勾股定理的应用必考题.docx
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勾股定理的应用必考题
1、如图:
(1)你能得到关于a,b,c的一个等式吗?
写出你的过程.
(2)请用一句话描述你的发现:
在直角三角形中,______
(3)请应用你学到的新知识解决下面这个问题:
将一根长为30cm的筷子置于底面直径为5cm,高12cm的圆柱形的空水杯中,则露出杯子外面的长度最短是______cm,最长是______ cm.如果把圆柱体换成一个长,宽,高分别为6,8,24的无盖长方体盒子.那么这根筷子露出盒子外面的长度最短是______cm.
2、某楼梯的侧面视图如图所示,其中AB=6。
5米,BC=2。
5米,∠C=90°,楼梯的宽度为6米,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为 .
3、如图所示,一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发,经过每个面的中心点后,又回到A点,蚂蚁爬行最短程S满足()
A.5<S≤6B.6<S≤7C.7<S≤8D.8<S≤9
4、如图,已知:
Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合,当三角尺绕着点M旋转时,两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D,E两点(D、E不与B、A重合).
(1)试说明:
MD=ME;
(2)求四边形MDCE的面积.
5、小明在测量学校旗杆的高度时发现,旗杆的绳子垂到地上还多一米,当他把绳子拉直并把绳子的下端触地时,绳子离开旗杆5米,求旗杆的高度.
6、印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”:
平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲.
出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边,
离开原处二尺远,花贴湖面像睡莲.
能算诸君请解题,湖水如何知深浅?
7、如图,在每个小方格的面积为1的4×4的方格纸上画一个正方形ABCD,使正方形ABCD的面积为5,并计算正方形的边长和周长.
8、在下列4×4各图中,每个小正方形的边长都为1,请在每一个图中分别画出一条线段,且它们的长度均表示不等的无理数.表示:
______
9、自动门开启的连动装置如图所示,∠AOB为直角,滑杆AB为定长100cm,端点A,B可分别在OA,OB上滑动,当滑杆AB的位置如图所示时,OA=80cm、若端点A向上滑动10cm,则端点B滑动的距离()
A.大于10cmB.等于10cmC.小于10cmD.不能确定
10、如图,在长15米,宽8米的长方形ABCD花园内修一条长13米的笔直小路EF,小路出口一端E选在AD边上距D点3米处,另一端出口F应选在AB边上距B点几米处?
11、如图,把一块三角形(△ABC)土地挖去一个直角三角形(∠ADC=90°)后,测得CD=6米,AD=8米,BC=24米,AB=26米.求剩余土地(图中阴影部分)的面积.
12、距沿海某城市A的正南方向
km的B处有一台风中心.根据海事预报,以台风中心为圆心,250km为半径的圆形区域内会受到台风影响.该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东45°方向往C移动,问:
该城市是否会受到这次台风的影响?
请说明理由.
13、如图,设A城气象站测得台风中心在A城正西方向300千米的B处,正向北偏东60°的BF方向移动,距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域,那么A城是否受到这次台风的影响?
为什么?
14、如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海,晚上10时28分,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近,便立即通知下在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向,经检测,AC=10海里,AB=6海里,BC=8海里,若该船只的速度为12。
8海里/小时,则可疑船只最早何时进入我领海?
15、如图,铁路AB的一边有C、D两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知AB=25km,DA=15km,CB=10km,现要在铁路上建一个农产品收购站E,并使DE=CE.则农产品收购站E应建在距点A多少千米处?
16、如图,三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=15km,BC=9km,AC=12km.已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路AB,为了实现村村通公路,现在要从C村修一条笔直公路CD直达AB.已知公路的造价为10000元/km,求修这条公路的最低造价是多少?
17、如图所示,一根长2.5米的木棍(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,此时OB的距离为0。
7米,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.
(1)如果木棍的顶端A沿墙下滑0。
4米,那么木棍的底端B向外移动多少距离?
(2)请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由.
(3)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?
简述理由,并求出面积的最大值.
18、在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图,为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险,是否而需要暂时封锁?
请通过计算进行说明.
