微积分部分常微分方程.docx
《微积分部分常微分方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分部分常微分方程.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
微积分部分常微分方程
第七部分常微分方程
［填空题］
1微分方程y'l^ytanx-cosx=0的通解为y=（x・C）cosx.
1y
2.过点（一,0）且满足关系式yarcsinx1的曲线方程为
27^7
i
yarcsinx=x
2
3•微分方程xy；3y丄0的通解为y=g•Cf.
x
4•设y1（x）,y2（x）,y3（x）是线性微分方程ya（x）yb（x）y二f（x）的三个特解，且
y2（x）-ydx）=c，则该微分方程的通解为
y3（x）-y1（x）
y二G（y2（x）-屮（x））C2（"（x）-％（x））%（x）.
5.设y^3x2,y^3x2e"是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为y3=x，则该微分方程的通解为y=3•x2•Gx•C2e».
6.设出微分方程y-2y-3y=x•xe*-excos2x的一个特解形式
y*AxBx（CxD）e*ex（Ecos2xFsin2x）.
7•微分方程y"-2y、2y=e的通解为y=e（1•GcosxC2sinx）.
f1、
&微分方程y“_4y=e2x的通解为C2+-x［e2x.
l4丿
9•函数y=5cos2xC2sin2x满足的二阶线性常系数齐次微分方程为y；4y=0.
2xtc
10.若连续函数f（x）满足关系式f（x）f（-）dtln2，则f（X）二eln2.
［选择题］
11•设曲线积分（［f（x）-ex］sinydx-f（x）cosydy与路径无关，其中f（x）具有一阶连续
导数，且f（0）=0,则f（x）等于［］
y（0）=2的特解为[]
注：
根据解的结构，通解为y=Ccos2x，由y（0）=2得C=2•故选项（D）正确.
其他选项经验证不满足方程或定解条件
13.设函数yi（x）,y2（x）是微分方程
-p（x）y=0的两个不同特解，则该方程的通解为
方程的一个非零特解.根据解的结构，其通解为y=C（y2-yj，即选项（D）正确.另：
根据
通解定义，选项（A）中有两个任意常数，故其不对•当y2三0时，选项（B）不对.当y2二-
时，选项（C）不对.
14.已知函数y=y（x）在任意点x处的增量y^-xroCx）,丫⑼"，贝yy
（1）等于
1+x
[]
（A）2二.（B）二.（C）e4.（D）二e4.
注：
根据微分定义及微分与导数的关系得、二——yy，解得Iny二arctanx•C，由
1+x
y（0）=二，得C=ln二，所以y
（1）=恵earctan1h^e4.因此选项（D）正确.
15•设函数y=f（x）是微分方程y”_2y：
4y=0的一个解•若f（xj.0,f（xj=0,则函数f（x）在点x0[]
（A）取到极大值•（B）取到极小值•
（C）某个邻域内单调增加•（D）某个邻域内单调减少•
答A
注：
因为f（x0）=0，f"（x0）--4f（x0）：
：
：
0，所以选项（A）正确•
16・设y2是二阶常系数线性齐次方程y”•py'qy=0的两个特解，C1,C2是两个任
意常数，则下列命题中正确的是[]
（A）C1y1C2y2一定是微分方程的通解•
（B）C1y1C2y2不可能是微分方程的通解•
（C）C1y1C2y2是微分方程的解•
（D）C1y1C2y2不是微分方程的解.
答C
注：
根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误•当y2线性相关时，选项（A）
错误，当％,y2线性无关时，选项（B）错误•
17・微分方程讨_讨1的一个特解应具有形式[]
（A）aexb•（B）axexb•
（C）aexbx•（D）axexbx•
注：
相应齐次方程的特征根为1,-1，所以y_丫=e的一个特解形式为axex,
y-y=1的一个特解形式为b.根据叠加原理，原方程的一个特解形式为axexb，即选
项（B）正确.其他选项经检验不满足方程.
18.具有特解y1二e=y2=2xe：
y3=3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是[]
（A）y'；；：
-y"：
-yy=0.（B）y"y“一y_y=0.
（C）y“_6y®：
；'11y'：
_6y=0.（D）y‘y2y"」y2y=0.
