高中数学竞赛标准教材第十一章圆锥曲线.docx

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高中数学竞赛标准教材第十一章圆锥曲线

高中数学竞赛标准教材（第十一章圆锥曲线）

第十一圆锥曲线

一、基础知识

1．椭圆的定义，第一定义：

平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|=2）

第二定义：

平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e（0<e<1）的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即

（0<e<1）

第三定义：

在直角坐标平面内给定两圆1:

x2+2=a2,2:

x2+2=b2,a,b∈R+且a≠b。

从原点出发的射线交圆1于P，交圆2于Q，过P引轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为

（a>b>0），

参数方程为（为参数）。

若焦点在轴上，列标准方程为

（a>b>0）。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆

，

a称半长轴长，b称半短轴长，称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为（±a,0）,（0,±b）,（±,0）；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由2+b2=a2知0<e<1

椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：

对于椭圆1（a>b>0）,F1（-,0）,F2（,0）是它的两焦点。

若P（x,）是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex

．几个常用结论：

1）过椭圆上一点P（x0,0）的切线方程为

；

2）斜率为的切线方程为；

3）过焦点F2（,0）倾斜角为θ的弦的长为

。

6．双曲线的定义，第一定义：

满足||PF1|-|PF2||=2a（2a<2=|F1F2|,a>0）的点P的轨迹；

第二定义：

到定点的距离与到定直线距离之比为常数e（>1）的点的轨迹。

7．双曲线的方程：

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为

，

参数方程为（为参数）。

焦点在轴上的双曲线的标准方程为

。

8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线

（a,b>0）,

a称半实轴长，b称为半虚轴长，为半焦距，实轴的两个端点为（-a,0）,（a,0）左、右焦点为F1（-,0）,F2（,0），对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=2知e>1。

两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。

若a=b，则称为等轴双曲线。

9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-,0）,F2（,0）是它的两个焦点。

设P（x,）是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a

2）过焦点的倾斜角为θ的弦长是。

10．抛物线：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。

若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于，以线段F的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设|F|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为2=2px（p>0），离心率e=1

11．抛物线常用结论：

若P（x0,0）为抛物线上任一点，

1）焦半径|PF|=；

2）过点P的切线方程为0=p（x+x0）；

3）过焦点倾斜角为θ的弦长为。

12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为，从出发的射线为极轴记为x轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|P|=ρ,∠xP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。

13．圆锥曲线的统一定义：

到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0<e<1，则点P的轨迹为椭圆；若e>1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。

这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。

二、方法与例题

1．与定义有关的问题。

例1已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+|PF|取最小值时，求点P的坐标。

[解]见图11-1，由题设a=,b=4,==3,椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。

由定义知，则|PF|=|PQ|。

所以3|PA|+|PF|=3（|PA|+|PF|）=3（|PA|+|PQ|）≥3|A|（A左准线于）。

所以当且仅当P为A与椭圆的交点时，3|PA|+|PF|取最小值，把=1代入椭圆方程得，又x<0，所以点P坐标为

例2已知P，为双曲线：

右支上两点，延长线交右准线于，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。

求证：

∠F1=∠F1Q

[证明]记右准线为l，作PDl于D，于E，因为//PD，则，又由定义，所以，由三角形外角平分线定理知，F1为∠PF1P的外角平分线，所以∠=∠F1Q。

2．求轨迹问题。

例3已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。

[解法一]利用定义，以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：

=1（a>b>0）F坐标为（-,0）设另一焦点为。

连结，P，则。

所以|FP|+|P|=（|FA|+|A|）=a

所以点P的轨迹是以F，为两焦点的椭圆（因为a>|F|=），将此椭圆按向量=（,0）平移，得到中心在原点的椭圆：

。

由平移公式知，所求椭圆的方程为[解法二]相关点法。

设点P（x,）,A（x1,1），则，即x1=2x+,1=2又因为点A在椭圆上，所以代入得关于点P的方程为。

它表示中心为，焦点分别为F和的椭圆。

例4长为a,b的线段AB，D分别在x轴，轴上滑动，且A，B，，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。

[解]设P（x,）为轨迹上任意一点，A，B，，D的坐标分别为A（x-,0）,B（x+,0）,（0,-）,D（0,+）,记为原点，由圆幂定理知|A|•|B|=||•|D|，用坐标表示为，即

