高中数学北师大版选修12精品学案第三章 推理与证明 第1课时 合情推理.docx

高中数学北师大版选修12精品学案第三章 推理与证明 第1课时 合情推理.docx

《高中数学北师大版选修12精品学案第三章 推理与证明 第1课时 合情推理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学北师大版选修12精品学案第三章 推理与证明 第1课时 合情推理.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学北师大版选修12精品学案第三章推理与证明第1课时合情推理

第1课时　合情推理

1.结合已学过的数学实例和生活实例,了解归纳推理与类比推理的含义.

2.能利用归纳方法进行简单推理,体会并认识归纳推理在数学发展中的作用.

3.掌握类比推理的一般方法,会对一些简单问题进行类比,得出新的结论,培养学生的类比推理能力.

重点:

了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理.

难点:

用归纳、类比进行推理,作出猜想.

历史上,人们提出过许多永动机的设计方案,有人采用“螺旋汲水器”的原理,有人利用轮子惯性原理,有人利用水的浮力或毛细作用的原理,但均以失败告终.于是人们纷纷认为:

不可能制造出永动机.

问题1:

他们为什么认为不可能制造出永动机?

通过大量失败的例子归纳推理得到的,并由后人提出的能量守恒定律彻底说明永动机不可制造.

问题2:

归纳推理、类比推理及其特点

（1）归纳推理:

根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们把这种推理方式称为　归纳推理　. 

它具有以下几个特点:

①归纳推理是由部分到整体、由　个别　到　一般　的推理. 

②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的,但是可以为我们的研究提供一种方向.

（2）类比推理:

由于两类不同对象具有某些类似的特性,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为　类比推理　. 

它具有以下几个特点:

①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.

②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性,是一种从　特殊　到　特殊　的推理. 

③类比的结果不一定正确,但它却有发现的功能.

问题3:

归纳推理、类比推理的一般步骤

（1）归纳推理:

①通过观察个别情况发现某些相同的性质;

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）;

如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.

归纳推理的一般思维过程:

实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论

（2）类比推理:

①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;

②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;

③检验猜想.

类比推理的一般思维过程:

观察、比较→联想、类推→猜想新结论

问题4:

合情推理及其意义

归纳推理和类比推理都是最常见的　合情　推理.合情推理是根据实验与实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等）,推测出某些结果的推理方式. 

尽管合情推理的结果　不一定　正确,但是,在数学、科学、经济和社会的历史发展中,合情推理有非常重要的价值,它是科学发现和创造的基础. 

数学中有一条三角形定理:

三角形的两边之和大于第三边,根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形.这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域.他认为,历史上如果三个割据势力并存,就形成了三足鼎立,这是一种比较稳定的结构.如果强者侵犯了弱者,被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来.结盟之后,两边之和大于第三边,稳定的三足结构就不会被破坏.只有当强者的力量超过了两个弱者之和,三国鼎立的局面才会结束.这位科学家利用类比推理表达自己的思想,使抽象的道理具体化,使论述更加形象,收到了良好的表达效果.

1.数列{an}的前四项为,1,,,由此可以归纳出该数列的一个通项公式为（　　）.

A.an=　　　　　　　　B.an=

C.an=D.an=

【解析】将前四项分别写成,,,,即可作出归纳.

【答案】B

2.由数列1,10,100,1000,…猜测该数列的第n项可能是（　　）.

A.10nB.10n-1

C.10n+1D.11n

【答案】B

3.已知点A（x1,）、B（x2,）是函数y=x2的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方,因此有结论>（）2成立.运用类比思想方法可知,若点C（x1,lgx1）、D（x2,lgx2）是函数y=lgx（x>0）的图像上的不同两点,则类似地有　　　　成立. 

【解析】因为线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方,所以有

【答案】

4.观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?

【解析】设f（n）为n个点可连的弦的条数,则f

（2）=1=,f（3）=3=,f（4）=6=,f（5）=10=,…,故f（n）=.

归纳推理的应用

已知函数f（x）=,设f1（x）=f（x）,fn（x）=fn-1[fn-1（x）]（n>1,n∈N+）,则f3（x）的表达式为　　　　,猜想fn（x）（n∈N+）的表达式为　　　　　　. 

【方法指导】写出f1（x）,f2（x）,f3（x）,观察fn（x）的特点,从而归纳出fn（x）.

【解析】由f1（x）=f（x）得f2（x）=f1[f1（x）]==,f3（x）=f2[f2（x）]==,…,由此猜想fn（x）=（n∈N+）.