答B
注：
根据题意，1,-1是特征方程的两个根，且-1是重根，所以特征方程为
（■"）（••1）2血3•'2-■-1=0.故所求微分方程为yy-y-^0，即选项（B）正确.
19.设Y1=ex,x是三阶线性常系数齐次微分方程厂•ay；by：
cy=0的两个特
解，贝Ua,b,c的值为[]
（A）a=1,b=-1,c=0•（B）a=1,b=1,c=0.
（C）a--1,b=0,c=0.（D）a=1,b=0,c=0.
答C
注：
根据题意，1,0是特征方程的两个根，且0是重根，所以特征方程为
（扎一1）九2=A?
-扎2=0.故原微分方程应为y""-y"=0,所以a=—1,b=0,c=0即选项（C）正确.
20.设二阶线性常系数齐次微分方程y”•by：
y=0的每一个解y（x）都在区间（0「：
）上
有界，则实数b的取值范围是[]
（A）b_0.（B）b乞0.（C）b乞4.（D）b_4.
答A
bb2Yb-b2Y
xx
注：
因为当b=一2时，y（x）二®e2C2e2，所以，当b-40
时，要想使y（x）在区间（0,•：
：
）上有界，只需要b+Jb?
_4^0,b—Jb?
_4兰0，即b>2.当b2-4...0时，要想使y（x）在区间（0,=）上有界，只需要b•：
b2-4与b一，b2一4的实部大于等于零，即0乞b:
：
:
2.当b=2时，C2x^x在区间（0,•：
：
）上有界•当b=~2时，y（x）=C^exC2xex（C2•C：
=0）在区间（0「：
）上无界.综上所述，当
且仅当b_0时，方程y：
by「y=0的每一个解y（x）都在区间（0,•：
：
）上有界，即选项（A）
［解答题］
21.求微分方程x.1y2y^,1x^0的通解.
此方程是一个变量分离方程，其通解为
y21x2二C（C2）.
得其通解为
C
Iny=In，即
x
令y二C■凶，代入原方程，得
x
sinx
xC（x）-C（x）.C（x）
：
2~
x
解得
C（x）二-cosxC.
所以原方程的通解为
1
y=（-cosxC）.
x
注：
本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得
sinx1dx1dx1
y=（exdxdxc）首严=（-cosxc）.
xx
23.求解微分方程xdy-ydx=y2eydy.
解：
将y看成自变量,
x看成是的y函数，则原方程是关于未知函数x二x（y）的一阶线性
微分方程
dxxy
ye，
dyy
此方程通解为
x」y
41
C-Jyeye、ydy=Cy-yey，
）
dy
其中C是任意常数.'
24.求微分方程x2y
-xy=y2满足初始条件y
（1）=1的特解•
解：
将原方程变形，得
这是一个齐次型方程•令y=xu，代入上式，得
xu二u2-2u,
分离变量，得
dudx
2
u-2ux
积分，得
因为y
（1）=1，所以C=-1•于是所求特解为
2x
八1x2.
特解.
解：
将y=ex代入原方程，得
解出
所以原方程为
xexp（x）ex=x，
p（x）=xe^-x.
xy（xe^-x）y=x，
解其对应的齐次方程，得
所以原方程的通解为
y=exCexe
由y（ln2）=0，得C=-e2.故所求特解为
26.求微分方程」_y•一4x、y=x的通解•
Vyx2+1
解：
将原方程化为
"4x厂
y2yy,x+1
这是一个伯努利方程•令y，则原方程化为
dz2xx
2z
dxx212
这是一个一阶线性微分方程，解得
122
z（x1）（Cln（x1））,
4
所以原微分方程的通解为
21222
y=z=z（x1）（CIn（x-1））.
16
xx
27•求微分方程（1ey）dxey（1_?
）dy=0的通解.
y
解：
将y看成自变量，则x=x（y）是y的函数•由于原方程是齐次型方程，令u（y^-,
y
原微分方程化为
u
yu
eu
u
e1
这是一个变量可分离的方程，解得
y（eu
所以原方程的通解为
x
yey
所以，在y.0时，原方程为全微分方程
x）dy，
y
（x,y）
u（x,y）二（叮）（1ey）dxey（1
的一个原
由于此曲线积分与路径无关，所以u（x,y）就是全微分式（1e'）dx•e‘（1--）dy
y
函数，且
x
8/16
28•设」为实数，求微分方程y“一ly=0的通解.
