matlab符号微积分微分方程.docx
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matlab符号微积分微分方程
符号极限、微积分和符号方程的求解
1.语法：
sym（‘表达式’）%创建符号表达式
f1=sym（'a*x^2+b*x+c'）
f1=
a*x^2+b*x+c
2.使用syms命令创建符号变量和符号表达式
语法：
symsarg1arg2…,参数 %把字符变量定义为符号变量的简洁形式
symsabcx%创建多个符号变量
f2=a*x^2+b*x+c%创建符号表达式
3.4.1符号极限
假定符号表达式的极限存在，SymbolicMathToolbox提供了直接求表达式极限的函数limit，函数limit的基本用法如表3.2所示。
表3.2limit函数的用法
表达式
函数格式
说明
limt（f）
对x求趋近于0的极限
limt（f,x,a）
对x求趋近于a的极限，当左右极限不相等时极限不存在。
limt（f,x,a,left）
对x求左趋近于a的极限
limt（f,x,a,right）
对x求右趋近于a的极限
【例3.14】分别求1/x在0处从两边趋近、从左边趋近和从右边趋近的三个极限值。
f=sym（'1/x'）
limit（f,'x',0）%对x求趋近于0的极限
ans=
NaN
limit（f,'x',0,'left'）%左趋近于0
ans=
-inf
limit（f,'x',0,'right'）%右趋近于0
ans=
inf
程序分析：
当左右极限不相等，表达式的极限不存在为NaN。
3.4.2符号微分
函数diff是用来求符号表达式的微分。
语法：
diff（f）%求f对自由变量的一阶微分
diff（f,t）%求f对符号变量t的一阶微分
diff（f,n）%求f对自由变量的n阶微分
diff（f,t,n）%求f对符号变量t的n阶微分
【例3.15】已知f（x）＝ax2+bx+c，求f（x）的微分。
f=sym（'a*x^2+b*x+c'）
f=
a*x^2+b*x+c
diff（f）%对默认自由变量x求一阶微分
ans=
2*a*x+b
diff（f,'a'）%对符号变量a求一阶微分
ans=
x^2
diff（f,'x',2）%对符号变量x求二阶微分
ans=
2*a
diff（f,3）%对默认自由变量x求三阶微分
ans=
0
微分函数diff也可以用于符号矩阵，其结果是对矩阵的每一个元素进行微分运算。
【例3.15续】对符号矩阵
求微分。
symstx
g=[2*xt^2;t*sin（x）exp（x）]%创建符号矩阵
g=
[2*x,t^2]
[t*sin（x）,exp（x）]
diff（g）%对默认自由变量x求一阶微分
ans=
[2,0]
[t*cos（x）,exp（x）]
diff（g,'t'）%对符号变量t求一阶微分
ans=
[0,2*t]
[sin（x）,0]
diff（g,2）%对默认自由变量x求二阶微分
ans=
[0,0]
[-t*sin（x）,exp（x）]
diff还可以用于对数组中的元素进行逐项求差值。
【例3.15续】可以使用diff计算向量间元素的差值。
x1=0:
0.5:
2;
y1=sin（x1）
y1=
00.47940.84150.99750.9093
diff（y1）%计算元素差
ans=
0.47940.36200.1560-0.0882
程序分析：
计算出的差值比原来的向量少一列。
3.4.3符号积分
积分有定积分和不定积分，运用函数int可以求得符号表达式的积分。
语法：
int（f,’t’）%求符号变量t的不定积分
int（f,’t’,a,b）%求符号变量t的积分
int（f,’t’,’m’,’n’）%求符号变量t的积分
说明：
t为符号变量，当t省略则为默认自由变量；a和b为数值，[a,b]为积分区间；m和n为符号对象，[m,n]为积分区间；与符号微分相比，符号积分复杂得多。
因为函数的积分有时可能不存在，即使存在，也可能限于很多条件，MATLAB无法顺利得出。
当MATLAB不能找到积分时，它将给出警告提示并返回该函数的原表达式。
【例3.16】求积分
和
。
f=sym（'cos（x）'）;
int（f）%求不定积分
ans=
sin（x）
int（f,0,pi/3）%求定积分
ans=
1/2*3^（1/2）
int（f,'a','b'）%求定积分
ans=
sin（b）-sin（a）
int（int（f））%求多重积分
ans=
-cos（x）
diff和int命令，也可以直接对字符串f进行运算：
f='cos（x）';
【例3.16续】求符号矩阵
的积分。
symstx
g=[2*xt^2;t*sin（x）exp（x）]%创建符号矩阵
g=
[2*x,t^2]
[t*sin（x）,exp（x）]
int（g）%对x求不定积分
ans=
[x^2,t^2*x]
[-t*cos（x）,exp（x）]
int（g,'t'）%对t求不定积分
ans=
[2*x*t,1/3*t^3]
[1/2*t^2*sin（x）,exp（x）*t]
int（g,sym（'a'）,sym（'b'））%对x求定积分