【答案】f3（x）=　fn（x）=（n∈N+）

【小结】归纳推理的一般步骤:

（1）经过观察个别情况发现某些相同的性质;

（2）从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一般性命题.

利用类比推理猜想结论

在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n<19,n∈N+）成立,类比上述性质,相应地:

在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式　　　　　　　成立. 

【方法指导】寻找类比对象,理解等差数列性质,结合等比数列性质给出结论.

【解析】等差数列

用减法定义

性质用加法表述（若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq）;

等比数列

用除法定义

性质用乘法表述（若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq）.

由此,猜测本题的答案为b1b2…bn=b1b2…b17-n（n<17,n∈N+）.

【答案】b1b2…bn=b1b2…b17-n（n<17,n∈N+）

【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象,理解类比前问题成立的条件也是个关键.

通过类比方法解题

通过计算可得下列等式:

22-12=2×1+1

32-22=2×2+1

42-32=2×3+1

……

（n+1）2-n2=2×n+1

将以上各式分别相加得:

（n+1）2-12=2×（1+2+3+…+n）+n,

即1+2+3+…+n=.

类比上述求法,请你求出12+22+32+…+n2的值.

【方法指导】利用提示的思路求得（n+1）3-n3=3×n2+3×n+1,再叠加即可.

【解析】23-13=3×12+3×1+1

33-23=3×22+3×2+1

43-33=3×32+3×3+1

……

（n+1）3-n3=3×n2+3×n+1

将以上各式分别相加得:

（n+1）3-13=3×（12+22+32+…+n2）+3×（1+2+3+…+n）+n,

所以12+22+32+…+n2=[（n+1）3-1-n-3··n]=n（n+1）（2n+1）.

【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理,其关键就是注重本质的推导方式,通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.

（1）设函数f（x）=（x>0）,观察:

f1（x）=f（x）=,

f2（x）=f（f1（x））=,

f3（x）=f（f2（x））=,

f4（x）=f（f3（x））=,

……

根据以上事实,由归纳推理可得:

当n∈N+且n≥2时,fn（x）=f（fn-1（x））=　　　　. 

（2）观察下列等式:

13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为　. 

【解析】

（1）观察给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2,4,8,16,…,这样fn（x）对应的函数的分母的常数为2n,x的系数比常数少1即为2n-1,因此fn（x）=f（fn-1（x））=.

（2）由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+…+（i+1）的平方,所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.

【答案】

（1）　

（2）13+23+33+43+53+63=212

下列是用类比法进行猜测的几个结论:

①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“a>b⇒ac>bc”;

②由“a（b+c）=ab+ac”类比得到“sin（A+B）=sinA+sinB”;

③由“=（a>0,b>0,c>0）”类比得到“=（a>0,b>0,c>0）”;

④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.

其中,正确结论的个数为（　　）.

A.0　　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3

【解析】当c≤0时,①类比的结论不正确;②类比的结论是学生刚学习三角时经常出现的错误;③类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误,即类比推理的结论不一定正确;④类比的结论是正确的.

【答案】B

在平面上,若两个正三角形的边长之比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,求它们的体积之比.

【解析】由类比推理得,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.

下面计算验证,

假设两个正四面体的棱长分别为1和2,

如图,正四面体ABCD的棱长为1,取BC的中点E,作AO⊥ED于O,

则OD=ED=×=,

又在Rt△AOD中,AO===,

则V正四面体ABCD=S△BCD·AO=××=.

同理,可算得棱长为2的正四面体的体积V正四面体A'B'C'D'=2.

∴V正四面体ABCD∶V正四面体A'B'C'D'=∶=1∶8.

1.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于（　　）.

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1111

1234×9+5=11111

12345×9+6=111111

A.1111110　　　　　　B.1111111

C.1111112D.1111113

【答案】B

2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:

正四面体的内切球切于四面体（　　）.

A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点

C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点

【解析】正四面体的四个面都是正三角形,其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.

【答案】C

3.在数列{an}中,a1=2,an+1=（n∈N+）,可以猜测数列的通项an的表达式为　　　　. 

【答案】an=（n∈N+）

4.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.

【解析】在△DEF中,由正弦定理得==,于是类比三角形中的正弦定理,在四面体S-ABC中,猜想:

==.

　　（2013年·陕西卷）观察下列等式:

12=1

12-22=-3

12-22+32=6

12-22+32-42=-10

……

照此规律,第n个等式可为　　　　. 

【解析】设等式右边的数的绝对值构成数列{an},

∵a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1