高中数学北师大版选修12精品学案第三章 推理与证明 第4课时 反证法.docx

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高中数学北师大版选修12精品学案第三章推理与证明第4课时反证法

第4课时　反　证　法

1.理解反证法的概念.

2.了解反证法的思考过程与特点,掌握反证法证明问题的步骤.

3.理解反证法与命题的否定之间的关系.

重点:

理解反证法的概念、反证法的特点,把握住什么类型的试题适合用反证法证明.

难点:

如何假设问题的反面,如何在证明过程中导出矛盾.

生活中的反证法:

妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆.有一次,我和爸爸在看电视,妹妹和妈妈在厨房洗碗.突然,有盘子打碎了,当时一片寂静.我说一定是妈妈打破的.为什么呢?

问题1:

如何证明上述结论呢?

证明:

假如　不是妈妈打破的　,妈妈一定会大骂,当时是没有.所以结论是妈妈打破了盘子. 

问题2:

反证法的意义及用反证法证明命题的基本步骤

假设命题结论的　反面　成立,经过正确的推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫反证法. 

用反证法证明问题的基本步骤:

（1）假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;

（2）从这个　假设出发　,经过推理论证,得出　矛盾　; 

（3）从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.

问题3:

反证法得出的矛盾的主要类型

（1）与已知条件矛盾,

（2）与已有公理、定理、定义矛盾,

（3）自相矛盾.

问题4:

适合用反证法证明的试题类型

（1）直接证明困难,

（2）需分成很多类进行讨论,

（3）结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题,

（4）结论为“唯一”类命题.

反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:

是/不是;存在/不存在;有限/无限;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大（小）于/不大（小）于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有（n-1）个;至多有一个/至少有两个.

1.否定结论“方程至多有两个解”的说法中,正确的是（　　）.

A.有一个解　　　　　　B.有两个解

C.至少有三个解D.至少有两个解

【答案】C

2.用反证法证明命题“如果a>b,那么>”时,假设的内容应是（　　）.

A.=　　　　　　　B.<

C.=且

【解析】否定结论>,可得≤,即=或<.

【答案】D

3.已知a、b、c成等差数列且公差d≠0,那么、、　　　成等差数列.（填“能”或者“不能”） 

【解析】∵a、b、c成等差数列,∴2b=a+c,

假设、、成等差数列,则=+,

∴（a+c）2=4ac,∴（a-c）2=0,∴a=c,从而d=0,与d≠0矛盾,

∴、、不可能成等差数列.

【答案】不能

4.已知函数f（x）=ax+（a>1）,用反证法证明:

f（x）=0没有负实根.

【解析】假设存在x0<0（x0≠-1）,满足f（x0）=0,

则=-.

又0<<1,所以0<-<1,即

与假设x0<0（x0≠-1）矛盾,

故f（x）=0没有负实根.

用反证法证明否定性命题

设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明:

数列{cn}不是等比数列.

【方法指导】证明数列{cn}不是等比数列,这种否定性命题不容易从正面入手,可用反证法.先假设数列{cn}是等比数列,再利用等比数列的性质来找矛盾.

【解析】假设数列{cn}是等比数列,则（an+bn）2=（an-1+bn-1）（an+1+bn+1）,①

因为{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以=an-1an+1,=bn-1bn+1,

代入①并整理得:

2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn（+）,即2=+,②

当p,q异号时,+<0,与②相矛盾;当p,q同号时,由于p≠q,所以+>2,与②相矛盾.

故数列{cn}不是等比数列.

【小结】利用反证法证明本题的关键是假设数列{cn}是等比数列后,根据等比数列的性质找到矛盾.题目利用了等比中项找到{an},{bn}的公比满足的条件2=+,结合不等式的知识可知此式不成立,从而得到矛盾.

用反证法证明唯一性命题

求证:

方程5x=12的解是唯一的.

【方法指导】证明唯一性,正面不容易入手,可考虑用反证法,从问题的反面入手.

【解析】由对数的定义易得x1=log512是这个方程的一个解.

