明：连结 MF , NE .设点M的坐标为（xi, yi）,点N的坐标为（X2, y2）.k点M , N在反比例函数y （ k 0 ）的图象上，x为 k , X22 k ./ ME丄y轴，NF丄x轴， OE = y i, OF = X2.1 1-Sefm = Xi yi k ,2 2S/EFN =1

10、i .x2 y2 k.22/.Sefm=Sef n .由（i ）中的结论可知：MN /EF. MN /EF.课堂练习达标训练kI、若一次函数y = 2x i和反比例函数y = 的图象都经过点（i , i）.2x(1)求反比例函数的解析式；(2)已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点 A的坐标；(3)利用(2)的结果，若点 B的坐标为(2，0)，且以点A、0、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点 P的坐标.2、已知：如图，正比例函数ky=ax的图象与反比例函数 y= 的图象交于点A(3,2)x(1 )试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象信息回答问题：在

11、第一象限内，当 x取何值时，反比例函数的值大于该正比例函数的值?3过点M作直线MN /x轴，交y轴于点B;过点A作直线 AC /y轴交x轴于点C,交直线MB于点D .当四边形OADM 的面积为6时，求过点 M、A的一次函数解析式和求出线 段MA的长.能力提升1、(育才二模)“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角” 但对于特定度数的已知角，如 90。角、45 角等，是可以用尺规进行三等分的如图a,ZAOB = 90。，我们在边OB上取一点C,用尺规以OC为一边向/AOB内部作等边 OCD，作射线OD，再用尺规作出/ DOB的角平分线 OE，则射线OD、

12、OE将ZAOB三等分仔细体会一下其中的道理， 然后用尺规把图b中的ZMON三等分(已知/MON = 45 ）.（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）图ac）：将给定的锐角数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图1ZAOB置于直角坐标系中，边 OB在x轴上、边OA与函数y 的图象交于点P,以P x为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点 R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直1线相交于点 M，连接OM得到/MOB，则/MOB = - ZAOB.要明白帕普斯的方法，请研3究以下问题：设P（a,丄）、R（b,-），求直线OM对应的函数关系式（用含 a、b的代数式表

13、示） a b分别过点P和OM上，并据此证明/图c2. (2011江苏镇江常州)在平面直角坐标系 XOY中，直线li过点A (1 , 0)且与y轴平行，直线12过点B( 0，2 )且与x轴平行，直线11与直线12相交于点P.点E为直线12上 k一点，反比例函数 错误！未找到引用源。y = (k 0)的图象过点E与直线11相交于点F.x(1)若点E与点P重合，求k的值；(2) 连接OE. OF. EF.若k 2，且OEF的面积PEF的面积的2倍，求E点的坐标；(3)是否存在点 E及y轴上的点M，使得以点 M . E. F为顶点的三角形与 PEF全等?若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由.反比例

14、函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理.专题：分类讨论.分析：(1 )根据反比例函数中 k=xy进行解答即可；(2 )当k 2时，点E. F分别在P点的右侧和上方，过 E作x轴的垂线EC,垂足为C, 过F作y轴的垂线FD,垂足为D, EC和FD相交于点G,则四边形 OCGD为矩形，再求 出S/FPE=错误！未找到引用源。k2 - k + 1，根据S/OEF=S矩形OCGD - SDOF - S牟GD - SOCE即 可求出k的值，进而求出 E点坐标；(3)当k v 2时，只可能是 MEF也/PEF,作FH丄y轴于H，由 FHM ZMBE可求出BM的值，再在 RtMBE中，由勾股定理得，E

15、M2=EB2+MB2,求出k的值，进而可得出 E点坐标;当k 2时，只可能是厶MFE也zPEF,作FQ丄y轴于Q , QM ZMBE得,BMFQEMFM可求出BM的值，再在 RtMBE中，由勾股定理得， EM2= EB2+ MB2,求出k的值，进而可得出E点坐标.课外练习1、如图，矩形 OABC放入平面直角坐标系中，使 OA、OC分 别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿BC折叠，使 点A落在点A处，AB与y轴交于点F。已知OA = 1 , AB= 2。设 CF= X，贝U OF = 求BF的长；k设过点B的双曲线为y （ k工0 ），试问双曲线I上是否存在一点 M，使得以xOB为一边的厶OBM的面积等于1 ?若存在，试求出点 M的横坐标；若不存在，试说明理由。已知取曲线 =-与直线丫=丄工相交于儿R两点.第一象限上的点K在且点左恻）x 4是双曲线丫 = 上的动点-过点月作BDlly轴交文轴于点D-过AT（0, -）作NC工轴交X択曲线）- = 于点E,交強D于点匚.Xn若点口坐标是（-8, 0）,求乩占两点坐标及氐的信-（2） SB是cd的中点，四边形OFCE的面积対4,求直线C订的解析式.3）设直线AM、弁别与耙相文于F* Q两点，且M4二刃fC f求pq的値.