高中数学 第四讲《数学归纳法证明不等式》教案1 新人教版选修45.docx

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高中数学第四讲《数学归纳法证明不等式》教案1新人教版选修45

2019-2020年高中数学第四讲《数学归纳法证明不等式》教案

（1）新人教版选修4-5

数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。

数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。

本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：

作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；

（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；

（3）活用起点的位置；

（4）有的试题需要先作等价变换。

例题精讲

例1、用数学归纳法证明

分析：

该命题意图：

本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤

证明：

1︒当n=1时，左边=1-=，右边==，所以等式成立。

2︒假设当n=k时，等式成立，

即

。

那么，当n=k+1时，

这就是说，当n=k+1时等式也成立。

综上所述，等式对任何自然数n都成立。

点评：

数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．

（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；

（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据

（1），

（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．

要证明的等式左边共2n项，而右边共n项。

f（k）与f（k+1）相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将与合并的变形方式，这是在分析了f（k）与f（k+1）的差异和联系之后找到的方法。

练习：

1.用数学归纳法证明3k≥n3（n≥3,n∈N）第一步应验证（）

A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4

解析：

由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：

C

2.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N

证明：

（1）当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除

（2）假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，

42（k+1）+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3

=42k+1·13+3·（42k+1+3k+2）

∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除

∴当n=k+1时也成立.

由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.

例2、求证：

．

分析：

该命题意图：

本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。

用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．

证明：

（1）当n=2时，右边=，不等式成立．

（2）假设当时命题成立，即

．

则当时，　

所以则当时，不等式也成立．

　　　由

（1），

（2）可知，原不等式对一切均成立．

点评：

本题在由到时的推证过程中，

（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由到时不等式左端项数的增减情况；

（2）应用了放缩技巧：

例3、已知，

，

用数学归纳法证明：

．

证明：

（1）当n=2时，

，∴命题成立．

（2）假设当时命题成立，即

．

则当时，　

　所以则当时，不等式也成立．

　　　由

（1），

（2）可知，原不等式对一切均成立．

点评：

本题在由到时的推证过程中，

（1）不等式左端增加了项，而不是只增加了“”这一项，否则证题思路必然受阻；

（2）应用了放缩技巧：

练习：

1、证明不等式：

分析

1、数学归纳法的基本步骤：

设P（n）是关于自然数n的命题，若

1°P（n0）成立（奠基）

2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立.

2、用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．

证明：

（1）当n=1时，不等式成立．

（2）假设n=k时，不等式成立，即

那么，

这就是说，n=k+1时，不等式也成立．

根据

（1）

（2）可知不等式对n∈N+都成立．

2.求证：

用数学归纳法证明．

证明：

（1）当n=1时，，不等式成立；

当n=2时，，不等式成立；

当n=3时，，不等式成立．

（2）假设当时不等式成立，即．

则当时，　

，

∵，∴

，（*）

从而

，

∴．

即当时，不等式也成立．

　由

（1），

（2）可知，对一切都成立．

点评：

因为在（*）处，当时才成立，故起点只证n=1还不够，因此我们需注意命题的递推关系式中起点位置的推移．

3．求证：

，其中，且．

分析：

此题是xx年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法

证法一：

用数学归纳法证明．

（1）当m=2时，，不等式成立．

（2）假设时，有，

则

，

∵，∴，即．

从而，

即时，亦有．

由

（1）和

（2）知，对都成立．

证法二：

作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明．

∴当，且时，．

例4、（xx年江西省高考理科数学第21题第

（1）小题，本小题满分12分）

已知数列

证明

求数列的通项公式an.

分析：

近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。

对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。

解：

（1）方法一用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

∴，命题正确.

2°假设n=k时有

则

而

又

∴时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：

用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

∴；

2°假设n=k时有成立，

令，在[0，2]上单调递增，

所以由假设有：

即

也即当n=k+1时成立，

所以对一切．

（2）下面来求数列的通项：

所以

则

又bn=－1，所以

．

点评：

本题问给出的两种方法均是用数学归纳法证明，所不同的是：

方法一采用了作差比较法；方法二利用了函数的单调性．

本题也可先求出第

（2）问，即数列的通项公式，然后利用函数的单调性和有界性，来证明第

（1）问的不等式．但若这样做，则无形当中加大了第

（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷．

练习：

1.试证明：

不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：

an+cn＞2bn.

分析：

该命题意图：

本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.

技巧与方法：

本题中使用到结论：

（ak－ck）（a－c）＞0恒成立（a、b、c为正数），从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.

