最新大学高数曲面积分题.docx
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最新大学高数曲面积分题
大学高数曲面积分题
第二十章曲线积分
§1第一型曲线积分
1.计算下列第一型曲线积分：
（1）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»是以«SkipRecordIf...»为顶点的三角形；
（2）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»是以原点为圆心，«SkipRecordIf...»为半径的右半圆周；
（3）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»是椭圆«SkipRecordIf...»在第一象限中的部分；
（4）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»是单位圆周«SkipRecordIf...»；
（5）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为螺旋线«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»的一段；
（6）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»是曲线«SkipRecordIf...»的一段；
（7）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»相交的圆周.
解
（1）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»；
（2）右半圆的参数方程为：
«SkipRecordIf...»
所以
«SkipRecordIf...»；
（3）由于椭圆在第一象限中的部分可表示为«SkipRecordIf...»，（«SkipRecordIf...»）,从而«SkipRecordIf...»所以
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»；
（4）由于圆的参数方程为：
«SkipRecordIf...»，所以
«SkipRecordIf...»；
（5）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»；
（6）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»；
（7）截线为«SkipRecordIf...»，所以
«SkipRecordIf...».
2.求曲线«SkipRecordIf...»的质量，设其线密度为«SkipRecordIf...».
解曲线质量为
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
3.求摆线«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»的重心，设其质量分布是均匀的.
解设摆线的线密度为«SkipRecordIf...»，由于
«SkipRecordIf...»，
从而其质量为
«SkipRecordIf...»，
故其重心坐标为
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»；
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
4.若曲线以极坐标«SkipRecordIf...»表示，试给出计算«SkipRecordIf...»的公式，并用此公式计算下列曲线积分：
（1）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为曲线«SkipRecordIf...»的一段；
（2）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为对数螺线«SkipRecordIf...»在圆«SkipRecordIf...»内的部分.
解因为«SkipRecordIf...»的参数方程为«SkipRecordIf...»且«SkipRecordIf...».
所以
«SkipRecordIf...».
（1）«SkipRecordIf...»；
（2）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
若记«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
于是«SkipRecordIf...»，故«SkipRecordIf...».
5.证明：
若函数«SkipRecordIf...»在光滑曲线«SkipRecordIf...»上连续，则存在点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的弧长.
证由于函数«SkipRecordIf...»在光滑曲线«SkipRecordIf...»上连续，从而曲线积分«SkipRecordIf...»存在，且
«SkipRecordIf...»
又«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，«SkipRecordIf...»为光滑曲线，所以«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，由积分中值定理知：
存在«SkipRecordIf...»，使
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
令«SkipRecordIf...»，显然点«SkipRecordIf...»，且
«SkipRecordIf...».
§2第二型曲线积分
1.计算第二型曲线积分：
（1）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为本节例2中的三种情况；
（2）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为摆线«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»沿«SkipRecordIf...»增加方向的一段；
（3）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为圆周«SkipRecordIf...»，依逆时针方向；
（4）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»轴所围的闭曲线，依顺时针方向；
（5）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»：
从«SkipRecordIf...»到«SkipRecordIf...»的直线段.
解
（1）若积分沿抛物线«SkipRecordIf...»：
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»），则
«SkipRecordIf...»；
若积分沿直线«SkipRecordIf...»：
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»），则
«SkipRecordIf...».
若积分沿封闭曲线«SkipRecordIf...»，在«SkipRecordIf...»一段上，«SkipRecordIf...»；在«SkipRecordIf...»一段上，«SkipRecordIf...»；在«SkipRecordIf...»一段上，沿«SkipRecordIf...»从«SkipRecordIf...»到«SkipRecordIf...».且
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...».
因此«SkipRecordIf...».
（2）由于«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，从而
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
（3）由于圆的参数方程为：
«SkipRecordIf...»，所以
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
（4）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
（5）直线的参数方程为«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»）
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
2.设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由«SkipRecordIf...»沿椭圆移动到«SkipRecordIf...»，求力所作的功.
解椭圆的参数方程为：
«SkipRecordIf...»，而
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
则力所作的功
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
3.设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到«SkipRecordIf...»平面的距离成反比.若质点沿直线«SkipRecordIf...»从«SkipRecordIf...»沿椭圆移动到«SkipRecordIf...»，求力所作的功.
解由于力的方向指向原点，故其方向余弦为
«SkipRecordIf...»