当a=b时，轨迹为两条直线=x与=-x；

当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；

当a<b时，轨迹为焦点在轴上的两条等轴双曲线。

例在坐标平面内，∠AB=，AB边在直线l:

x=3上移动，求三角形AB的外心的轨迹方程。

[解]设∠xB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B（3,3tanθ）,A（3,3tan（θ-））,设外心为P（x,），由中点公式知B中点为。

由外心性质知再由得

×tanθ=-1。

结合上式有

•tanθ=①

又tanθ+=②

又

所以tanθ-=两边平方，再将①，②代入得。

即为所求。

3．定值问题。

例6过双曲线（a>0,b>0）的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。

求证：

H的横坐标为定值。

[证明]设点B，H，F的坐标分别为（aseα,btanα）,（x0,0）,（,0），则F1，B1，B2的坐标分别为（-,0）,（,）,（,），因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以

①

所以。

由①得

代入上式得

即（定值）。

注：

本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。

例7设抛物线2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点在准线上，且B//x轴。

证明：

直线A经过定点。

[证明]设，则，焦点为，所以，，，。

由于，所以•2-1=0，即=0。

因为，所以。

所以，即。

所以，即直线A经过原点。

例8椭圆上有两点A，B，满足AB，为原点，求证：

为定值。

[证明]设|A|=r1,|B|=r2,且∠xA=θ,∠xB=，则点A，B的坐标分别为A（r1sθ,r1sinθ）,B（-r2sinθ,r2sθ）。

由A，B在椭圆上有即①

②

①+②得（定值）。

4．最值问题。

例9设A，B是椭圆x2+32=1上的两个动点，且AB（为原点），求|AB|的最大值与最小值。

[解]由题设a=1，b=,记|A|=r1,|B|=r2,，参考例8可得=4。

设=|AB|2=,

因为，且a2>b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a所以。

又函数f（x）=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1即|A|=|B|时，|AB|取最小值1；当或时，|AB|取最大值。

例10设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆：

1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。

[解]设A，B分别为圆和椭圆上动点。

由题设圆心坐标为，半径|A|=1，因为|AB|≤|B|+|A|=|B|+1，所以当且仅当A，B，共线，且|B|取最大值时，|AB|取最大值，所以|B|最大值为

因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,,t，椭圆方程为，并设点B坐标为B（2tsθ,tsinθ），则|B|2=（2tsθ）2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3（tsinθ+）2+3+4t2

若，则当sinθ=-1时，|B|2取最大值t2+3t+，与题设不符。

若t>,则当sinθ=时，|B|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1

所以椭圆方程为。

．直线与二次曲线。

例11若抛物线=ax2-1上存在关于直线x+=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。

[解]抛物线=ax2-1的顶点为（0,-1），对称轴为轴，存在关于直线x+=0对称两点的条是存在一对点P（x1,1），（-1,-x1），满足1=a且-x1=a（-1）2-1，相减得x1+1=a（）,因为P不在直线x+=0上，所以x1+1≠0,所以1=a（x1-1），即x1=1+

所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求。

例12若直线=2x+b与椭圆相交，

（1）求b的范围；

（2）当截得弦长最大时，求b的值。

[解]二方程联立得17x2+16bx+4（b2-1）=0由Δ>0，得<b<；设两交点为P（x1,1）,Q（x2,2），由韦达定理得|PQ|=。

所以当b=0时，|PQ|最大。

三、基础训练题

1．A为半径是R的定圆⊙上一定点，B为⊙上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是________

2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值2（>0），则动点的轨迹是________

3．椭圆上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________

4．双曲线方程，则的取值范围是________

．椭圆，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，则ΔF1PF2的面积是________

6．直线l被双曲线所截的线段N恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为________

7．ΔAB的三个顶点都在抛物线2=32x上，点A（2，8），且ΔAB的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线B的斜率为________

8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4-2=0和3x+4-10=0，一条准线方程为+4=0，则双曲线方程为________

9．已知曲线2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为40，那么a=________

10P为等轴双曲线x2-2=a2上一点，的取值范围是________

11．已知椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，设P是它们的一个焦点，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。

12．已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，设|AT|=2a（2a<）；（iii）半圆上有相异两点，N，它们与直线l的距离|P|，|NQ|满足求证：

|A|+|AN|=|AB|。

13．给定双曲线过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2，求线段P1P2的中点的轨迹方程。

四、高考水平测试题

1．双曲线与椭圆x2+42=64共焦点，它的一条渐近线方程是=0，则此双曲线的标准方程是_________

2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，则∠A1FB1=_________

3．双曲线的一个焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任一点，以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________

