北师大版八年级数学下寒假班 第5讲 因式分解基础班.docx

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北师大版八年级数学下寒假班第5讲因式分解基础班

第5讲因式分解

知识点1提公因式法

一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

要点诠释：

（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.

（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.

（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.

二、公因式

多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.

要点诠释：

（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.

（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.

（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：

①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.

三、提公因式法

把多项式

分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式

，另一个因式是

，即

，而

正好是

除以

所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．

要点诠释：

（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，

即

.

（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.

　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.

　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：

“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.

小试牛刀

1．（2018•崇安区一模）分解因式x3+4x的结果是（　　）

A．x（x2+4）B．x（x+2）（x﹣2）C．x（x+2）2D．x（x﹣2）2

2．（2017秋•孝感期末）下面运算正确的是（　　）

A．3ab+3ac=6abcB．4a2b﹣4b2a=0C．2x2+7x2=9x4D．3y2﹣2y2=y2

3．（2017秋•苍溪县期末）将﹣

a2b﹣ab2提公因式后，另一个因式是（　　）

A．a+2bB．﹣a+2bC．﹣a﹣bD．a﹣2b

4．（2017秋•江夏区期末）把8m2n﹣2mn分解因式（　　）

A．2mn（4m+1）B．2m（4m﹣1）C．mn（8m﹣2）D．2mn（4m﹣1）

再接再厉

5．（2018•潍坊）因式分解：

（x+2）x﹣x﹣2=________．

6．（2018•杭州）因式分解：

（a﹣b）2﹣（b﹣a）=______．

7．（2018•繁昌县二模）因式分解：

（2a+b）2﹣2b（2a+b）=_______．

8．（2018•连山区一模）分解因式：

2a2﹣8a=_______．

9．（2018•长春模拟）分解因式：

2xy﹣6y=______．

知识点2公式法

一、公式法——平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：

要点诠释：

（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.

（2）平方差公式的特点：

左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.

（3）套用公式时要注意字母

和

的广泛意义，

、

可以是字母，也可以是单项式或多项式.

二、公式法——完全平方公式

两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．

即

，

.

形如

，

的式子叫做完全平方式.

要点诠释：

（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；

（2）完全平方公式的特点：

左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.

（4）套用公式时要注意字母

和

的广泛意义，

、

可以是字母，也可以是单项式或多项式.

