面向计算机科学的数理逻辑复习文档.docx

面向计算机科学的数理逻辑复习文档.docx

《面向计算机科学的数理逻辑复习文档.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《面向计算机科学的数理逻辑复习文档.docx（29页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

面向计算机科学的数理逻辑复习文档

绪论

一、数理逻辑研究什么？

★研究前提和结论的可推导性关系，它是由命题的逻辑形式而非内容所决定的

二、数理逻辑如何研究？

★形式语言

第一章预备知识

第一节集合

一、集合

1、集合的内涵和外延（所有元素的共同性质/构成集合的所有元素）

2、有序偶和笛卡儿集

二、关系

1、概念：

集合S上的n元关系R

2、特殊情况：

集合S上的一元关系R（集合S上的性质R）

三、函数（映射）

1、概念：

函数（集合＋有序偶＋性质）、定义域dom（f）、值域ran（f）

2、概念：

f（x）（函数f在x处的值）

3、概念：

f：

S－>T（函数f是由S到T的映射）、满射、一一映射

四、等价

1、概念：

关系R是集合S上的等价关系（自反＋对称＋传递）

2、概念：

元素x的R等价类

3、性质：

R等价类对集合S的一个划分（两两不相交，且并为S）

五、基数

1、概念：

S～T（两个集合S和T是等势的）

2、概念：

集合S的基数|S|（集合中的元素个数）

3、概念：

可数无限集

第二节归纳定义和归纳证明

一、归纳定义

1、集合的归纳定义

⑴、直接生成某些元素

⑵、给出运算，将其作用在已有元素上，以产生新的元素

⑶、只有这样才是集合中的元素，除此之外，再也没有了

2、典例：

自然数集N的两个归纳定义

二、归纳证明

1、归纳定理：

设R是一个性质，如果

⑴、R（0）

⑵、对于任何n∈N，如果R（n），则R（n’）

那么，对于任何n∈N，都有R（n）

2、概念：

归纳基础、归纳步骤（包括归纳变元和归纳假设）、归纳命题、归纳证明

3、概念：

串值归纳法及其变形

三、递归定义

1、递归定义（在归纳定义的集合上，定义函数）

在自然数集N上定义一个这样的函数f：

g，h是N上的已知函数

f（0）＝g（0）

f（n’）＝h（f（n））

2、递归定义原理（这样的函数是存在而且唯一的）

第二章经典命题逻辑

第一节联结词

一、基本概念

1、概念：

命题（陈述句+确定值）（要么是真，要么是假）

2、概念：

简单命题和复合命题（区分的关键）

3、小结：

只考虑复合命题的真假是如何确定的

二、联结词

1、非A：

2、A与B：

A为真并且B为真

3、A或B：

A为真或B为真（A为真或B为真或AB同时为真）

4、A蕴涵B：

如果A真，则B真（并非A假B真）

5、A等值于B：

如果A蕴涵B，同时B蕴涵A

第二节命题语言

一、基本概念

1、概念：

命题语言（命题逻辑使用的形式语言）

2、归纳：

命题语言的三类符号（命题符号＋联结符号＋标点符号）

3、概念：

表达式、长度、空表达式、两个表达式相等

4、概念：

段、真段、初始段、结尾段

二、基本概念

1、定义：

原子公式，记为Atom（LP）（单独一个命题符号）

2、定义：

公式，记为Form（LP）（经典归纳定义及其两种变形）

★经典定义容易理解，然而两种变形更容易使用

3、定理：

如何证明LP的所有公式都满足R性质？

★关键：

