最新苏科版八年级数学上册同步练习《24 线段角的对称性》4.docx

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最新苏科版八年级数学上册同步练习《24线段角的对称性》4

新苏科版八年级数学上册同步练习《2.4线段、角的对称性》（4）

一、填空题

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．

（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是______

（2）若BD：

DC=3：

2，点D到AB的距离为6，则BC的长是______．

2．三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到______相等．

3．如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为______．

二、选择题

4．如图，已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分别为A、B两点，则∠MAB等于（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

5．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（　　）

A．PQ＞5B．PQ≥5C．PQ＜5D．PQ≤5

6．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF，②△BDF≌△CDE，③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（　　）

A．只有①B．只有②C．只有①和②D．①，②与③

三、尺规作图题

7．如图：

已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

四、解答题

8．在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3cm，BC=10cm，求△DBC的面积．

9．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：

AE平分∠FAC．

10．如图，已知AB=AC，AD=AE，DB与CE相交于O．

（1）若DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，试判断OE与OD的大小关系，并证明你的结论；

（2）若没有第

（1）中的条件，是否有这样的结论？

试说明理由．

　《2.4线段、角的对称性》（4）

参考答案与试题解析

一、填空题

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．

（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是　3　

（2）若BD：

DC=3：

2，点D到AB的距离为6，则BC的长是　15　．

【考点】角平分线的性质．

【分析】

（1）过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，从而得解；

（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，再求出BD，然后根据BC=BD+CD计算即可得解．

【解答】解：

（1）过点D作DE⊥AB于E，

∵BC=8，BD=5，

∴CD=BC﹣BD=8﹣5=3，

∵∠C=90°，AD平分∠BAC，

∴DE=CD=3，

即点D到AB的距离是3；

（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，

∴DE=CD=6，

∵BD：

DC=3：

2，

∴BD=6×

=9，

∴BC=BD+CD=9+6=15．

故答案为：

3；15．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．

2．三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到　三边　相等．

【考点】三角形的内切圆与内心．

【分析】根据角的平分线的性质：

角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，即可确定．

【解答】解：

根据角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，可以得到三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到三边的距离相等．

故答案是：

三边．

【点评】本题考查了三角形的内心的性质，内心是三角形的角平分线的交点，这个点到三角形的三条边的距离相等．

3．如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为　120°　．

【考点】角平分线的性质．

【分析】点O到三角形三边的距离相等，可知O点为三角形三角平分线的交点；根据角平分线性质，在△BOC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣

（∠ABC+∠ACB）=180°﹣

（180°﹣∠A）=90°+

∠A．

【解答】解：

∵点O到三角形三边的距离相等，

∴OB、OC为三角形的角平分线，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）

=180°﹣

（∠ABC+∠ACB）

=180°﹣

（180°﹣∠A）

=90°+

∠A=120°．

故填120°

【点评】本题考查了角平分线的性质；由此题可以得到规律∠BOC=2∠A，做题后，要学会对题目的反思，对规律的总结．

二、选择题

4．如图，已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分别为A、B两点，则∠MAB等于（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

【考点】角平分线的性质；三角形内角和定理．

【分析】由角平分线的性质可得MA=MB，再求解出∠MAB的大小，在△ABM中，则可求解∠MAB的值．

【解答】解：

∵∠AOB=40°，且OM为其平分线，∴∠AOM=∠BOM=20°，

又MA⊥OA，MB⊥OB，∴MA=MB，∠AMO=∠BMO=70°，

∴∠AMB=140°，

∴∠MAB=

（180°﹣∠AMB）=

×（180°﹣140°）=20°，故选D．

【点评】本题考查了角平分线的性质；熟练掌握角平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题．

5．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（　　）

A．PQ＞5B．PQ≥5C．PQ＜5D．PQ≤5

【考点】角平分线的性质．

【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，和角平分线的性质计算．

【解答】解：

∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5

则P到OB的距离为5

因为Q是OB上任一点，则PQ≥5

故选B．

【点评】本题主要考查平分线的性质，还利用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．

6．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF，②△BDF≌△CDE，③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（　　）

A．只有①B．只有②C．只有①和②D．①，②与③

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】根据三角形全等的判定方法，①由SAS判定△ABE≌△ACF；②由AAS判定BDF≌△CDE；

③SAS判定△ACD≌△ABD，所以D在∠BAC的平分线上．

【解答】解：

①∵AB=AC，AE=AF，∠A=∠A，

∴△ABE≌△ACF；

②∵△ABE≌△ACF，

∴∠C=∠B，

∵AB=AC，AE=AF，

∴CE=FB，

∵∠CDE=∠BDF，

∴△BDF≌△CDE；

③连接AD，

∵△BDF≌△CDE，

∴CD=BD，

∵AB=AC，AD=AD，

∴△ACD≌△ABD，

∴∠CAD=∠BAD，

即D在∠BAC的平分线上．

故选D．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

三、尺规作图题

7．如图：

已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

【考点】作图—基本作图．

【专题】作图题．

【分析】

（1）作出∠AOB的平分线，

（2）作出CD的中垂线，（3）找到交点P即为所求．

【解答】解：

作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P．

【点评】解答此题要明确两点：

（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；

（2）中垂线上的点到两个端点的距离相等．

四、解答题

8．在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3cm，BC=10cm，求△DBC的面积．

【考点】角平分线的性质．

【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：

如图，过点D作DE⊥BC于E，

∵∠A=90°，BD平分∠ABC，

∴DE=AD=3cm，

∵BC=10cm，

∴△DBC的面积=

×10×3=15cm2．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出△DBC边BC上的高是解题的关键．

9．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：

AE平分∠FAC．

【考点】角平分线的性质．

【专题】证明题．

【分析】如图过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，根据角平分线的性质可得EH=EG，EI=EG，再根据角平分线的性质的逆定理可证AE平分∠FAC．

【解答】证明：

如图所示：

过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，

∵BE平分∠ABC，EG⊥BD，EH⊥BA，

∴EH=EG．

∵CE平分∠ACD，EG⊥BD，EI⊥AC，

∴EI=EG，

∴EI=EH（等量代换），

∴AE平分∠FAC（到角两边距离相等的点一定在角的平分线上）．

【点评】本题主要考查角平分线的性质及其逆定理；准确作出辅助线是解答本题的关键．

10．如图，已知AB=AC，AD=AE，DB与CE相交于O．

（1）若DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，试判断OE与OD的大小关系，并证明你的结论；

（2）若没有第

（1）中的条件，是否有这样的结论？

试说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

【专题】探究型．

【分析】

（1）由AB=AC，AD=AE可得BE=CD，由DB⊥AC，CE⊥AB可得∠BEO=∠CDO=90°，于是可根据“AAS”判断△BEO≌△CDO，所以OE=OD

（2）先利用“SAS”证明△ABD≌△ACE得到∠B=∠C，然后根据“AAS”判断△BEO≌△CDO，所以OE=OD．

【解答】解：

（1）OE=OD．理由如下：

∵AB=AC，AD=AE，

∴AB﹣AE=AC﹣AD，即BE=CD，

∵DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，

∴∠BEO=∠CDO=90°，

在△BEO和△CDO中，

，

∴△BEO≌△CDO（AAS），

∴OE=OD

（2）若没有第

（1）中的条件，仍然有OE=OD．理由如下：

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠C，

在△BEO和△CDO中，

，

∴△BEO≌△CDO（AAS），

∴OE=OD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．