中考数学专题复习 一 列方程解应用题.docx

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中考数学专题复习一列方程解应用题

2018中考数学专题复习

（一）列方程或不等式解应用题

一、自主学习、要点梳理

1．列方程（组）解应用题的一般步骤

（1）__审题__；

（2）__设元__；

（3）找出包含未知数的__等量关系__；

（4）__列出方程（组）__；

（5）__求出方程（组）的解__；

（6）__检验并作答__．

2．各类应用题的等量关系

（1）行程问题：

路程＝速度×时间；

相遇问题：

两者路程之和＝全程；

追及问题：

快者路程＝慢者先走路程（或相距路程）＋慢者后走路程．

顺水速=静水速+水速　　逆水速=静水速－水速

（2）工程问题：

工作量＝工作效率×工作时间．

（3）几何图形问题：

面积问题：

S长方形＝ab（a，b分别表示长和宽）；

S正方形＝a2（a表示边长）；

S圆＝πr2（r表示圆的半径）；

体积问题：

V长方体＝abh（a，b，h分别表示长、宽、高）；

V正方体＝a3（a表示边长）；

V圆锥＝

πr2h（r表示底面圆的半径，h表示高）；

其他几何图形问题：

如线段、周长等．

（4）增长率问题：

如果基数用a表示，末数用b表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系是：

a（1±x）n＝b.

（5）利润问题：

利润＝销售价－进货价利润=进价×利润率利润率＝

；

总利润=单件利润×销量销售额=单价×销量

销售价＝标价×折扣（

）（x表示打x折）；销售价＝进货价×（1＋利润率）

（6）利息问题：

利息＝本金×利率×期数；

本息和＝本金＋利息．

二、分类探究、考点再现

1、根据题目中的关键的语句找相等关系。

例1.（2015哈尔滨）美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品数量是国画作品数量的2倍多7幅，则展出的油画作品有幅。

【小结】好多应用题都有体现数量关系的语句,即“…比…多…”、“…比…少…”、“…是…的几倍”、“…和…共…”等字眼，解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定相等关系

1.（2017•云南）某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．

（1）该商店第一次购进水果多少千克？

（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？

注：

每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．

2.（2017•宁波）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．

（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？

（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？

3.（2017•绥化）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．

（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？

（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？

4.（2017•呼和浩特）某专卖店有A，B两种商品．已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；A，B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？

5.（2017•扬州）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．

6.（2017•淄博）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．

7.（2017•徐州）4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：

根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．

8.（2017•安顺）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．

（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？

9.（2017•辽阳）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．

（1）求A种、B种设备每台各多少万元？

（2）根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？

【参考答案】

1.（2017•云南）某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．

（1）该商店第一次购进水果多少千克？

（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？

注：

每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．

解：

（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，

（

+2）×2x=2400

整理，可得：

2000+4x=2400解得x=100

经检验，x=100是原方程的解

答：

该商店第一次购进水果100千克．

（2）设每千克水果的标价是x元，

则（100+100×2﹣20）×x+20×0.5x≥1000+2400+950

整理，可得：

290x≥435解得x≥15

∴每千克水果的标价至少是15元．

答：

每千克水果的标价至少是15元．

2.（2017•宁波）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．

（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？

（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？

解：

（1）设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有

，解得

．

答：

甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；

（2）设销售甲种商品a万件，依题意有

900a+600（8﹣a）≥5400，解得a≥2．

答：

至少销售甲种商品2万件．

3.（2017•绥化）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．

（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？

（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？

解：

（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，

根据题意，可列方程：

1.5×

=

，解得x=1.5，

经检验x=1.5是原方程的解，且x﹣0.5=1，

答：

甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；

（2）设甲修路a天，则乙需要修（15﹣1.5a）千米，

∴乙需要修路

=15﹣1.5a（天），

由题意可得0.5a+0.4（15﹣1.5a）≤5.2，

解得a≥8，

答：

甲工程队至少修路8天．

4.（2017•呼和浩特）某专卖店有A，B两种商品．已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；A，B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？