假设S={A∈Form（LP）|R（A）}

4、概念：

对公式的结构做归纳（上述归纳证明）

三、习题解析

1、关键：

利用二叉树表示公式的生成过程

2、关键：

蕴涵有多种不同的叙述方式（关键：

分清楚充分条件和必要条件）

⑴、◆如果p，则q

⑵、◆只要p，则q

⑶、◆p仅当q

⑷、◆只有p，才q

⑸、◆除非p，否则q（思路：

想方设法转化为上述情形）

第三节公式的结构

一、引理

1、引理1：

LP的公式是非空的表达式

2、引理2：

在LP的每个公式中，左括号和右括号出现的数目相同

3、引理3：

真初始段不是公式（在LP的公式的任何非空的真初始段中，左括号出现的次数比右括号多。

因此，LP的公式的非空的真初始段不是LP的公式（同理分析真结尾段））

二、定理

1、定理：

LP的每个公式恰好具有以下6种形式之一；并且在各种情形中，公式所具有的那种形式是唯一的

★注意：

仔细分析其证明过程

2、推论：

LP的公式的生成过程是唯一的

3、概念：

否定式、合取式、析取式、蕴涵式、等值式

三、辖域

1、概念：

辖域、左辖域、右辖域

2、定理：

任何A中的任何辖域存在并且唯一

3、性质：

如果A是B中的段，则A中的任何联结符号在A中的辖域和它在B中的辖域是相同的

4、定理：

如果A是（¬B）的段，则A＝（¬B）或者A是B中的段；如果A是（B*C）中的段，则A＝（B*C）或者A是B或C中的段

四、其它

1、算法：

判断一个LP的表达式是不是公式的算法

2、符号的省略：

最外层括号＋其它形式的括号＋联结符号的优先级

五、习题解析

¬

第四节语义

一、基本概念

1、概念：

真假赋值

2、概念：

公式的真假值AV（真假赋值v给公式A指派的真假值＋递归定义）

3、定理：

对于任何A∈Form（LP）和任何真假赋值V，AV∈{0，1}

★关键：

如何证明LP的所有公式都满足R性质？

二、基本概念

1、概念：

∑V（∑表示公式集）

2、概念：

∑是可满足的（存在V，使得∑V＝1）

★注意：

∑是可满足的蕴涵∑中的所有公式都是可满足的，但逆命题不成立

3、概念：

A是重言式、A是矛盾式

4、概念：

A的真假值表（真假赋值V给公式A指派的值，仅涉及V给A中出现的不同的命题符号所指派的值）

5、性质：

简化公式（熟练掌握简化公式）

三、习题解析

1、性质：

联结符号↔满足交换律和结合律

2、性质：

A是重言式，则A↔B是重言式当且仅当B是重言式

第五节逻辑推论

一、逻辑推论

1、符号：

∑╞A（A是∑的逻辑推论，读作∑逻辑地蕴涵A）

2、概念：

∑╞A，当且仅当对于任何的逻辑赋值V，如果∑V＝1，则AV＝1

3、概念：

∑|≠A（存在逻辑赋值V，使得∑V＝1，AV＝0）

4、特殊情况：

╞A（这时存在着性质：

A是重言式）

5、概念：

逻辑等值公式A|＝|B

6、例题分析：

注意找到捷径和方法

⑴、如何证明一个逻辑推论是成立的（直接证明或者反证法）

⑵、如何证明一个逻辑推论是不成立的（构造出这样的真假赋值V，使得∑V＝1，AV＝0）

二、定理

1、性质：

合取符号和析取符号都满足交换律和结合律

2、定理：

⑴、A1，…，An╞A，当且仅当╞A1∧…∧An→A

⑵、A1，…，An╞A，当且仅当╞A1→（…→（An→A）…）

3、引理：

如果A|＝|A’并且B|＝|B’，则有¬A|＝|¬A’等5条性质

4、等值替换定理：

设B|＝|C并且在A中把B的某些出现替换为C而得到A’，则A|＝|A’

