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1、最新大学高数曲面积分题大学高数曲面积分题第二十章 曲线积分1 第一型曲线积分1.计算下列第一型曲线积分：（1）Skip Record If.，其中Skip Record If.是以Skip Record If.为顶点的三角形；（2）Skip Record If.，其中Skip Record If.是以原点为圆心，Skip Record If.为半径的右半圆周；（3）Skip Record If.，其中Skip Record If.是椭圆Skip Record If.在第一象限中的部分；（4）Skip Record If.，其中Skip Record If.是单位圆周Skip Record If

2、.；（5）Skip Record If.，其中Skip Record If.为螺旋线Skip Record If.Skip Record If.的一段；（6）Skip Record If.，其中Skip Record If.是曲线Skip Record If.的一段；（7）Skip Record If.，其中Skip Record If.是Skip Record If.与Skip Record If.相交的圆周. 解 （1）Skip Record If.Skip Record If.；（2）右半圆的参数方程为：Skip Record If.所以 Skip Record If.；（3）由于椭圆在

3、第一象限中的部分可表示为Skip Record If.，(Skip Record If.),从而Skip Record If. 所以Skip Record If. Skip Record If.Skip Record If.；（4）由于圆的参数方程为：Skip Record If.，所以Skip Record If.；（5）Skip Record If.Skip Record If.；（6）Skip Record If.Skip Record If.；（7）截线为Skip Record If.，所以Skip Record If.2. 求曲线Skip Record If.的质量，设其线密度为Sk

4、ip Record If. 解 曲线质量为Skip Record If.Skip Record If.3. 求摆线Skip Record If.Skip Record If.的重心，设其质量分布是均匀的. 解 设摆线的线密度为Skip Record If.，由于Skip Record If.，从而其质量为Skip Record If.，故其重心坐标为Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.；Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.4. 若曲线以极坐标Skip Record If.表示，试给出计算

5、Skip Record If.的公式，并用此公式计算下列曲线积分：（1）Skip Record If.，其中Skip Record If.为曲线Skip Record If.的一段；（2）Skip Record If.，其中Skip Record If.为对数螺线Skip Record If.在圆Skip Record If.内的部分. 解 因为Skip Record If.的参数方程为Skip Record If.且Skip Record If.所以Skip Record If.（1）Skip Record If.；（2）Skip Record If.Skip Record If.若记 Sk

6、ip Record If.，则Skip Record If. Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.于是Skip Record If.，故Skip Record If.5. 证明：若函数Skip Record If.在光滑曲线Skip Record If.上连续，则存在点Skip Record If.，使得Skip Record If.，其中Skip Record If.为Skip Record If.的弧长.证 由于函数Skip Record If.在光滑曲线Skip Record If.上连续，从而曲线积分Skip Record If.存

7、在，且Skip Record If.又Skip Record If.在Skip Record If.上连续，Skip Record If.为光滑曲线，所以Skip Record If.与Skip Record If.在Skip Record If.上连续，由积分中值定理知：存在Skip Record If.，使Skip Record If.Skip Record If.令Skip Record If.，显然点Skip Record If.，且Skip Record If.2 第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分：（1）Skip Record If.，其中Skip Record If.为本节例

8、2中的三种情况；（2）Skip Record If.，其中Skip Record If.为摆线Skip Record If.Skip Record If.沿Skip Record If.增加方向的一段；（3）Skip Record If.，其中Skip Record If.为圆周Skip Record If.，依逆时针方向；（4）Skip Record If.，其中Skip Record If.为Skip Record If.Skip Record If.与Skip Record If.轴所围的闭曲线，依顺时针方向；（5）Skip Record If.，其中Skip Record If.：从S

9、kip Record If.到Skip Record If.的直线段. 解 （1）若积分沿抛物线Skip Record If.：Skip Record If.（Skip Record If.），则Skip Record If.；若积分沿直线Skip Record If.：Skip Record If.（Skip Record If.），则Skip Record If.若积分沿封闭曲线Skip Record If.，在Skip Record If.一段上，Skip Record If.；在Skip Record If.一段上，Skip Record If.；在Skip Record If.一段上

10、，沿Skip Record If.从Skip Record If.到Skip Record If.且 Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.因此Skip Record If.（2）由于Skip Record If.Skip Record If.，从而Skip Record If. Skip Record If.（3）由于圆的参数方程为：Skip Record If.，所以Skip Record If.Skip Record If.（4）Skip Record If.Skip Record If.（5）直线的参数方程为Skip Record

11、 If.（Skip Record If.）Skip Record If.Skip Record If.2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由Skip Record If.沿椭圆移动到Skip Record If.，求力所作的功. 解 椭圆的参数方程为：Skip Record If.，而Skip Record If. Skip Record If.则力所作的功Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.3. 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到Skip Record If.平面的距离成反比.若质点