小试牛刀

1．（2018•太原一模）将（x+3）2﹣（x﹣1）2分解因式的结果是（　　）

A．4（2x+2）B．8x+8C．8（x+1）D．4（x+1）

2．（2018•十堰模拟）下列各式能用平方差公式分解因式的是（　　）

A．x2+y2B．﹣x2﹣y2C．﹣x2+y2D．x2﹣y3

3．（2018•钦州三模）对多项式x2﹣2x+1因式分解，结果正确的是（　　）

A．（x+1）2B．（x+1）（x﹣1）C．（x﹣1）2D．（x+1）（x﹣2）

4．（2017秋•利川市期末）分解因式x4﹣1的结果是（　　）

A．（x+1）（x﹣1）B．（x2+1）（x2﹣1）C．（x2+1）（x+1）（x﹣1）D．（x+1）2（x﹣1）2

再接再厉

5．（2018春•苏州期中）下列各多项式中，能用公式法分解因式的是（　　）

A．a2﹣b2+2abB．a2+b2+abC．25n2+15n+9D．4a2+12a+9

6．（2018春•金华期中）下列各式中，不能完全用平方公式分解的个数为（　　）

①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④m2﹣m+

；⑤4x4﹣x2+

．

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．（2018•株洲）因式分解：

a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）=______．

8．（2018•南海区校级二模）已知a与b互为相反数，则代数式a2+2ab+b2﹣2018的值为　______．

9．（2018•井研县模拟）分解因式：

（y+2x）2﹣（x+2y）2=______．

10．（2018春•宿豫区期中）把下列各式因式分解：

（1）a4﹣1

（2）（x+2）（x+4）+x2﹣4

11．（2018春•天心区校级期中）因式分解：

（1）

x2+2xy2+2y4；

（2）4b2c2﹣（b2+c2）2；

（3）a（a2﹣1）﹣a2+1；

（4）（a+1）（a﹣1）﹣8．

12．（2017春•天宁区校级月考）x4﹣18x2y2+81y4．

知识点3分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

要点诠释：

分组分解法分解因式常用的思路有：

方法

分类

分组方法

特点

分组分解法

四项

二项、二项

①按字母分组②按系数分组

③符合公式的两项分组

三项、一项

先完全平方公式后平方差公式

五项

三项、二项

各组之间有公因式

六项

三项、三项

二项、二项、二项

各组之间有公因式

三项、二项、一项

可化为二次三项式

小试牛刀

1．（2018•甘肃模拟）分解因式：

b2﹣ab+a﹣b=________．

2．（2018春•郯城县期中）分解因式：

a2+2ab+b2﹣4=　_________．

3．（2017•江阴市自主招生）分解因式：

9﹣6y﹣x2+y2=_______．

再接再厉

4．（2017•西城区校级自主招生）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为_______

5．（2017•渠县二模）分解因：

x2﹣4xy﹣2y+x+4y2=_______．

6．（2017春•肥城市期末）分解因式

（1）x3﹣9x；

（2）﹣x3y+2y2x2﹣xy3；

（3）1﹣a2+2ab﹣b2．

7．（2017秋•内乡县期中）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：

甲：

x2﹣xy+4x﹣4y

=（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）

=x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）

=（x﹣y）（x+4）．

乙：

a2﹣b2﹣c2+2bc

=a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）

=a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）

=（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）

请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：

（1）m3﹣2m2﹣4m+8．

（2）x2﹣2xy+y2﹣9．

知识点4十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

对于二次三项式

，若存在

，则

要点诠释：

（1）在对

分解因式时，要先从常数项

的正、负入手，若

，则

同号（若

，则

异号），然后依据一次项系数

的正负再确定

的符号

（2）若

中的

为整数时，要先将

分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于

，直到凑对为止.

小试牛刀

1．（2018•东莞市校级一模）下列因式分解正确的是（　　）

A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+x+1=（x+1）2

C．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4D．2x+4=2（x+2）

2．（2017秋•榆树市期末）把x2﹣4x+c分解因式得：

x2﹣4x+c=（x﹣1）（x﹣3），则c的值为（　　）

A．3B．4C．﹣3D．﹣4

再接再厉

3．（2018•周村区一模）分解因式：

x2+4x﹣12=________．

4．（2018•阳信县模拟）因式分解：

x2﹣3x+（x﹣3）=_______．

5．（2017秋•普陀区期末）分解因式：

x2﹣3xy﹣4y2=________．

6．（2018春•相城区期中）若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则m﹣n的值为_____．

7．（2018春•沙坪坝区校级月考）分解因式：

x3+3x2﹣4=_______．

8．（2017秋•枣阳市期末）分解因式：

（1）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2

（2）a3b﹣ab；

（3）x2+2x﹣3

9．（2018春•宁波期中）因式分解

（1）2x3﹣8x

（2）x2﹣2x﹣3

（3）4a2+4ab+b2﹣1

知识点5因式分解的应用

小试牛刀

1．（2018•周口二模）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：

x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：

南、爱、我、美、游、济，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）

A．我爱美B．济南游C．我爱济南D．美我济南

2．（2017秋•高阳县期末）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（　　）

A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定

再接再厉

3．（2017秋•五莲县期末）如果259+517能被n整除，则n的值可能是（　　）

A．20B．30C．35D．40

4．（2018春•桂平市期中）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则此三角形是（　　）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．等边三角形

5．（2017秋•高阳县期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=　0　．

6．（2017秋•洛阳期末）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：

cm）

（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为_______

（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．

7.（2