5、对偶性定理：

A’|＝|¬A（其中A’是A的对偶）

第六节形式推演

一、形式推演

1、形式推演本质（形式推演仅涉及公式的结构，而与公式的语义无关）

2、形式推演规则（共有11条规则）

3、推论：

如果A∈∑，则∑├A

二、形式可推演

1、概念：

形式可推演∑├A（∑├A，当且仅当存在有限序列∑1├A1，…∑n├An，其中的每一项∑k├Ak都是由使用某一形式推演规则生成，并且∑n＝∑，An＝A）

2、概念的剖析：

归纳定义

三、基础定理

1、定理：

如果∑├A，则存在有限的EO∈∑，使得∑O├A（对∑├A的结构做归纳）

2、概念推广：

∑├∑’（注意可以推广到无限情形）

3、推演传递定理：

如果∑├∑’，∑’├A，则∑├A

四、定理集群一（每一条都要求严格证明，并且反复记忆，作为后面证明的出发点）

1、定理：

（→定理群；定理2.6.4）

⑴、★★性质：

A→B，A├B

⑵、★★性质：

A→B，¬B├¬A

⑶、性质：

A├B→A

⑷、性质：

A→B，B→C├A→C（蕴涵传递）

⑸、性质：

A→（B→C）、A→B├A→C

2、定理：

（¬定理群；定理2.6.5）

⑴、★★性质：

¬¬A├A；A├¬¬A

⑵、★★性质：

如果∑，A├B；∑，A├¬B，则∑├¬A（归谬律，或称（¬＋））

⑶、性质：

A，¬A├B

3、定理：

（→¬定理群之一；定理2.6.6）

⑴、★★性质：

A→B├¬B→¬A（以此为基础衍生的4条性质）

⑵、★★性质：

如果A├B，则¬B├¬A（以此为基础衍生的4条性质）

⑶、★★性质：

A├B，当且仅当Φ├A→B（严格证明之）

4、定理（→¬定理群之二；定理2.6.7）

⑴、性质：

¬A→A├A（相似性质：

A→¬A├¬A）

⑵、性质：

A→B，A→¬B├¬A（相似性质：

A→B，¬A→B├B）

⑶、性质：

¬（A→B）├A（相似性质：

¬（A→B）├¬B）

五、定理集群二（每一条都要求严格证明，并且反复记忆，作为后面证明的出发点）

1、概念：

语法等值公式A|－|B

2、定理（∧定理群；定理2.6.8）

⑴、★★性质：

A∧B|－|A，B

⑵、性质：

A∧B|－|B∧A（∧交换律）

⑶、性质：

（A∧B）∧C|－|A∧（B∧C）（∧结合律）

⑷、★★★★性质：

¬（A∧B）|－|A→¬B（相似性质：

¬（A→B）|－|A∧¬B）

⑸、性质：

├¬（A∧¬A）（不矛盾律）

3、定理（∨定理群；定理2.6.9）

⑴、★★性质：

A├A∨B，B∨A（最关键还是规则本身：

允许在前面或后面增加∨）

⑵、性质：

A∨B|－|B∨A（∨交换律）

⑶、性质：

（A∨B）∨C|－|A∨（B∨C）（∨结合律）

⑷、★★★★性质：

A∨B|－|¬A→B（相似性质：

¬A∨B|－|A→B）（分析其证明步骤）

⑸、★★性质：

¬（A∨B）|－|¬A∧¬B（Morgen定律）

⑹、★★性质：

¬（A∧B）|－|¬A∨¬B（Morgen定律）

⑺、性质：

├A∨¬A（排中律）

4、定理（∨∧定理群；定理2.6.10）

⑴、★★性质：

A∨（B∧C）|－|（A∨B）∧（A∨C）（∨∧分配律）

⑵、★★性质：

A∧（B∨C）|－|（A∧B）∨（A∧C）（∧∨分配律）

⑶、性质：

A→（B∧C）|－|（A→B）∧（A→C）

⑷、性质：

A→（B∨C）|－|（A→B）∨（A→C）

⑸、性质：

（A→B）∧C|－|（A→C）∨（B→C）

⑹、性质：

（A→B）∨C|－|（A→C）∧（B→C）

5、定理（↔定理群；定理2.6.11）

⑴、★★★★性质：

A↔B|－|A→B，B→A（严格证明）

⑵、性质：

A↔B|－|B↔A（↔交换律）

⑶、性质：

A↔B|－|¬A↔¬B

⑷、★★性质：

¬（A↔B）|－|A↔¬B

⑸、★★性质：

¬（A↔B）|－|¬A↔B

⑹、性质：

A↔B|－|（A∨¬B）∧（¬A∨B）

⑺、性质：

A↔B|－|（A∧B）∨（¬A∧¬B）

⑻、性质：

（A↔B）↔C|－|A↔（B↔A）（↔结合律）

⑼、性质：

A↔B；B↔C├A↔C

⑽、性质：

A↔¬A├B

⑾、性质：

├（A↔B）∨¬（A↔¬B）

六、定理群

1、定理：

⑴、A1，…，An├A，当且仅当├A1∧…∧An→A

⑵、A1，…，An├A，当且仅当├A1→（…→（An→A）…）

2、★★引理：

如果A|－|A’并且B|－|B’，则有¬A|－|¬A’等5条性质

3、★★★★等值替换定理：

如果B|－|C并且在A中把B的某些出现替换为C而得到A’，则A|－|A’