证明：

（1）设a、b、c为等比数列，a=,c=bq（q＞0且q≠1）

∴an+cn=+bnqn=bn（+qn）＞2bn

（2）设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞（）n（n≥2且n∈N*）

下面用数学归纳法证明：

①当n=2时，由2（a2+c2）＞（a+c）2，∴

②设n=k时成立，即

则当n=k+1时，（ak+1+ck+1+ak+1+ck+1）

＞（ak+1+ck+1+ak·c+ck·a）=（ak+ck）（a+c）

＞（）k·（）=（）k+1

根据①、②可知不等式对n＞1,n∈N*都成立．

二.基础训练

一、选择题

1.已知f（n）=（2n+7）·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）

A.30B.26C.36D.6

解析：

∵f

（1）=36,f

（2）=108=3×36,f（3）=360=10×36

∴f

（1）,f

（2）,f（3）能被36整除，猜想f（n）能被36整除.

证明：

n=1,2时，由上得证，设n=k（k≥2）时，

f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除，则n=k+1时，

f（k+1）－f（k）=（2k+9）·3k+1－（2k+7）·3k

=（6k+27）·3k－（2k+7）·3k

=（4k+20）·3k=36（k+5）·3k－2（k≥2）

f（k+1）能被36整除

∵f

（1）不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.

答案：

C

二、填空题

2.观察下列式子：

…则可归纳出_________.

解析：

（n∈N*）

（n∈N*）

3.已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.

、、、

三、解答题

4.若n为大于1的自然数，求证：

.

证明：

（1）当n=2时，

（2）假设当n=k时成立，即

所以：

对于n∈N*，且n>1时，有

5.已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.

（1）求数列{bn}的通项公式bn;

（2）设数列{an}的通项an=loga（1+）（其中a＞0且a≠1）记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.

（1）解：

设数列{bn}的公差为d,由题意得

∴bn=3n－2

（2）证明：

由bn=3n－2知

Sn=loga（1+1）+loga（1+）+…+loga（1+）

=loga［（1+1）（1+）…（1+）］

而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较（1+1）（1+）…（1+）与的大小.

取n=1，有（1+1）=

取n=2，有（1+1）（1+

推测：

（1+1）（1+）…（1+）＞（*）

①当n=1时，已验证（*）式成立.

②假设n=k（k≥1）时（*）式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞

则当n=k+1时，

即当n=k+1时，（*）式成立

由①②知，（*）式对任意正整数n都成立.

于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1,当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1

6.设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：

a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果S2n＜3,求q的取值范围.

解：

∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,

∴q≠0,a2=－,

∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1

两式相除，得,即an+2=q·an

于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：

a2n+1=－qn（n=1,2,3,…）

综合①②，猜想通项公式为an=

下证：

（1）当n=1,2时猜想成立

（2）设n=2k－1时，a2k－1=2·qk－1则n=2k+1时，由于a2k+1=q·a2k－1

∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.

可推知n=2k+1也成立.

设n=2k时，a2k=－qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=q·a2k,

所以a2k+2=－qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.

综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.

这样所求通项公式为an=

S2n=（a1+a3…+a2n－1）+（a2+a4+…+a2n）

=2（1+q+q2+…+qn-1）－（q+q2+…+qn）

由于|q|＜1,∴=

依题意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

三.巩固练习

1.（06年湖南卷.理.19本小题满分14分）

已知函数,数列{}满足:

证明:

（ⅰ）;（ⅱ）.

证明:

（I）．先用数学归纳法证明，ｎ＝1,2,3,…

（

）.当n=1时,由已知显然结论成立.

（

）.假设当n=k时结论成立,即.因为0

所以f（x）在（0,1）上是增函数.又f（x）在[0,1]上连续,

从而

.故n=k+1时,结论成立.

由（

）、（

）可知，对一切正整数都成立.

又因为时，

，

所以，综上所述．

（II）．设函数，．由（I）知，当时，，

　　　从而

所以g（x）在（0,1）上是增函数.又g（x）在[0,1]上连续,且g（0）=0,

所以当时，g（x）>0成立.于是

．

　　　　　　　故．

点评：

不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不等式知识解决

问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点.需要灵活运用各分支的数学知识.

2.（05年辽宁卷.19本小题满分12分）

已知函数设数列}满足，数列}满足

（Ⅰ）用数学归纳法证明；

（Ⅱ）证明

分析：

本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力

（Ⅰ）证明：

当

因为a1=1，

所以

下面用数学归纳法证明不等式

（1）当n=1时，b1=，不等式成立，

（2）假设当n=k时，不等式成立，即

那么

所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据

（1）和

（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知，

所以

故对任意）

3.（05年湖北卷.理22.本小题满分14分）

已知不等式

为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）猜测数列是否有极限？

如果有，写出极限的值（不必证明）；

分析：

本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.

（Ⅰ）证法1：

∵当

即

于是有

所有不等式两边相加可得

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵

证法2：

设，首先利用数学归纳法证不等式

（i）当n=3时，由

知不等式成立.

（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即

则

即当n=k+1时，不等式也成立.

由（i）、（ii）知，

又由已知不等式得

（Ⅱ）有极限，且

（Ⅲ）∵

则有

故取N=1024，可使当n>N时，都有