12、沿直线Skip Record If.从Skip Record If.沿椭圆移动到Skip Record If.，求力所作的功. 解 由于力的方向指向原点，故其方向余弦为Skip Record If.其中Skip Record If.所以力的三个分力为Skip Record If.从而力所作的功Skip Record If.Skip Record If.4. 证明曲线积分的估计式：Skip Record If.其中Skip Record If.为Skip Record If.的弧长，Skip Record If. 利用上述不等式估计积分Skip Record If.并证明Skip Record

13、If. 证 （1）因为Skip Record If.，且Skip Record If.，从而Skip Record If.Skip Record If.（2）因为Skip Record If.，则由（1）得Skip Record If.则Skip Record If.，故Skip Record If.5. 计算沿空间曲线的第二型曲线积分：（1）Skip Record If.，其中Skip Record If.：Skip Record If.与Skip Record If.相交的圆，其方向按曲线依次经过1，2，7，8卦限；（2）Skip Record If.，其中Skip Record If.为

14、球面Skip Record If.在第一卦限部分的边界曲线，其方向按曲线依次经过Skip Record If.平面部分，Skip Record If.平面部分和Skip Record If.平面部分. 解 （1）曲线的参数方程为Skip Record If.Skip Record If.，且Skip Record If.从0增加到Skip Record If.时，曲线依次经过1，2，7，8卦限，所以Skip Record If.（2）球面在第一卦限部分的边界曲线由三部分Skip Record If.Skip Record If.； Skip Record If.Skip Record If.；

15、Skip Record If.Skip Record If.组成.而 Skip Record If.Skip Record If.，同理 Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.所以Skip Record If.总 练 习 题1. 计算下列曲线积分：（1）Skip Record If.，其中Skip Record If.是由Skip Record If.和Skip Record If.所围的闭曲线；（2）Skip Record If.，其中Skip Record If.为双纽线Skip Record If.；（3

16、）Skip Record If.，其中Skip Record If.为圆锥螺线Skip Record If.，Skip Record If.；（4）Skip Record If.，Skip Record If.为以Skip Record If.为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点Skip Record If.到最下面一点Skip Record If.；（5）Skip Record If.，Skip Record If.为抛物线Skip Record If.，从Skip Record If.到Skip Record If.的一段；（6）Skip Record If.，Skip Record

17、If.是维维安尼曲线Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.，若从Skip Record If.轴正向看去，Skip Record If.是沿逆时针方向进行的. 解 （1）Skip Record If.是由Skip Record If.与Skip Record If.及Skip Record If.三部分组成.故Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.（2）由于Skip Record If.的极坐标方程为Skip Record If.，Skip Record If.，且Skip Record

18、If.利用对称性得Skip Record If.Skip Record If.（3）由于Skip Record If.,所以 Skip Record If.Skip Record If.（4）由于圆的参数方程为：Skip Record If.，且Skip Record If.点与Skip Record If.对应，Skip Record If.点与Skip Record If.对应.故Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.；（5）Skip Record If.Skip Record If.（6）曲线Skip Record If.的参数方程为S

19、kip Record If.，Skip Record If.则Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.2. 设Skip Record If.为连续函数，试就如下曲线：（1）Skip Record If.：连接Skip Record If.的直线段；（2）Skip Record If.：连接Skip Record If.三点的三角形（逆时针方向），计算下列积分：Skip Record If. 解 （1）连接Skip Record If.的直线段的方程为Skip Record If.，则 Skip Record If.；Skip Record If

20、.；Skip Record If.（2）连接Skip Record If.的直线段的方程为Skip Record If.，则Skip Record If.；Skip Record If.，Skip Record If.连接Skip Record If.的直线段的方程为Skip Record If.，则Skip Record If.；Skip Record If.，Skip Record If.,从而Skip Record If.；Skip Record If., Skip Record If.3. 设Skip Record If.为定义在平面曲线弧段Skip Record If.上的非负连续函

21、数，且在Skip Record If.上恒大于零.（1）试证明Skip Record If.;（2）试问在相同条件下，第二型曲线积分Skip Record If.是否成立？为什么？ 证 （1）证 由题设存在Skip Record If.使得Skip Record If.，令Skip Record If.，由连续函数的局部保号性知：存在Skip Record If.，使得对一切Skip Record If. Skip Record If.，有Skip Record If.又由于Skip Record If.为定义在平面曲线弧段Skip Record If.上的恒大于零的连续函数，因此Skip Record If.在Skip Record If.上可积，且Skip Record If.（其中Skip Record If.是Skip Record If.的弧长）.（2）不成立.因为第二型曲线积分与平面曲线弧段Skip Record If.的方向有关.如Skip Record If.，沿着曲线Skip Record If.从Skip Record If.到Skip Record If.，显然Skip Record If.为定义在平面曲线弧段Skip Record If.上的非负连续函数，且恒大于零.但Skip Record If.