4、★★对偶性定理：

A’|－|¬A（其中A’是A的对偶）

第七节析取范式和合取范式

一、基本概念

1、概念：

单式（原子公式或者原子公司的否定式）

2、概念：

子式、析取子式、合取子式

3、概念：

析取范式、合取范式

二、定理

1、定理：

任何A∈Form（LP）逻辑等值于某一析取范式

2、定理：

任何A∈Form（LP）逻辑等值于某一合取范式

三、基本概念

1、概念：

公式A的析取范式（合取范式）

2、概念：

互补公式（一个公式和它的否定式，称为互补公式）

3、定理：

一个析取范式是矛盾式，当且仅当它的每个合取子式含互补的单式

一个合取范式是重言式，当且仅当它的每个析取子式含互补的单式

4、定理：

一个公式是矛盾式，当且仅当它的析取范式的每个合取子式含互补的单式

一个公式是矛盾式，当且仅当它的析取范式的每个合取子式含互补的单式

5、概念：

完全析取范式、完全合取范式

四、由公式导出它的析取范式（合取范式）的方法

1、利用逻辑等值关系消去→、↔等符号（等值替换定理）

2、利用逻辑等值关系进行化简

第八节联结符号的完备集

一、基本概念

1、概念：

fA1…An（n元联结符号f，联结公式A1…An所构成的公式）

2、性质：

对于任何的n≥1，有2∧（2∧n）个不同的n元联结符号

二、基本概念

1、概念：

完备集（联结符号集称为完备的，当且仅当所有的n元联结符号都能由其中的联结符号定义）

2、定理：

{¬，∧，∨}是联结符号的完备集

3、推论：

{¬，∧}、{¬，∨}、{¬，→}是联结符号的完备集

4、概念：

↑称为与非式，即p↑q|=|¬（p∧q）

5、概念：

↓称为或非式，即p↓q|=|¬（p∨q）

6、定理：

{↑}，{↓}是联结符号的完备集

第三章经典一阶逻辑

第一节量词

一、基本概念

1、概念：

结构（论域＋个体＋关系＋函数）

2、★★概念：

变元（以论域为变化范围的变元，用来构成关于个体的一般性命题或条件）

二、基本概念

1、概念：

全称量词和存在量词（对于所有（论域中的）个体：

存在（论域中的）个体）

2、概念：

全称命题和存在命题（对于所有x，都有R（x）：

存在x，使得R（x））

三、基本概念

1、概念：

命题函数（它不是命题，只有将某一个体指派为x的值时，它才成为命题）

2、概念：

自由变元、约束变元（命题函数中的变元、被量化的变元）

3、归纳：

量词的作用（将n元命题函数逐步转换为命题）

四、基本概念

1、性质：

论域D是有限集，可以将全称量词和存在量词，分别解释为合取和析取的推广

2、概念：

受限制的量词（范围受到限制的量词：

范围由原来的论域，限制为论域的某个子集）

3、性质：

将受限制的量词，转换成为不受限制的量词（受限制的全称量词：

全称量词＋蕴涵、受限制的存在量词：

存在量词＋合取）

4、概念：

一阶逻辑和高阶逻辑（个体变元和个体量词/集的变元和量词）

第二节一阶语言

一、基本概念：

一阶语言的八类符号

1、个体符号：

a、b、c

2、关系符号：

F、G、H（n元关系符号、相等符号（特殊的二元关系符号））

3、函数符号：

f、g、h（m元函数符号）

4、自由变元符号和约束变元符号（u、v、w和x、y、z）

5、联结符号（5类联结符号）

6、量词符号（全称量词符号∀、存在量词符号∃）（量词、全称量词、存在量词）

7、标点符号（左括号、右括号和标点）

二、基本概念：

项

1、概念：

t∈Term（L），当且仅当它能由（有限次使用）以下的⑴、⑵生成：

⑴、a、u∈Term（L）（单独一个个体符号是项、单独一个自由变元符号是项）

⑵、如果t1，…tn∈Term（L），并且f是n元函数符号，则f（t1，…tn）是项

2、概念：

闭项（不含自由变元符号的项）

3、概念：

对项的结构作归纳（如何证明Term（L）中所有的元都具有某个性质）

三、基本概念：

原子公式

1、概念：

L的表达式是Atom（L）中的元，当且仅当它有⑴、⑵两种形式之一

⑴、F（t1，…tn），其中F是n元关系符号，并且t1，…tn∈Term（L）

