电大专科高等数学考试复习资料.docx
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电大专科高等数学考试复习资料
2016年电大专科高等数学考试复习资料
1、求函数的定义域：
1）含有平方根的：
被开方数≥0，2）含分式的：
分母≠0
含对数的：
真数＞0
9x2
例：
1.函数y的定义域是ln（x1）
9x203x3x10x11x3且x2ln（x1）0x2
2、函数的对应规律
例：
设fx1x3x4,求fx2
解：
由于f
中的表达式是x+1，可将等式右端表示为x+1的形式222f（x1）（x1）x3（x1）（x1）2f（x）xx2
222或：
令x1txt1则f（t）（t1）3（t1）4tt2f（x）xx2
3、判断两个函数是否相同：
定义域相同及对应规律相同
例：
1、下列各函数对中，（B）中的两个函数相同
x21,yx1A
、y,yxB、yx12
C、ylnx,y2lnxD、ysinxcosx,y1
4、判断函数的奇偶性：
若fxfx，则fx为偶函数；若fxfx，则fx为奇函数，
也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数奇函数、奇函数偶函
数仍为奇函数；偶函数偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
例：
下列函数中，（A）是偶函数
A．fxxsinxB．fxx133222
C．fxaaD．fxxcosxxx3
5、无穷小量：
极限为零的变量。
性质：
无穷小量和有界变量的积仍是无穷小量
例1）:
当x0时，下列变量为无穷小量的是（B）
A、cosxB、ln（1+x）C、x+1D、e
2）limxsinx0x1x
6、函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限存在且相等
limx0x（D）x
A、1B、—1C、1D、不存在
1）约去零因子后再计算0sinx7、极限的计算：
对于“”形2）利用重要极限lin10x0x
例1）linx0x11x11linlinx0xx（x11）x0x112
2）limx1sin（x1）sin（x1）1sin（x1）11sin（x1）1limlim1=lim44x22x3x1（x3）（x1）x1（x3）（x1）lim（x3）x1（x1）x1
yf（x）在点x0处的切线的斜率；8、导数的几何意义：
f（x0）表示曲线
yy0f（x0）（xx0）曲线yf（x）在点（x0,y0）处的切线方程
例：
曲线f（x）
解：
f
（1）x1在（1,2）处的切线斜率是．=11,故切线方程为：
y2（x1）22xx12
219、导数的计算：
复合函数求导原则：
由外向内，犹如剥笋，层层求导例1）设ylnsinx，求y．解：
y12cosx2x2sinx
2例2
）设yex，求dy
解
;dy（2xex）dx2
10、判断函数的单调性：
y0:
函数单调递增，满足关系式的区间为单调递增的区间。
y0:
函数单调递减，满足关系式的区间为单调递减的区间。
例：
.函数y（x1）1的单调减少区间是
y2（x1）0x1故单调减少区间是（，1）
11、应用题的解题步骤：
1）根据题意建立函数关系式，2）求出驻点（一阶导数=0的点），3）根据题意直接回答
例1）求曲线y2x上的点，使其到点A（2,0）的距离最短．
解：
曲线y2x上的点到点A（2,0）的距离公式为222
d（x2）2y2
d与d2在同一点取到最小值，为计算方便求d2的最小值点，将y22x代入得
d2（x2）22x
令
（d2）2（x2）2
222令（d）0得x1．可以验证x1是d的最小值点，并由此解出y2，即曲线y2x上的点（1,2）和点
（1,2）到点A（2,0）的距离最短．
2）某制罐厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：
设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为
Sπr22πrh
因为
πr2hVh
所以Vπr2
Sπr22Vr
2VS2πr2r
3由S0，得唯一驻点r最省．
12、不定积分与原函数的关系:
VVV，此时h，由实际问题可知，当底半径r和高h时可使用料ππππ
设Fxfx，则称函数Fx是fx的原函数.,f（x）dxF（x）c
1，则fx（B）x
211A、lnxB、3C、D、2xxx
121解：
f（x）2f（x）3xxx例1）若fx的一个原函数为
2）已知xfxdxsinxc，则fx（答案：
C）
sinxcosxB.xsinxC.D.xcosxxx
cosx解：
xf（x）（sinx）cosxf（x）x
13、性质：
fxdxfx,fxdxfxcA.
例1）d23xf（x）dx（B）．dx
323A.f（x）B.xf（x）C.
例2）（tanx）dx11f（x）D.f（x3）33
14、不定积分的计算：
1）凑微分；2）分部积分1）常用凑微分：
dx
11111d（axb）,xdxd（x1）
（1）,dxd（lnx）,2dxd（）,a1xxx1
xdx2d（x）,exdxd（ex）,cosxdxd（sinx）,sinxdxd（cosx）
例1）若f（x）dxF（x）c，则1
xf（x）dx（B）．
1
xA.F（x）cB.2F（x）cC.F（2x）cD.F（x）c解：
1
xf（x）dx2f（x）d（x）2F（x）c
ex2dx．111x例2）计算1xe1解：
2dxexd（）excxx
sinlnxdx．例3）计算x
sinlnxsin（lnx）d（lnx）cos（lnx）c解;x
nxxedx
2）分部积分的常见类型：
xsinxdx把edx、sinxdx、cosxdx凑成dv的形式。
nxnxcosxdx
nnxlnxdx把xdx凑成dv的形式，再根据分部积分公式udvuvvdu计算
x例1）计算xedx
xxxxxxx解：
xedxxed（x）xd（e）[xeedx]xeec
例2）计算不定积分xcos3xdx
11111xcos3xd（3x）xd（sin3x）[xsin3xsin3xdx][xsin3xcos3x]c33333
（x1）1xxln（x1）例3）计算ln（x1）dxxln（x1）xdln（x1）xln（x1）x1x1
1）dxxln（x1）xlnxc=xln（x1）（1x1解：
xcos3xdx
15、定积分的牛顿莱布尼兹公式：
设F（x）是f（x）的一个原函数，则b
af（x）dxF（x）bF（b）F（a）a
例：
若Fx是fx的一个原函数，则下列等式成立的是（B）
fxdxFxFa
C.FxdxfbfaD.fxdxFbFaA.abxfxdxFxB.xab
aa
16、奇偶函数在对称区间上的积分：
若fx是奇函数，则有a
afxdx0
若fx是偶函数，则有
例1）：
aafxdx2fxdx2fxdx0aa01x
1x212x为奇函数，所以分析：
x2121x1x2120
例2）1
1分析：
x为偶函数故：
1
12xdxx2|10101
17、定积分的计算：
1）凑微分，2）分部积分；
定积分的凑微分和不定积分的计算相同。
例1）计算2
1edx2x1x
解：
利用凑微分法，
1
x11dxd，得x2x
2
1112e12xedex|1e21xx
例2）
计算定积分21
2d2
1，得212122|2e
定积分的分部积分与不定积分的计算基本相同：
定积分的分部积分公式：
1bbudvuvvduaaab例1）计算
12x0xe2xdx1112x1111212x12x2x12x解：
xedxxed（2x）xd（e）[xeedx][ee]00002020222
1212112=[ee]（13e）2224
elnx例2）计算1x2
elnxeee11111e2解：
lnxd（）[lnx2][]11111xxxxex1e
例3）计算
20xcos2xdx
解：
2
011111xcos2x2xcos2xd（2x）2xd（sin2x）[xsin2x22sin2xdx]cos2x2020*******
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