解：
此方程的特征方程为，•」=0，所以，
（1）当J0时，特征方程有一对复根，二_i,jl,方程有两个线性无关解cos」x,sin...」x因此微分方程的通解为
y=GcosjxC2sin.（G,C2：
=R）•
（2）当亠=0时，特征方程有一个二重根■=0.方程有两个线性无关解1,x,于是微分
方程的通解为
y=CiC2x.
■--■'•方程有两个线性无关解
（3）当J:
:
:
0时，特征方程有两个单重实根
所以微分方程的通解为
y=Ge_丄C2e_（C1,C2R）•29.求微分方程y二y丄2x2•1的通解•
解将方程写作y”•yl（2x2•1）e0x.因为，=°是特征方程'川冬=0的单根，所以原方
程一个特解形式为
y*（x）二ax3bx2cx,
将此解代入原方程，得
3ax2（2b6a）x（c2b）=2x21，
比较两端同次项的系数，有
3a=2,2b6a=0,c2b"
解上述方程组，得
2
a,b一-2,c=5.
3
从而得到原方程的一个特解
*232
y（x）x-2x5x.
3
9/16
y=GC2e^.
所以原方程的通解为
x232
y=C1C2ex2x5x.
123
另解：
方程y>2x2•1两端积分，得
yy=2x3xC1,
3
这是一个一阶线性微分方程，其通解为
2
y=e」（C2（x3xC1）exdx）
2
二GC2e」x3-2x25x-5
3
2
=C1C2e»x3-2x25x。
3
30.求解微分方程y—2y「y二4xex.
解：
因为怎-1是特征方程，2-2■•1=0的重根，所以原方程的一个待定特解为
y*=x2（axb）ex，
将此解代入原方程，得
（6ax2b）ex二4xex.
2
比较两端系数，得a,b=0.于是得到原方程的一个特解
3
*23x
yxe.
3
又因为相应齐次方程的通解是
y=（CiC2X）ex.
因此原方程的通解为
y=（GC2X）ex-x3ex.
3
31.求微分方程y=y=x•cosx的通解.
ycosxC2sinx.
设非齐次方程y”•y二x的一个特解为
y^i=AxB,
代入次方程，得A",B=0.所以
设非齐次方程y”•y=cosx的一个特解为
y2=ExcosxDxsinx,
11
代入方程，得E=0,D.所以yxsinx.
22
因为yiy2为原方程的一个特解，所以原方程的通解为
1
y=GcosxC2sinxxxsinx.
2
32.求解微分方程yy”-（y）2=y2lny.
解：
因为原微分方程不显含自变量x，所以这是一个可降阶微分方程
令u（y）二y（x），则y”（x）二u（y）y（x）二uu.原方程变为
yuu-u2=y21ny.
再令P（y）=u2（y），则有
P=2ylny，
这是一个一阶线性微分方程，求得
22
p=y（CIny）.
所以
u=.y2（Cln2y），
故
y「y2（Cln2y）.
这是个变量可分离微分方程，解得
lnlny.CTn2y=xC1，
这就是原微分方程的通解
注：
方程yuu•—u?
=y21ny是一个伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解
33.求解微分方程些33y=e」（x-5）.
解：
微分方程y3y3y的特征方程为
■=-1是其三重特征根.所以该齐次方程的通解为
x2
y=eQC2xC3x）.
令原微分方程的一个特解形式为
y=x3（axb）e」，
代入原微分方程，并整理得
24ax6b=x-5,
15
24
所以a,b.因此原微分方程的一个特解为
--6
八刍（十_右,
64
故所求通解为
y=e^（C!
C2xC3x2）--5）e」・
64
34.求解微分方程
xy‘_y二x2
解：
令u（x）二y（x），则原方程化为
这是个一阶线性微分方程，解得
u=x（C「x）.
因此/-x（C,x），所以原微分方程的通解为
y=1x3丄。
低2C2=1x3C1x2C2,
323
其中C「C2是任意常数•
.由y=xp二x（xC1）
另解：
令p（x）=y（x）,则原方程化为P—1，所以p^xCi
x
得
-x3Cix2C2.
