（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。
综上所述，可知函数的值域为：
（-，-）。
注：
求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x
轴的同侧。
9、不等式法
利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：
2x（xx
把它倒过来之后，你会发现另一番境况
倒数法有时，直接看不出函数的值域时，例求函数y=的值域多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：
做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂
13.反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题：
A．y=x2－2x+2（x<1）B．y=x2－2x+2（x≥1）
C．y=x2－2x（x<1）D．y=x2－2x（x≥1）
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。
可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。
下面请看一下我的思路：
原函数定义域为x〉=1，那反函数值域也为y>=1.排除选项C,D.现在看值域。
原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1,答案为B.
我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。
思路能不能明白呢？
14.反函数的性质有哪些？
反函数性质：
1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）
2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）
3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称
1互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
2保存了原来函数的单调性、奇函数性；
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
（04.上海春季高考）已知函数，则方程的解.1
对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。
已知反函数的y,不就是原函数的x吗？
那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？
（也可能是告诉你反函数的x值，那方法也一样，呵呵。
自己想想，不懂再问我
15.如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
（1）定义法：
根据定义，设任意得x1,x2，找出f（x1）,f（x2）之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与1的关系
（2）参照图象：
1若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性；（特例：
奇函数）
2若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。
（特例：
偶函数）
（3）利用单调函数的性质：
1函数f（x）与f（x）＋c（c是常数）是同向变化的
2函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c>0时，它们是同向变化的；当c<0时，它们是反向变化的。
3如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）＋f2（x）和它们同向变化；（函数相加）
4如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；如果负值函数f1
（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化；（函数相乘）
5函数f（x）与在f（x）的同号区间里反向变化。
6若函数u＝φ（x），x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β）,φ（α）]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递增的；若函数u＝φ（x）,x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β），φ（α）]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递减的。
（同增异减）⑦若函数y＝f（x）是严格单调的，则其反函数x＝f－1（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f（g）
g（x）
f[g（x）]
f（x）+g（x）
f（x）*g（x）都是正数
增
增
增
增
增
增
减
减
/
/
减
增
减
/
/
减
减
增
减
减
）
16.如何利用导数判断函数的单调性？
值是（）
A.0
B.1
C.2D.3
∴a的最大值为3）
17.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f（x）定义域关于原点对称）
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：
两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；
个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
三、复合函数奇偶性
f（g）
g（x）
f[g（x）]
f（x）+g（x）
f（x）*g（x）
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
偶
非奇非偶
奇
偶
奇
偶
非奇非偶
奇
偶
偶
偶
偶
偶
18.你熟悉周期函数的定义吗？
函数，T是一个周期。
）
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：
告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：
，
同时可能也会遇到这种样子：
f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）.其实这都是说同样一个意思：
函数f（x）关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如，f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）就都表示函数关于直线x=a对称。
如：
19.你掌握常用的图象变换了吗？
联想点（x,y）,（-x,y）联想点（x,y）,（x,-y）联想点（x,y）,（-x,-y）联想点（x,y）,（y,x）联想点（x,y）,（2a-x,y）联想点（x,y）,（2a-x,0）
（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。
对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。
你要判断函数y-b=f（x+a）怎么由y=f（x）得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。
看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。
）
注意如下“翻折”变换：
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
（k为斜率，b为直线与y轴的交点）
的双曲线。
应用：
①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m，n］上的最值。
3求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
4一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质！
（注意底数的限定！
）
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
（均值不等式一定要注意等号成立的条件）
20.你在基本运算上常出现错误吗？
21.如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、代y=x，
2、令x=0或1来求出f（0）或f
（1）
3、求奇偶性，令y=—x；求单调性：
令x+y=x1
几类常见的抽象函数
1.正比例函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）f（x±y）＝f（x）±f（y）
2.幂函数型的抽象函数
f（x）＝xaf（xy）＝f（x）f（y）；f（）＝
3.指数函数型的抽象函数
f（x）＝axf（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝
4.对数函数型的抽象函数
f（x）＝logax（a>0且a≠1）f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝f（x）－f（y）
5.三角函数型的抽象函数
f（x）＝tgxf（x＋y）＝
f（x）＝cotxf（x＋y）＝
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）>0，f（－1）＝－2求f（x）在区间［－2,1］上的值域.
分析：
先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f［（x2－x1）＋x1］＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）>2，f（3）＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.
分析：
先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f
（1）＝3；最后脱去函数符号.
例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x<1时，f（x）∈［0，1］.
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞］上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.
分析：
（1）令y＝－1；
（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；
（3）0≤a≤2.
例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：
存在x1≠x2，使得f（x1）
≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1）f（0）；
（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.
分析：
（1）令x=y＝0；
（2）令y＝x≠0.
例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：
①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝f（a）f（b），a、b∈N；③f
（2）＝4.同时成立？
若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.
分析：
先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.
例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），
f（3）＝1，求：
（1）
f
（1）；
（2）
若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围
分析：
（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.
分析：
设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝f（ab）＝f［g（m）g（n）］⋯.
例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
①x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；
②f（a）＝－1（a>0，a是定义域中的一个数）；
3当0试问：
（1）f（x）的奇偶性如何？
说明理由；
（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？
说明理由.
分析：
（1）利用f［－（x1－x2）］＝－f［（x1－x2）］，判定f（x）是奇函数；
（3）先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有
些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要
进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1）求证：
f
（1）＝f（－1）＝0；
（2）求证：
f（x）为偶函数；
（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.
分析：
函数模型为：
f（x）＝loga|x|（a>0）
（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；
（2）令y＝－1；
（3）由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.
例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x<0时，f（x）>1，求证：
（1）当x>0时，0（2）f（x）在x∈R上是减函数.分析：
（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；
（3）受指数函数单调性的启发：
由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，进而由x11.
练习题：
1.已知：
f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（）
（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1
（C）f（0）＝0或1（D）以上都不对
2.若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（）
（A）f
（1）＝0（B）f（）＝f（x）
（C）f（）＝f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）
3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：
f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x<0时，f（x）>1，则当x>0时，f（x）的取值范围是（）
（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）
（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）
4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有
f（x1－x2）＝，则f（x）为（）
参考答案：
1．A
2．B
3．C
4．A
5．B
23.你记得弧度的定义吗？
能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？
（和三角形的面积公式很相似，
可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法）
升级会员 