19、如图1,四根长度一定的木条,其中AB=6cm,CD=15cm,将这四根木条用小钉绞合在一起,构成一个四边形ABCD(在A、B、C、D四点处是可以活动的).现固定AB边不动,转动这个四边形,使它的形状改变,在转动的过程中有以下两个特殊位置.
位置一:
当点D在BA的延长线上时,点C在线段AD上(如图2);
位置二:
当点C在AB的延长线上时,∠C=90°.
(1)在图2中,若设BC的长为x,请用x的代数式表示AD的长;
(2)在图3中画出位置二的准确图形;(各木条长度需符合题目要求)
(3)利用图2、图3求图1的四边形ABCD中,BC、AD边的长.
20、如图,小明准备建一个鲜花大棚,棚宽BE=4米,高AE=3米,长AD=10米,棚的斜面用矩形玻璃ABCD遮盖,不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面积.
21、公园里有一块形如四边形ABCD的草地,测得BC=CD=20米,∠A=45°,∠B=∠C=120°,请求出这块草地面积.
22、如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点.已知∠BAC=60°,∠DAE=45°,点D到地面的垂直距离DE=3
m.则点B到地面的垂直距离BC是 .
23、如图在一块直角三角形地被分成BD分成两块,其中斜边AB长为13m,一条直角边BC长为5m,∠BDC=45°,要在△ABD内种草皮,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要 元.
24、一个游泳爱好者,要横跨一条宽AC=8m的河流,由于水流速度的原因,这位游泳爱好者向下游偏离了BC=6m,这位游泳爱好者在横跨河流的实际游泳距离为多少米?
25、已知,△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P以1cm/s的速度从点A出发,沿线段AB向点B运动.
(1)如图1,设点P的运动时间为t(s),那么t=______(s)时,△PBC是直角三角形;
(2)如图2,若另一动点Q从点B出发,沿线段BC向点C运动,如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t(s),那么t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(3)如图3,若另一动点Q从点C出发,沿射线BC方向运动.连接PQ交AC于D.如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t(s),那么t为何值时,△DCQ是等腰三角形?
(4)如图4,若另一动点Q从点C出发,沿射线BC方向运动.连接PQ交AC于D,连接PC.如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.请你猜想:
在点P、Q的运动过程中,△PCD和△QCD的面积有什么关系?
并说明理由.
26、罗师傅想将一个正方形ABCD(四个角都是直角,四条边都相等)的余料,修剪成四边形ABEF的零件(如图),要求∠AFE为直角.他是这样做的:
取CD的中点F,取BC的四等分点E(即
),然后沿AF、FE剪裁就得到四边形AFEB.你认为这样剪裁得到的四边形AFEB符合要求吗?
请说明理由.
27、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?
28、一块试验田的形状如图所示,已知:
∠CAB=90°,AC=3m,AB=4m,BD=13m,DC=12m.求这块试验田的面积.
29、如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4m,高3m,长8m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计墙的厚度,若塑料薄膜每平方米1.2元,问小李至少要花多少钱?
(30题)
30、八年级三班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后,为了测得下图风筝CE的高度,他们进行了如下操作:
(1)测得BD的长度为25米.
(2)根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米.
(3)牵线放风筝的小明身高1。
6米.
求风筝的高度CE.
31、如图,一个电子跳蚤在4×5的网格(网格中小格子均为边长为1的正方形)中,沿A→B→C→A跳了一圈,它跳的总路程是 .
32、课间,小聪拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间(如图所示),∠ACB=90°,AC=BC,从三角板的刻度可知AB=20cm,小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)为 cm.
33、由于水资源缺乏,B,C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水,这就需要在A,B,C之间铺设地下输水管道.有人设计了3种铺设方案(图中实线表示管道铺设线路).在图
(2)中,AD⊥BC于点D,且BC=DC;在图(3)中,OA=OB=OC,且AO的延长线交BC于点E,AE⊥BC,BE=EC,OE=
.为减少渗漏,节约水资源,并降低工程造价,铺设线路应尽量缩短.若△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形,请你通过计算,判断哪一个铺设方案最好.
