第一讲勾股定理及勾股定理逆定理.docx
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第一讲勾股定理及勾股定理逆定理
第一讲勾股定理及勾股定理逆定理
一、知识梳理
1、勾股定理:
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
2、勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c满足关系,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数:
满足
的三个,称为勾股数。
4、常用勾股数:
356
789
91215
5、直角三角形斜边上的高等于。
二、精讲精练
1.三角形的两边长分别为3和5,要使这个三角形是直角三角形,则第三条边长是_______
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则BC= ,S△ABC= ,斜边AB上的高CD= .
3.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
A.24cm2B.36cm2
C.48cm2D.60cm
4.已知,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )
A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里
5.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m。
6.如图,一棵10m高的树在一次台风中被刮断,求这棵树从几米处折断?
7.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形和一个边长为c的正方形,四个直角三角形的两直角边长分别是a,b,斜边长为c,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
(1)画出拼成的图形的示意图;
(2)证明勾股定理.
8.如图所示,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE上的位置上,如图3,测得DB的长0.5米,则梯子顶端A下落了多少米?
9.在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点A'处,则AE的长为。
10.如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C/处,BC/交AD于E,AD=8,AB=4,则DE的长为().
A.3B.4C.5D.6
11.△ABC中,AB=10,BC=16,BC边上的中线AD=6,则AC=___________.
12.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是()
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.以上答案都不对
13.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________.
14.某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召,决定公路相距25km的A,B两站之间E点修建一个土特产加工基地,如图,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要使C、D两村到E点的距离相等,那么基地E应建在离A站多少km的地方?
15.已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD,如图所示.现计划在该空地上种植草皮,经测量∠B=90°,AB=400m,AD=1300m,CD=1200m,BC=300m,请计算种植草皮的面积.
16.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。
17.若a、b、c为△ABC的三边长,且a、b、c满足等式(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.
(1)求出a、b、c的值;
(2)△ABC是直角三角形吗?
请说明理由.
18.如图,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17,求△ABC的面积。
19.已知
与
互为相反数,试判断以
为三边的三角形的形状.
20.如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D'处,BC交AD'于点E,AB=6cm,BC=8cm,求阴影部分的面积.
三、拔高培优
1.如图,在直线
上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,1.21,1.44,正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=()
A3.65B2.42C2.44D2.65
2.若
的三边长
满足条件
,试判断
的形状。
3.如图,
和
都是等边三角形,
,试说明:
4.在等腰直角三角形中,AB=AC,点D是斜边BC的中点,点E、F分别为AB、AC边上的点,且DE⊥DF。
(1)说明:
若BE=12,CF=5,试求
的面积。
四、课后作业
1.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是( )
A.13 B.26 C.47 D.94
2.已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三条边边长的平方为( )
A.25 B.7 C.7或25 D.不确定
3.如图,一个长为2.5米的梯子,一端放在离墙角1.5米处,另一端靠墙,则梯子顶端距离墙角( )
A.0.2米 B.4米
C.2米 D.4米
4.将一根24cm的筷子置于底面直径为15cm,高为8cm的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外的长度为hcm,则h的取值范围是( )
A.h≤17 B.h≥8 C.15≤h≤16 D.7≤h≤16
5.如图1-1-8,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行( )
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
6.如图,每个小正方形的边长为1,△ABC的三边a,b,c的大小关系是( )
A.a7.已知:
如图1-1-11,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则阴影部分的面积为。
8.如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
9.如图,以△ABC的三边为直径分别向三角形外侧作半圆,其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积,则此三角形的形状为。
10.分别以下列四组数为一个三角形的边长:
(1)0.6,0.8,1;
(2)5,12,13;(3)8,15,17;(4)4,5,6.其中能构成直角三角形的勾股数的组数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知一直角三角形的木板,三边的平方和为800cm2,则斜边长为( )
A.40cm B.20cm C.80cm D.30cm
12.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则有( )
A.b2+c2=a2B.c2=3b2C.3a2=2c2D.c2=2b2
13如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以AC为直径的圆恰好过点B.若AB=8,BC=6,则阴影部分的面积是( )
A.100π-24 B.100π-48 C.25π-24 D.25π-48
14在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AC上移动,则BP的最小值是.
15.如图,是一个直角三角形纸片,∠C=90°,BC、AC的长分别为3cm、4cm.现要给它再拼接一个直角三角形纸片,两纸片不重叠且无缝隙,使得拼成的图形形状是等腰三角形,则拼接成的等腰三角形的周长为.
16.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )
17.能够成为直角三角形的三边长的三个整数称为勾股数,观察下面的几组勾股数:
由勾股数3、4、5有32=9=4+5=2×1×2+5;
由勾股数5、12、13有52=25=12+13=2×2×3+13;
由勾股数7、24、25有72=49=24+25=2×3×4+25;
由勾股数9、40、41有92=81=40+41=2×4×5+41.
可以发现,在一组勾股数中,当最小的数为奇数时,它的平方恰好等于另外两数之和,用关于n的代数式表示第n组的勾股数应为、、.
18.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,
(1)求四边形ABCD的面积;
(2)求∠ABC的度数.
19.如图,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,若DA=10km,CB=15km,现要在AB上建一个周转站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则周转站E应建在距A点多远处?
20.“交通管理条例”规定:
小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时,如图,一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪所在位置A处正前方30米的C处,过了2秒后,测得小汽车所在位置B处与车速检测仪间距离为50米,这辆小汽车超速了吗?