假设这个方程的解不是唯一的,它还有解x=x2（x1≠x2）,则=12.

因为=12,则=1,即=1.①

由假设得x2-x1≠0,

当x2-x1>0时,有>1;②

当x2-x1<0时,有<1.③

显然②③与①都矛盾,这说明假设不成立,所以原方程的解是唯一的.

【小结】有关唯一性命题的证明问题,可考虑用反证法.“唯一”就是“有且只有一个”,其反面是“至少有两个”.

用反证法证明至多、至少等形式的命题

实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:

a,b,c,d中至少有一个负数.

【方法指导】结论含有的“至少”提示我们可用反证法,注意“至少有一个”的反面是“一个也没有”.

【解析】假设a,b,c,d都是非负数,则1=（a+b）（c+d）=（ac+bd）+（ad+bc）≥ac+bd,

这与已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d至少有一个负数.

【小结】解决本题的关键是假设a,b,c,d都是非负数后,通过怎样的途径来找矛盾.本题给出了两个条件“a+b=c+d=1,ac+bd>1”,显然应将这两个条件联系起来,这样很自然地想到利用（a+b）（c+d）=（ac+bd）+（ad+bc）建立两个已知的关系,从而为找矛盾奠定基础.

已知a,b,c∈（0,1）,求证:

（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a不能同时大于.

【解析】假设三式同时大于,

即（1-a）b>,（1-b）c>,（1-c）a>,

∵a,b,c∈（0,1）,

∴三式同向相乘得（1-a）b（1-b）c（1-c）a>,

又（1-a）a≤（）2=,

同理,（1-b）b≤,（1-c）c≤,

∴（1-a）b（1-b）c（1-c）a≤,这与假设矛盾,故原命题得证.

已知a与b是异面直线.求证:

过a且平行于b的平面只有一个.

【解析】如图,假设过直线a且平行于直线b的平面有两个,分别为平面α和β.在直线a上取点A,过b和A确定一个平面γ,且γ与α、β分别交于过点A的直线c、d,由b∥α知b∥c,同理b∥d,故c∥d,这与c,d相交于点A矛盾,故假设不成立,所以原结论成立.

若a、b、c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:

a、b、c中至少有一个大于0.

【解析】假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,

所以a+b+c≤0,

而a+b+c

=（x2-2y+）+（y2-2z+）+（z2-2x+）

=（x2-2x）+（y2-2y）+（z2-2z）+π

=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3≥π-3>0.

这与a+b+c≤0矛盾,故a、b、c中至少有一个大于0.

1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（　　）.

①结论相反的判断即假设;

②原命题的条件;

③公理、定理、定义等;

④原结论.

A.①②　　　　　　　　B.①②④

C.①②③D.②③

【解析】反证法是从对原命题结论的否定开始的,故结论相反的判断即假设可作为条件使用,从而原结论不可作为条件应用.同时原命题的条件未改变,也可作为条件来使用,还有一些公理、定理、定义等也可作为条件来使用.

【答案】C

2.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（　　）.

A.有两个内角是钝角

B.有三个内角是钝角

C.至少有两个内角是钝角

D.没有一个内角是钝角

【答案】C

3.在用反证法证明命题“若x>0,y>0且x+y>2,则和中至少有一个小于2”时,假设为“　　　　　　　　”. 

【答案】和都不小于2

4.用反证法证明:

如果x>,那么x2+2x-1≠0.

【解析】假设x2+2x-1=0,则x=-1±.

容易看出-1-<,下面证明-1+<.

要证-1+<,只需证<,

只需证2<,

上式显然成立,故有-1+<.

综上,x=-1±<.而这与已知条件x>相矛盾,

因此假设不成立,即原命题成立.

　　（2013年·陕西卷）设{an}是公比为q的等比数列,

（1）推导{an}的前n项和公式;

（2）设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.