4．椭圆的中心在原点，离心率，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点横坐标为-1，到此准线异侧的焦点F1的距离为_________

．4a2+b2=1是直线=2x+1与椭圆恰有一个公共点的_________条

6．若参数方程（t为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是_________

7．如果直线=x+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则的范围是_________

8．过双曲线的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条

9．过坐标原点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F，则直线l的倾斜角为_________

10．以椭圆x2+a22=a2（a>1）的一个顶点（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形AB，这样的三角形最多可作_________个

11．求椭圆上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。

12．设F，分别为椭圆的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB，点都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。

13．已知双曲线1：

（a>0），抛物线2的顶点在原点，2的焦点是1的左焦点F1。

（1）求证：

1，2总有两个不同的交点。

（2）问：

是否存在过2的焦点F1的弦AB，使ΔAB的面积有最大值或最小值？

若存在，求直线AB的方程与SΔAB的最值，若不存在，说明理由。

五、联赛一试水平训练题

1．在平面直角坐标系中，若方程（x2+2+2+1）=（x-2+3）2表示的曲线为椭圆，则的取值范围是_________

2．设为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|F|=a，|PQ|=b，ΔPQ面积为_________

3．给定椭圆，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ，则离心率e的取值范围是_________

4．设F1，F2分别是双曲线（a>b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为，则的轨迹为_________

．ΔAB一边的两顶点坐标为B（0，）和（0，），另两边斜率的乘积为，若点T坐标为（t,0）（t∈R+）,则|AT|的最小值为_________

6．长为l（l<1）的线段AB的两端点在抛物线=x2上滑动，则线段AB的中点到x轴的最短距离等于_________

7．已知抛物线2=2px及定点A（a,b）,B（-a,0）,ab≠0,b2≠2pa，是抛物线上的点，设直线A，B与抛物线的另一个交点分别为1，2，当变动时，直线12恒过一个定点，此定点坐标为_________

8．已知点P（1，2）既在椭圆内部（含边界），又在圆x2+2=外部（含边界），若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________

9．已知椭圆的内接ΔAB的边AB，A分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、右顶点分别为D，E，直线DB与直线E交于点P，当点A在椭圆上变动时，试求点P的轨迹。

10．设曲线1：

（a为正常数）与2：

2=2（x+）在x轴上方有一个公共点P。

（1）求实数的取值范围（用a表示）；

（2）为原点，若1与x轴的负半轴交于点A，当0<a<时，试求ΔAP面积的最大值（用a表示）。

11．已知直线l过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0）和B（0，8）关于l的对称点都在上，求直线l和抛物线的方程。

六、联赛二试水平训练题

1．在四边形ABD中，对角线A平分∠BAD，在D上取一点E，BE与A相交于F，延长DF交B于G，求证：

∠GA=∠EA。

2．求证：

在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1的闭折线，它的每个顶点坐标都是有理数。

3．以B0和B1为焦点的椭圆与ΔAB0B1的边ABi交于i（i=0,1），在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧交1B0的延长线于Q0；以1为圆心，1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B10的延长线于Q1；以0为圆心，0Q1为半径作圆弧Q1，交AB0的延长线于。

求证：

（1）点与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；

（2）P0，Q0，P1，Q1共圆。

4．在坐标平面内，从原点出发以同一初速度v0和不同发射角（即发射方向与x轴正向之间的夹角）α（α∈[0,π],α≠）射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。