3
35.求解微分方程x2y”_2xy：
：
・2y=x31nx.
解：
原方称为二阶欧拉方程.令x二d，得
鱼,x2
dt
d2y
dt2
dy
dt
所以原微分方程化为
=e3t
d2y
dt2
其中t是自变量这是一个二阶线性常系数非齐次方程，解得
t2t133t
y=C-eC2e（t一）e.
22
所以原微分方程的通解为
2133
y=GxC2xx（lnx），
其中Ci,C2是任意常数.
36.求解定解问题
y"+2x（y）2=0
$（0）=1,y（0）=0
解：
令u（x）=y（x），则原方程化为
u2xu2=0,
这是个变量可分离微分方程，解得
1
u=_x2C
根据u（0）=y（0）=0,得u三0.
由y（x）=u（x）=0，得y=G.因为
y（0）=1，所以G=1,
故原定解问题的解为
2
注：
在求解变量可分离微分方程u：
2xu=0时，容易丢掉解U三0，从而得不到原定解
问题的解.
37•已知函数f（x）在［0,•：
：
）上可导，f（0）=1，且满足等式
1X
f（x）f（x）0f（t）dt=0,
x+1i0
求f（x），并证明e」乞f（x）<1（x-0）.
解：
根据条件，得
x
（x1）（f（x）f（x））-0f（t）dt=0,
因为f（x）在［0,r）上可导，由上式，知f（x）在［0,r）上二阶导数存在，所以
f”（x）+（1+l）「（x）=0,
X+1
这是f（X）满足的一个一阶线性齐次方程，解得
f（x）二
Ce»
由于f（0）=-f（0）二_1，所以c=—1，故
f（xH-ee」
当x_0时，因为f（X）0，所以f（x）空f（0）=1•又X_0时，
x+1
.X.X
f（x）-e"=--e"=4-0，所以f（x）一f（0）-e0=0.
x+1x+1
故
e"注：
证明不等式时，只需要知道导数的符号及函数在某点上的值，并不要求一定知道函
数的表达式.
38•设p（x）,q（x）为连续函数，证明方程月p（x）y二q（x）的所有积分曲线上横坐标相同的
点的切线交于一点•
证：
记y=y1（x）为方程y'p（x）y=q（x）的一条积分曲线，贝U方程y'p（x）y=q（x）的
任一条积分曲线可记为y=Cm（x）.曲线讨二y1（x）在点（x0,y1（x0））的切线方程为
y-yi（xo）=yi（xo）（x-xo）,
曲线y二Cy〔（x）在点（xo’Cy^Xo））的切线方程为
y-Cy1（Xo）=Cyi（xo）（x-Xo）.
求解方程组
'y-yi（x°）=y；（x°）（x—xo）y-Cyi（Xo）=Cyl（Xo）（x-Xo）
yi（xo）
yi（xo）'
所以，任一条积分曲线y二Cy^x）与积分曲线yny^x）在横坐标为xo的点处的切线
相交于与C无关的点（勺一yi（Xo）,o），即方程申p（x）y=q（x）的所有积分曲线上横坐yi（xo）
标相同的点的切线交于一点.
39.设p（x）在［。
，•：
：
）上连续非负，证明微分方程\p（x）y=o的任意非零解满足
limy（x）=o的充要条件是广义积分p（x）dx发散.
证：
设y（x）是方程yp（x）y=o的任一解，则
y（x）=Co^°p（t）dt
其中Co是非零常数.所以
即limy（x）=o的充要条件是广义积分p（X）dX发散.
xo
40.设ao，函数f（x）在［o,r）上连续有界，证明微分方程y'ay二f（x）的解在
［。
，：
：
）上有界.
证：
因为原方程的通解为
y（x）二ejc0f（t）eatdt），
满足定解条件y（x°）=yo的解为
y（x）二e」x（yo0f（t）eatdt）.
记f（x）在［0,•：
：
）上的界为M，则当x_0时，有
y（x）=e』x（yo+0f（t）eatdt）乞yoMe®:
eatdt
=yo
a
即y（x）在［o厂：
：
）上有界•
升级会员 