【解析】

（1）设{an}的前n项和为Sn,

当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;

当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②

①-②得（1-q）Sn=a1-a1qn,

∴Sn=,∴Sn=

（2）假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N+,

（ak+1+1）2=（ak+1）（ak+2+1）,

即+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,

q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,

∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1,

∵q≠0,∴q2-2q+1=0,

∴q=1,这与已知矛盾,

∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.

1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是（　　）.

A.假设三内角都不大于60°

B.假设三内角都大于60°

C.假设三内角至多有一个大于60°

D.假设三内角至多有两个大于60°

【解析】“至少有一个不大于60°”的否定是“都大于60°”.故应选B.

【答案】B

2.设a,b,c∈（-∞,0）,则a+,b+,c+（　　）.

A.都不大于-2

B.都不小于-2

C.至少有一个不大于-2

D.至少有一个不小于-2

【解析】a++b++c+≤-6,三者不能都小于-2.

【答案】D

3.已知p3+q3=2,求证:

p+q≤2,用反证法证明时,假设　　　　. 

【答案】p+q>2

4.已知a是整数,a2是偶数,求证:

a也是偶数.

【解析】假设a不是偶数,即a是奇数.

设a=2n+1（n∈Z）,则a2=4n2+4n+1.

∵4（n2+n）是偶数,

∴4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾.

由上述矛盾可知,a一定是偶数.

5.用反证法证明命题:

若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是（　　）.

A.假设a,b,c都是偶数

B.假设a,b,c都不是偶数

C.假设a,b,c至多有一个是偶数

D.假设a,b,c至多有两个是偶数

【答案】B

6.若a2+b2=c2,则a,b,c（　　）.

A.都是偶数

B.不可能都是偶数

C.都是奇数

D.不可能都是奇数

【解析】假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,得a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2,与a2+b2=c2矛盾,所以假设不成立,则a,b,c不可能都是奇数.

【答案】D

7.完成反证法证题的全过程.

设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列.求证:

乘积p=（a1-1）（a2-2）…（a7-7）为偶数.

证明:

假设p为奇数,则　　　　　　　　均为奇数.　① 

因奇数个奇数之和为奇数,故有

奇数=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 

=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③ 

=0.

但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数.

【答案】①a1-1,a2-2,…,a7-7

②（a1-1）+（a2-2）+…+（a7-7）

③（a1+a2+…+a7）-（1+2+…+7）

8.已知f（x）=x2+px+q,求证:

（1）f

（1）+f（3）-2f

（2）=2,

（2）|f

（1）|,|f

（2）|,|f（3）|中至少有一个不小于.

【解析】

（1）∵f（x）=x2+px+q,

∴f

（1）=1+p+q,f

（2）=4+2p+q,f（3）=9+3p+q,

f

（1）+f（3）-2f

（2）=（1+p+q）+（9+3p+q）-2（4+2p+q）=2.

（2）假设|f

（1）|,|f

（2）|,|f（3）|都小于,则

|f

（1）|<,|f

（2）|<,|f（3）|<,

即有-

（1）<,-

（2）<,-

∴-2

（1）+f（3）-2f

（2）<2,

由

（1）可知f

（1）+f（3）-2f

（2）=2,与-2

（1）+f（3）-2f

（2）<2矛盾,

∴假设不成立,即原命题成立.

9.若两平行直线a,b之一与平面α相交,则另一条与平面α的关系为　　　　. 

【解析】不妨设直线a与平面α相交,b与a平行,下证b也与平面α相交.

假设b不与平面α相交,则必有以下两种情况:

（1）b在平面α内,由a∥b,则a∥平面α,与题设矛盾;

（2）b∥平面α,则平面α内有直线b',使b∥b',又a∥b,故a∥b',故a∥平面α,与题设矛盾.

综上所述,b与平面α相交.

【答案】相交

10.已知函数f（x）=,如果数列{an}满足a1=4,an+1=f（an）,求证:

当n≥2时,恒有an<3成立.

【解析】假设an≥3（n≥2）.

则由题知an+1=f（an）=,

∴==·（1+）≤（1+）=<1,即an+1

有an

这与假设矛盾,故假设不成立,∴an<3.