⑵、≡（t1，t2）（可以更直观的简写为：

t1≡t2）

2、注意：

原子公式不是归纳定义

四、基本概念：

公式

1、概念：

U（s1，…，sn）表示符号s1，…，sn出现在表达式U中

2、概念：

A∈Form（L），当且仅当它能由（有限次使用）以下的⑴～⑷生成：

⑴、Atom（L）∈Form（L）

⑵、如果A∈Form（L），则（¬A）∈Form（L）

⑶、如果A、B∈Form（L），则（A*B）∈Form（L）

⑷、如果A（u）∈Form（L），x不在A（u）中出现，则∀xA（x），∃xA（x）∈Form（L）

3、概念：

闭公式（语句）（不含自由变元符号的公式）

4、概念：

拟公式（与公式结构相似的表达式、拟公式不是公式）

5、概念：

对公式的结构作归纳

五、定理群1

1、定理1：

L的任何项恰好具有以下三种形式之一：

2、定理2：

如果t是f（t1，…tn）的段，则t＝f（t1，…tn）或t是ti的段

3、定理3：

L的任何公式恰好具有以下八种形式之一：

六、定理群2

1、概念：

全称公式、存在公式（全称公式：

∀xA（x），存在公式：

∃xA（x））

2、概念：

量词的辖域（如果∀xA（x）是B的段，则称A（x）是∀x在B中的辖域）

3、性质：

量词的辖域是拟公式，联结符号如果出现在量词的辖域中，则可能是拟公式

4、定理1：

L的任何公式中任何全称量词或存在量词有唯一的辖域

5、定理2：

如果A是∀xB（x）中的段，则A＝∀xB（x）或是∀xB（x）的段

第三节语义

一、基本概念：

一阶语言的解释（后面五类符号，在所有一阶语言中都是相同的）

1、一阶语言和某个结构有联系（一阶语言是用来描述这个结构的）

2、一阶语言和任何结构无联系（一阶语言是一个一般的，抽象的一阶语言）

首先需要一个论域（只要求是不空的集合），然后再在该论域中如下解释：

⑴、个体符号解释为论域中的个体

⑵、n元关系符号解释为论域上的n元关系

⑶、m元函数符号解释为论域上的m元全函数

3、概念：

全函数（处处有定义的函数，函数的运算结果不会跑到论域之外）

二、基本概念

1、基本规定

⑴、项f（t1，…tn）被解释为论域中的个体：

ƒ（a1，…an）

⑵、原子公式F（t1，…tn）被解释为命题：

a1，…an有R关系

2、系列结论

⑴、闭项和闭公式的解释（分别解释为论域中的个体，或命题）

⑵、含自由变元的项，经过解释（得到论域上的n元全函数）和指派，得到论域中的个体

⑶、对于一个含自由变元的公式，经过解释（得到命题函数）和指派，得到命题

3、说明

⑴、区分：

个体符号解释为个体，自由变元符号指派为个体

⑵、一次性指派：

同时将所有的可数无限多个自由变元符号，指派为论域中的个体

三、基本概念

1、概念：

一阶语言L的赋值v（包括一个论域D和一个赋值函数v）

2、概念：

项的值（L的项在以D为论域的赋值v之下的值，递归定义如下）

3、定理：

设v是以D为论域的赋值，并且t∈Term（L），则tV∈D（对项的结构做归纳）

四、基本概念

1、概念：

定义一个新的赋值v（u/a）：

它与原来的v处处相同，只是作用在自由变元符号u时，可能会不同

2、概念：

公式的真假值（L的公式在以D为论域的赋值v之下的真假值，递归定义如下）

⑴、取u不在A（x）中出现，由A（x）构作A（u）

⑵、∀xA（x）是由A（u）生成的，所以∀xA（x）V要由A（u）V来决定

⑶、∀xA（x）V＝1的涵义：

无论v指派u为D中的哪一个个体a，都有A（u）V＝1

⑷、对于原来在A（x）中，现在仍在A（u）中的自由变元w来说，wV保持不变

★★归纳：

如果v是∀xA（x）V中的指派，那么v（u/a）表示除此之外，还要给自由变元符号U作指派

3、定理：

设v是以D为论域的赋值，A是公式，则AV∈{0，1}

五、基本概念

1、概念：

一致的（有相同论域的两个赋值v和v’，在四类符号上是一致的）

2、定理：

设v和v’是有相同论域的两个赋值，并且它们在项t和公式A所含的四类符号上都是一致的，则tV＝tV’，AV=AV’