其中«SkipRecordIf...».
所以力的三个分力为«SkipRecordIf...».
从而力所作的功
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
4.证明曲线积分的估计式：
«SkipRecordIf...»
其中«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的弧长，«SkipRecordIf...».
利用上述不等式估计积分
«SkipRecordIf...».
并证明«SkipRecordIf...».
证
（1）因为«SkipRecordIf...»，且
«SkipRecordIf...»，
从而
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（2）因为«SkipRecordIf...»，则由
（1）得
«SkipRecordIf...»
则«SkipRecordIf...»，故«SkipRecordIf...».
5.计算沿空间曲线的第二型曲线积分：
（1）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»：
«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»相交的圆，其方向按曲线依次经过1，2，7，8卦限；
（2）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为球面«SkipRecordIf...»在第一卦限部分的边界曲线，其方向按曲线依次经过«SkipRecordIf...»平面部分，«SkipRecordIf...»平面部分和«SkipRecordIf...»平面部分.
解
（1）曲线的参数方程为«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，且«SkipRecordIf...»从0增加到«SkipRecordIf...»时，曲线依次经过1，2，7，8卦限，所以«SkipRecordIf...».
（2）球面在第一卦限部分的边界曲线由三部分
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»；«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»；
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»组成.
而«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
同理«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
所以«SkipRecordIf...».
总练习题
1.计算下列曲线积分：
（1）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»是由«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»所围的闭曲线；
（2）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为双纽线«SkipRecordIf...»；
（3）«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为圆锥螺线«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»；
（4）«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»为以«SkipRecordIf...»为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点«SkipRecordIf...»到最下面一点«SkipRecordIf...»；
（5）«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»为抛物线«SkipRecordIf...»，从«SkipRecordIf...»到«SkipRecordIf...»的一段；
（6）«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»是维维安尼曲线«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，若从«SkipRecordIf...»轴正向看去，«SkipRecordIf...»是沿逆时针方向进行的.
解
（1）«SkipRecordIf...»是由«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»三部分组成.故
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
（2）由于«SkipRecordIf...»的极坐标方程为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，且
«SkipRecordIf...».
利用对称性得
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
（3）由于«SkipRecordIf...»,
所以«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
（4）由于圆的参数方程为：
«SkipRecordIf...»，且«SkipRecordIf...»点与«SkipRecordIf...»对应，«SkipRecordIf...»点与«SkipRecordIf...»对应.故
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»；
（5）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
（6）曲线«SkipRecordIf...»的参数方程为
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»
则«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
2.设«SkipRecordIf...»为连续函数，试就如下曲线：
（1）«SkipRecordIf...»：
连接«SkipRecordIf...»的直线段；
（2）«SkipRecordIf...»：
连接«SkipRecordIf...»三点的三角形（逆时针方向），计算下列积分：
«SkipRecordIf...».
解
（1）连接«SkipRecordIf...»的直线段的方程为«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»；
«SkipRecordIf...»；«SkipRecordIf...».
（2）连接«SkipRecordIf...»的直线段的方程为«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»；
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».
连接«SkipRecordIf...»的直线段的方程为«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»；
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»,
从而«SkipRecordIf...»；
«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...».
3.设«SkipRecordIf...»为定义在平面曲线弧段«SkipRecordIf...»上的非负连续函数，且在«SkipRecordIf...»上恒大于零.
（1）试证明«SkipRecordIf...»;
（2）试问在相同条件下，第二型曲线积分«SkipRecordIf...»是否成立？
为什么？
证
（1）证由题设存在«SkipRecordIf...»使得«SkipRecordIf...»，令«SkipRecordIf...»，由连续函数的局部保号性知：
存在«SkipRecordIf...»，使得对一切«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，有«SkipRecordIf...».
又由于«SkipRecordIf...»为定义在平面曲线弧段«SkipRecordIf...»上的恒大于零的连续函数，因此«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上可积，且
«SkipRecordIf...».
（其中«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的弧长）.
（2）不成立.因为第二型曲线积分与平面曲线弧段«SkipRecordIf...»的方向有关.
如«SkipRecordIf...»，沿着曲线«SkipRecordIf...»从«SkipRecordIf...»到«SkipRecordIf...»，显然«SkipRecordIf...»为定义在平面曲线弧段«SkipRecordIf...»上的非负连续函数，且恒大于零.但
«SkipRecordIf...».
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