二次函数背景综合题概要.docx
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二次函数背景综合题概要
中考数学压轴题
济南市稼轩学校王建海
第一部分函数图象中点的存在性问题
1因动点产生的相似三角形问题
2 因动点产生的等腰三角形问题
3 因动点产生的直角三角形问题
4 因动点产生的平行四边形问题
5 因动点产生的梯形问题
6 因动点产生与线段和最小,线段差最大以及面积最大(最小)值问题
第二部分图形的平移、翻折与旋转
7图形的平移
8图形的翻折
9图形的旋转
中考数学压轴题五大类型
一、函数图像中的存在性问题
(1)动点与相似三角形问题
例题1:
(2014•温州,第21题10分)如图,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A,B两点,它的对称轴与x轴交于点N,过顶点M作ME⊥y轴于点E,连结BE交MN于点F,已知点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标.
(2)求△EMF与△BNE的面积之比.
练习:
(2013•莱芜压轴题)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式;
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)动点与等腰三角形问题
例题2:
6.2014•广西贺州,第26题12分)二次函数图象的顶点在原点O,经过点A(1,
);点F(0,1)在y轴上.直线y=﹣1与y轴交于点H.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P是
(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M,求证:
FM平分∠OFP;
(3)当△FPM是等边三角形时,求P点的坐标.
20.(2014•邵阳,第26题10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C.
(1)若m=2,n=1,求A、B两点的坐标;
(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是(0,﹣1),求∠ACB的大小;
(3)若m=2,△ABC是等腰三角形,求n的值.
(2014年四川资阳,第24题12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标;
(3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形,将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S.
(3)动点与直角三角形问题
例题3:
14.(2014•毕节地区,第27题16分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为A(﹣1,﹣1),与x轴交点M(1,0).C为x轴上一点,且∠CAO=90°,线段AC的延长线交抛物线于B点,另有点F(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线Ac的解析式及B点坐标;
(3)过点B做x轴的垂线,交x轴于Q点,交过点D(0,﹣2)且垂直于y轴的直线于E点,若P是△BEF的边EF上的任意一点,是否存在BP⊥EF?
若存在,求P点的坐标,若不存在,请说明理由.
练习:
(2014•四川自贡,第24题14分)如图,已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点,并与直线y=x﹣2交于B、C两点,其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点,连接AC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明:
△ABC为直角三角形;
(3)△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG?
(顶点D、E、F、G在△ABC各边上)若能,求出最大面积;若不能,请说明理由.
(2014•德州,第24题12分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?
若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作y轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
(4)动点与平行四边形问题
例题4:
(2014•珠海,第22题9分)如图,矩形OABC的顶点A(2,0)、C(0,2
).将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°.得矩形OEFG,线段GE、FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D,连结MH.
(1)若抛物线l:
y=ax2+bx+c经过G、O、E三点,则它的解析式为:
y=
x2﹣
x ;
(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标;
(3)在
(1)
(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间(不含点R、E)运动,设△PQH的面积为s,当
时,确定点Q的横坐标的取值范围.
练习:
(2014•浙江湖州,第23题分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC=
AC,连接OA,OB,BD和AD.
(1)若点A的坐标是(﹣4,4)
①求b,c的值;
②试判断四边形AOBD的形状,并说明理由;
(2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形?
若存在,请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在,请说明理由.
(2014•济宁,第22题11分)如图,抛物线y=
x2+bx+c与x轴交于A(5,0)、B(﹣1,0)两点,过点A作直线AC⊥x轴,交直线y=2x于点C;
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标,判定点A′是否在抛物线上,并说明理由;
(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA′于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(5)动点与平行问题
例题5:
13.(2014年广东汕尾,第25题10分)如图,已知抛物线y=
x2﹣
x﹣3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.
(1)直接写出A、D、C三点的坐标;
(2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标;
(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以BC∥AP?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(6)动点与线段和最小,线段差最大以及面积最大(最小)值问题
例题6:
(2014年山东泰安,第29题)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣1,4),且与直线y=﹣
x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(﹣3,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;
(3)在
(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?
并求出所有满足条件的N点的坐标.
练习:
1、如图,已知抛物线y=
(x﹣2)(x+a)(a>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线过点M(﹣2,﹣2),求实数a的值;
(2)在
(1)的条件下,解答下列问题;
①求出△BCE的面积;
②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小,直接写出点H的坐标.
2、(2013甘肃兰州12分、28压轴题)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线成为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,﹣
),点M是抛物线C2:
y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的顶点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?
若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当△BDM为直角三角形时,求m的值.
二、图形的变化与代数综合问题
(7)图形的平移
(2014济南28)如图1,抛物线
平移后过点A(8,,0)和原点,顶点为B,对称轴与
轴相交于点C,与原抛物线相交于点D.
(1)求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积
;
(2)如图2,直线AB与
轴相交于点P,点M为线段OA上一动点,
为直角,边MN与AP相交于点N,设
,试探求:
①
为何值时
为等腰三角形;
②
为何值时线段PN的长度最小,最小长度是多少.
练习(2014年江苏南京,第24题)已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:
不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
(8)图形的翻折
例题8:
(2013•枣庄)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?
求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
练习:
(2013•盐都区一模)已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(4,0),且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等.
(1)求实数a、b的值;
(2)如图1,动点E、F同时从A点出发,其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动,点F以每秒
个单位长度的速度沿射线AC方向运动.当点E停止运动时,点F随之停止运动.设运动时间为t秒.连接EF,将△AEF沿EF翻折,使点A落在点D处,得到△DEF.
①是否存在某一时刻t,使得△DCF为直角三角形?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;
(9)图形的旋转
例题9:
如图,二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,∠CBO的正切值是2.
(1)求此二次函数的解析式.
(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发,绕点A顺时针旋转,与直线AB重合时终止运动,直线l与BC交于点D,P是线段AD的中点.
①直接写出点P所经过的路线长.
②点D与B、C不重合时,过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F,连接PE、PF,在旋转过程中,∠EPF的大小是否发生变化?
若不变,求∠EPF 的度数;若变化,请说明理由.
③在②的条件下,连接EF,求EF的最小值
练习:
(2013•南京二模)阅读材料,回答问题:
如果二次函数y1的图象的顶点在二次函数y2的图象上,同时二次函数y2的图象的顶点在二次函数y1的图象上,那么我们称y1的图象与y2的图象相伴随.
例如:
y=(x+1)2+2图象的顶点(-1,2)在y=-(x+3)2+6的图象上,同时y=-(x+3)2+6图象的顶点
(-3,6)也在y=(x+1)2+2的图象上,这时我们称这两个二次函数的图象相伴随.
(1)说明二次函数y=x2-2x-3的图象与二次函数y=-x2+4x-7的图象相伴随;
(2)如图,已知二次函数y1=
(x+1)2-2图象的顶点为M,点P是x轴上一个动点,将二次函数y1的图象绕点P旋转180°得到一个新的二次函数y2的图象,且旋转前后的两个函数图象相伴随,y2的图象的顶点为N.
①求二次函数y2的关系式;
②以MN为斜边作等腰直角△MNQ,问y轴上是否存在满足要求的点Q?
若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由