六、基本概念

1、概念：

∑V（∑表示Form（L）中的公式集）

2、概念：

∑是可满足的（存在赋值v，使得∑V＝1）

3、概念：

A∈Form（L）是有效的（对于任何赋值v，都有∑V＝1）

4、性质：

可满足是由命题的内容决定的，而有效性是由公式的逻辑形式决定的

5、性质：

不存在一个统一的算法，用来判断L中公式的有效性或者可满足性

第四节逻辑推论

一、逻辑推论

1、符号：

∑╞A（A是∑的逻辑推论，其中∑ÍForm（L），A∈Form（L））

2、概念：

∑╞A，当且仅当对于任何赋值V，如果∑V＝1，则AV＝1

3、概念：

∑|≠A（存在赋值V，使得∑V＝1，AV＝0）

★★前者是指任何论域上的任何赋值V，后者是指存在以D为论域的赋值V

4、性质：

╞A（则A是有效公式）

5、概念：

逻辑等值公式A|＝|B

二、例题分析：

注意找到捷径和方法

1、如何证明一个逻辑推论是成立的（直接证明或者反证法）

2、如何证明一个逻辑推论是不成立的（构造出这样的赋值V，使得∑V＝1，AV＝0）

⑴、性质：

当确定赋值的论域时，问题在于论域的大小，和论域中有怎样的个体无关

⑵、D上的n元关系F：

FV＝{|a1∈D，…an∈D，且a1，…an满足F关系}

三、定理群

1、引理1：

如果A|＝|A’并且B|＝|B’，则有¬A|＝|¬A’等7条性质

2、约定：

B、C是拟公式，则B|=|C的含义是指B’|=|C’（注意B’、C’的形成）

3、等值替换定理：

设B|＝|C并且在A中把B的某些出现替换为C而得到A’，则A|＝|A’

（注意：

B和C可能是拟公式）

4、对偶性定理：

A’|＝|¬A（其中A’是A的对偶）

第五节形式推演

一、一阶逻辑的形式推演规则

1、新增的形式推演规则（6条）

2、规则的理解和分析

⑴、条件和结论的强弱：

∀xA（x）>A（t）>∃xA（t）

⑵、u不在∑中出现：

u表示的可以是论域中的任何一个个体

⑶、区别：

t比u的范围更广、代入和替换

3、量词的形式推演规则的推广（只有t系列可以相同，也可以不同，u和x都不行）

4、概念：

∑├A（A是在一阶逻辑中，由∑形式可推演的），当且仅当∑├A能由（有限次使用）一阶逻辑的形式推演规则生成

二、定理群1

1、定理1（定理3.5.2）

⑴、性质：

∀xA（x）|＝|∀yA（y）（相似性质：

∃xA（x）|＝|∃yA（y））

⑵、性质：

∀x∀yA（x，y）|＝|∀y∀xA（x，y）（相似性质：

∃x∃yA（x，y））

⑶、性质：

∀xA（x）├∃xA（x）

⑷、性质：

∃x∀yA（x，y）├∀y∃xA（x，y）

2、定理2（¬定理群，定理3.5.3）

⑴、性质：

¬∀xA（x）|＝|∃x¬A（x）

⑵、性质：

¬∃xA（x）|＝|∀x¬A（x）

三、定理群2

1、定理（→定理群，定理3.5.4）

⑴、性质：

∀x[A（x）→B（x）]├∀xA（x）→∀xB（x）

类似性质：

∀x[A（x）→B（x）]├∃xA（x）→∃xB（x）

类似性质：

∀x[A（x）→B（x）]，∀x[B（x）→C（x）]├∀x[A（x）→C（x）]

⑵、性质：

A→∀xB（x）|＝|∀x[A→B（x）]

类似性质：

A→∃xB（x）|＝|∃x[A→B（x）]

⑶、性质：

∀xA（x）→B|＝|∃x[A→B（x）]

类似性质：

∃xA（x）→B|＝|∀x[A→B（x）]

2、★★★★重要思路

⑴、当∀出现在左边，使用∀xA（x）├A（u）（∀-）

当∀出现在右边，使用规则（∀+）

⑵、当∃出现在左边，使用规则（∃-）

当∃出现在右边，使用反证法，或者规则（∃＋）

四、定理群3

1、定理1（∧定理群，定理3.5.5）

⑴、性质：

A∧∀xB（x）|＝|∀x[A∧B（x）]

类似性质：

A∧∃xB（x）|＝|∃x[A∧