解：

设打折前A商品的单价为x元/件、B商品的单价为y元/件，

根据题意得：

，解得：

，

500×16+450×4=9800（元），

=0.8．

答：

打了八折．

5.（2017•扬州）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．

解：

设小芳的速度是x米/分钟，则小明的速度是1.2x米/分钟，根据题意得：

﹣

=6，解得：

x=50，

经检验x=50是原方程的解，

答：

小芳的速度是50米/分钟．

6.（2017•淄博）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．

解：

设汽车原来的平均速度是xkm/h，

根据题意得：

﹣

=2，

解得：

x=70

经检验：

x=70是原方程的解．

答：

汽车原来的平均速度70km/h．

7.（2017•徐州）4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：

根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．

解：

设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，

根据题意得：

，

解得：

．

答：

今年妹妹6岁，哥哥10岁．

8.（2017•安顺）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．

（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？

解：

设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，

=

x=15，

经检验x=15是原方程的解．

∴40﹣x=25．

甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；

（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，

，

解得20≤y＜24．

因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，

∴y取20，21，22，23，

共有4种方案．

9.（2017•辽阳）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．

（1）求A种、B种设备每台各多少万元？

（2）根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？

解：

（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.7）万元，

根据题意得：

=

，

解得：

x=0.5．

经检验，x=0.5是原方程的解，

∴x+0.7=1.2．

答：

每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.2万元．

（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20﹣m）台，

根据题意得：

0.5m+1.2（20﹣m）≤15，

解得：

m≥

．

∵m为整数，

∴m≥13．

答：

A种设备至少要购买13台．

2、根据熟悉的公式找相等关系。

例1：

（2017•菏泽）列方程解应用题：

某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：

每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？

【小结】常见公式：

单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，路程＝速度×时间，工作总量＝工作效率×工作时间，售价＝基本价×打折的百分数，利润＝售价－进价，利润＝进价×利润率，几何形体周长、面积和体积公式，都是解答相关方程应用题的工具。

售价－进价＝进价×利润率

【中考真题训练】

1.（2017•南宁）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：

本）．该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．

（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；

（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人．如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？

2.（2017•眉山）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：

生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．

（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；

（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？

3.（2017•铜仁市）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x的函数表达式；

（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？

【参考答案】

例.（2017•菏泽）列方程解应用题：

某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：

每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？

解：

设销售单价为x元，

由题意，得：

（x﹣360）[160+2（480﹣x）]=20000，

整理，得：

x2﹣920x+211600=0，解得：

x1=x2=460，

答：

这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．

1.（2017•南宁）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：

本）．该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．

（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；

（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人．如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？

解：

（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得

7500（1+x）2=10800，

即（1+x）2=1.44，

解得：

x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）

答：

该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；

（2）10800（1+0.2）=12960（本）

10800÷1350=8（本）

12960÷1440=9（本）

（9﹣8）÷8×100%=12.5%．

故a的值至少是12.5．

2.（2017•眉山）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：

生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．

（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；

（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？

解：

（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）．

答：

此批次蛋糕属第三档次产品．

（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，

根据题意得：

（2x+8）×（76+4﹣4x）=1080，

整理得：

x2﹣16x+55=0，

解得：

x1=5，x2=11（不合题意，舍去）．

答：

该烘焙店生产的是五档次的产品．

3.（2017•铜仁市）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x的函数表达式；

（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？

解：

（1）当0＜x＜20时，y=60；

当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为y=kx+b，

把（20，60），（80，0）代入，可得

，

解得

，

∴y=﹣x+80，

∴y与x的函数表达式为y=

；

（2）若销售利润达到800元，则

（x﹣20）（﹣x+80）=800，

解得x1=40，x2=60，

∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元．

3、根据总量等于各分量的和找相等关系。

例1：

希腊数学家丢番图，他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。

再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。

五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。

晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。

请你算一算，丢番图活到多大和死神见面？

”

【小结】根据总量等于各分量之和来列出方程，用此法要注意分量不可有所遗漏。

【中考真题训练】

1.（2017•益阳）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．

（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？

（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：

“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？

2.（2017•锦州）某电子超市销售甲、乙两种型号的蓝牙音箱，每台进价分别为240元，140元，下表是近两周的销售情况：

销售时段

销售数量

销售收入

甲种型号

乙种型号

第一周

3台

7台

2160元

第二周

5台

14台

4020元

（1）求甲、乙两种型号蓝牙音箱的销售单价；

（2）若超市准备用不多于6000元的资金再采购这两种型号的蓝牙音箱共30台，求甲种型号的蓝牙音箱最多能采购多少台．

3.（2017•贺州）政府为了美化人民公园，计划对公园某区域进行改造，这项工程先由甲工程队施工10天完成了工程的

，为了加快工程进度，乙工程队也加入施工，甲、乙两个工程队合作10天完成了剩余的工程，求乙工程队单独完成这项工程需要几天．

4.（2017•山西）“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子（去皮后则称为“小米”），被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一．2016年全国谷子种植面积为2000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg，请解答下列问题：

（1）求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩．

（2）2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？

5.（2017•泰安）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．

（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？

销售完后，该水果商共赚了多少元钱？

（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？

6.（2017•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：

“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：

“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？

”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．

（2017•海南）在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米，3辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土36立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米．

7.（2017•广东）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？

8.（2017•邵阳）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．

（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；

（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案．在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．

9.（2017•铁岭）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作2h，乙机器人工作4h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作3h，乙机器人工作2h，一共可以分拣650件包裹．

（1）求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹；

（2）“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，要让甲、乙两机器人每天分拣包裹的总数量不低于2250件，它们每天至少要一起工作多少小时？

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