34、某消防队进行消防演练,在模拟现场,有一建筑物发生了火灾,消防车到达后,发现离建筑物的水平距离最近为12米,即AD=BC=12米,此时建筑物中距地面12.8米高的P处有一被困人员需要救援,已知消防云梯的车身高AB是3.8米.为此消防车的云梯至少应伸长多少米?
35、明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:
“平地秋千未起,踏板一尺离地°送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”翻译成现代文为:
如图,秋千OA静止的时候,踏板离地高一尺(AC=1尺),将它往前推进两步(EB=10尺),此时踏板升高离地五尺(BD=5尺),求秋千绳索(OA或OB)的长度.
36、两根电线杆AB、CD,AB=5m,CD=3m,它们的底部相距8m,现在要在两根电线杆底端之间(线段BD上)选一点E,由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE.若使钢索AE与CE相等,那么点E应该选在距点B多少米处?
37、如图,是一块四边形草坪,∠B=∠D=90°,AB=24m,BC=7m,CD=15m,求草坪面积.
38、中日钓鱼岛争端持续,我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度.如图,OA⊥OB,OA=45海里,OB=15海里,钓鱼岛位于O点,我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船,自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O,我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点C处截住了渔船.
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置;
(2)求我国海监船行驶的航程BC的长
39、探索:
请你利用图1验证勾股定理.
(2)应用:
如图2,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,分别以AC、BC为直径作半圆,面积分别记为S1、S2,则S1+S2的值等于______.(请直接写出结果)
(3)拓展:
如图3所示,MN表示一条铁路,A、B是两个城市,它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC=40千米,BD=60千米,且CD=80千米,现要在CD之间设一个中转站O,求出O应建在离C点多少千米处,才能使它到A、B两个城市的距离相等.
40、如图,A,B是笔直公路l同侧的两个村庄,且两个村庄到公路的距离分别是300m和500m,两村庄之间的距离为d(已知d2=400000m2),现要在公路上建一汽车停靠站,使两村到停靠站的距离之和最小,问最小值是多少?
41、如图,点A是4×5网格图形中的一个格点(小正方形的顶点),图中每个小正方形的边长为1,以A为其中的一个顶点,腰长等于
的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数是()
A.10B.12C.14D.16
42、如图,以数轴的单位长线段为边作一个矩形,以数轴的原点为旋转中心,将过原点的对角线逆时针旋转,使对角线的另一端点落在数轴负半轴的点A处,则点A表示的数是 .
43、阅读下面的情景对话,然后解答问题:
老师:
我们新定义一种三角形,两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
小华:
等边三角形一定是奇异三角形!
小明:
那直角三角形是否存在奇异三角形呢?
(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:
“等边三角形一定是奇异三角形"这句话是对还是错?
______
(2)在Rt△ABC中,两边长分别是a=5
、c=10,这个三角形是否是奇异三角形?
请说明理由.
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三角形,求(b+c):
a的值.
44、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号、3号两个正方形的面积和为4,则a,b,c三个正方形的面积和为()
A.11B.15C.10D.22
45、如图,是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标,由4个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形的面积分别为
和4,则直角三角形的两条直角边边长分别为 .
46、如图,小明在广场上先向东走10米,又向南走40米,再向西走20米,又向南走40米,再向东走70米,小明到达的终止点与原出发点的距离为()米.
A.80B.100C.110D.180
47、如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?
(结果精确到0。
1km)(参考数据:
≈1.41)
48、如图,让两个长为12,宽为8的矩形重叠,已知图中线段AB长为7,则两个矩形重叠的阴影部分面积为 .
49、学校操场上有一块如图所示三角形空地,量得AB=AC=10米,∠B=22。
5°,学校打算种上草皮,并预定3。
6×105平方厘米草皮,请你通过计算说明草皮是否够用.
50、在合肥市地铁一号线的修建过程中,原设计的地铁车站出入口高度较低,为适应地形,把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了,如图所示,已知原设计楼梯BD长20米,在楼梯水平长度(BC)不发生改变的前提下,楼梯的倾斜角由30°增大到45°,那么新设计的
楼梯高度将会增加多少米?
(结果保留整数,参考数据:
≈1.414,
≈1。
732)