证明：

此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。

．直角ΔAB斜边为AB，内切圆切B，A，AB分别于D，E，F点，AD交内切圆于P点。

若PBP，求证：

PD=AE+AP。

6．已知BD，点A为BD中点，点Q在B上，A=Q，又在BQ上找一点R，使BR=2RQ，Q上找一点S，使QS=RQ，求证：

∠ASB=2∠DR。

答案：

基础训练题

1．圆。

设A交圆于另一点是A关于的对称点。

则因为AB，所以P在以为直径的圆上。

2．圆或椭圆。

设给定直线为=±x（>0）,P（x,）为轨迹上任一点，则。

化简为22x2+22=2（1+2）

当≠1时，表示椭圆；当=1时，表示圆。

3．12．由题设a=10,b=6,=8，从而P到左焦点距离为10e=10×=8,所以P到右焦点的距离为20-8=12。

4．-2<<2或<由（||-2）（-）<0解得>或-2<<2

设两条焦半径分别为,n，则因为|F1F2|=12,+n=20由余弦定理得122=2+n2-2ns600,即（+n）2-3n=144所以，

6．3x+4-=0设（x1,1）,N（x2,2），则两式相减得-（1+2）（1-2）=0由，得。

故方程+1=（x-3）

7-4设B（x1,1）,（x2,2），则=0，所以1+2=-8，故直线B的斜率为

8．=1。

由渐近线交点为双曲线中心，解方程组得中心为（2,1），又准线为，知其实轴平行于轴，设其方程为=1。

其渐近线方程为=0。

所以-1=（x-1）由题设，将双曲线沿向量=（-2,-1）平移后中心在原点，其标准方程为=1。

由平移公式平移后准线为，再结合，解得a2=9，b2=16，故双曲线为=1。

9．2．曲线2=ax关于点（1，1）的对称曲线为（2-）2=a（2-x）,

由得2-2+2-a=0,故1+2=2,从而=

=1，所以a=2

10．（2，]。

设P（x1,1）及，由|PF1|=ex1+a

|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1,所以，即。

因，所以，所以即2<t≤2

11解：

由对称性，不妨设点P在第一象限，由题设|F1F2|2=4=42，又根据椭圆与双曲线定义

解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2

在ΔF1PF2中，由余弦定理从而

又sin∠F1PF2=

所以

12．解：

以直线AB为x轴，AT的中垂线为轴建立直角坐标系，则由定义知，N两点既在抛物线2=4ax上，又在圆[x-（a+r）]2+2=r2上，两方程联立得x2+（2a-2r）x+2ra+a2=0，设点，N坐标分别为（x1,1）,（x2,2），则x1+x2=2r-2a又|A|=|P|=x1+a，|AN|=|NP|=x2+a|AB|=2r，所以

|A|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|

得证。

13．解：

若直线l垂直于x轴，因其过点A（2,1），根据对称性，P1P2的中点为（2，0）。

若l不垂直于x轴，设l的方程为-1=（x-2），即

=x+1-2①

将①代入双曲线方程消元得

（2-2）x2+2（2-1）x-（42-4+3）=0②

这里且Δ=[2（2-1）]2+4（2-）2（42-4+3）=8（32-4+3）>0,

设x1,x2是方程②的两根，由韦达定理

③

由①，③得1+2=x1+（1-2）+x2+（1-2）

=（x1+x2）+2（1-2）=④

设P1P2的中点P坐标（x,），由中点公式及③，④得消去得点（2，0）满足此方程，故这就是点P的轨迹方程。

高考水平测试题

1．由椭圆方程得焦点为，设双曲线方程，渐近线为由题设，所以a2=3b2,又,2=a2+b2所以b2=12,a2=36

2900。

见图1，由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。

3．相切，若P（x,）在左支上，设F1为左焦点，F2为右焦点，为PF1中点，则||=|PF2|=（a-ex），又|PF1|=-a-ex，所以两圆半径之和（-a-ex）+a=（a-ex）=||，所以两圆外切。

当P（x,）在右支上时，同理得两圆内切。

4．与F1对应的另一条准线为x=-11，因|F1|与到直线x=-11距离d1之比为e，且d1=|x+11|=10所以，所以|F1|=

．充要。

将=2x+1代入椭圆方程得（b2+4a2）x2+4a2x+a2（1-b2）=0①

若Δ=（4a2）2-4（b2+4a2）a2（1-b2）=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即b2+4a2=1；反之，4a2+b2=1，直线与椭圆有一个公共点。

6．=2（x-1）。

消去参数得（-2）2=4（x-），焦点为它在直线=2（x-1）上。

7．1≤<。

直线过定点（0,1），所以0≤1又因为焦点在x轴上，所以>,所以1≤<。

8．3．双曲线实轴长为6，通径为4，故线段端点在异支上一条，在同支上有二条，一共有三条。

9．或。

设直线l:

=x与椭圆交于A（x1,1）,B（x2,2），把=x代入椭圆方程得（1+32）x2-6x+3=0，由韦达定理得

①

②

因F（1，0），AFBF，所以（x1-1）（x2-1）+12=0,即

x1x2-（x1+x2）+1+2x1x2=0③

把①，②代入③得，所以倾斜角为或

10．3．首先这样的三角形一定存在，不妨设A，B分别位于轴左、右两侧，设A斜率为（>0），A的直线方程为=x+1，代入椭圆方程为（a22+1）x2+2a2x=0，得x=