ans=
[b^2-a^2,t^2*（b-a）]
[-t*cos（b）+t*cos（a）,exp（b）-exp（a）]
3.4.4符号级数
1.symsum函数
语法：
symsum（s,x,a,b）%计算表达式s的级数和
说明：
x为自变量，x省略则默认为对自由变量求和；s为符号表达式；[a,b]为参数x的取值范围。
【例3.17】求级数
和1+x+x2+…+xk+…的和。
symsxk
s1=symsum（1/k^2,1,10）%计算级数的前10项和
s1=
1968329/1270080
s2=symsum（1/k^2,1,inf）%计算级数和
s2=
1/6*pi^2
s3=symsum（x^k,'k',0,inf）%计算对k为自变量的级数和
s3=
-1/（x-1）
2.taylor函数
语法：
taylor（F,x,n）%求泰勒级数展开
说明：
x为自变量，F为符号表达式；对F进行泰勒级数展开至n项，参数n省略则默认展开前5项。
【例3.17续】求ex的泰勒展开式为：
。
symsx
s1=taylor（exp（x）,8）%展开前8项
s1=
1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^5+1/720*x^6+1/5040*x^7
s2=taylor（exp（x））%默认展开前5项
s2=
1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^5
3.6符号方程的求解
3.6.1代数方程
当方程不存在解析解又无其他自由参数时，MATLAB可以用solve命令给出方程的数值解。
语法：
solve（‘eq’,’v’）%求方程关于指定变量的解
solve（‘eq1’,’eq2’,’v1’,’v2’,…）%求方程组关于指定变量的解
说明：
eq可以是含等号的符号表达式的方程，也可以是不含等号的符号表达式，但所指的仍是令eq=0的方程；当参数v省略时，默认为方程中的自由变量；其输出结果为结构数组类型。
【例3.21】求方程ax2+bx+c=0和sinx=0的解。
f1=sym（'a*x^2+b*x+c'）%无等号
f1=
a*x^2+b*x+c
solve（f1）%求方程的解x
ans=
[1/2/a*（-b+（b^2-4*a*c）^（1/2））]
[1/2/a*（-b-（b^2-4*a*c）^（1/2））]
f2=sym（'sin（x）'）
f2=
sin（x）
solve（f2,'x'）
ans=
0
程序分析：
当sinx=0有多个解时，只能得出0附近的有限几个解。
【例3.22】求三元非线性方程组
的解。
eq1=sym（'x^2+2*x+1'）;
eq2=sym（'x+3*z=4'）;
eq3=sym（'y*z=-1'）;
[x,y,z]=solve（eq1,eq2,eq3）%解方程组并赋值给x,y,z
x=
-1
y=
-3/5
z=
5/3
程序分析：
输出结果为“结构对象”，如果最后一句为“S=solve（eq1,eq2,eq3）”，则结果为：
S=
x:
[1x1sym]
y:
[1x1sym]
z:
[1x1sym]
3.6.2符号常微分方程
MATLAB提供了dsolve命令可以用于对符号常微分方程进行求解。
语法：
dsolve（‘eq’,’con’,’v’）%求解微分方程
dsolve（‘eq1,eq2…’,’con1,con2…’,’v1,v2…’）%求解微分方程组
说明：
’eq’为微分方程；’con’是微分初始条件，可省略；’v’为指定自由变量，省略时则默认为x或t为自由变量；输出结果为结构数组类型。
▪当y是因变量时，微分方程’eq’的表述规定为：
y的一阶导数
或
表示为Dy；
y的n阶导数
或
表示为Dny。
▪微分初始条件'con'应写成'y（a）=b，Dy（c）=d'的格式；当初始条件少于微分方程数时，在所得解中将出现任意常数符C1，C2……，解中任意常数符的数目等于所缺少的初始条件数。
【例3.23】求微分方程
，y
（1）=0，y（0）=0的解。
y=dsolve（'x*D2y-3*Dy=x^2','x'）%求微分方程的通解
y=
-1/3*x^3+C1+C2*x^4
y=dsolve（'x*D2y-3*Dy=x^2','y
（1）=0,y（5）=0','x'）%求微分方程的特解
y=
-1/3*x^3+125/468+31/468*x^4
【例3.24】求微分方程组
的解。
[x,y]=dsolve（'Dx=y,Dy=-x'）
x=
cos（t）*C1+sin（t）*C2
y=
-sin（t）*C1+cos（t）*C2
程序分析：
默认的自由变量是t，C1、C2为任意常数，程序也可指定自由变量，结果相同：
[x,y]=dsolve（'Dx=y,Dy=-x','t'）
3.7符号函数的可视化
3.7.1符号函数的绘图命令
1.ezplot和ezplot3命令
ezplot命令是绘制符号表达式的自变量和对应各函数值的二维曲线，ezplot3命令用于绘制三维
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