52菱形二教师版.docx

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52菱形二教师版

5．2菱形

（二）

菱形的判定

①有一组边相等的平行四边形是菱形。

（定义）

②四条边都相等的四边形是菱形．

几何语言：

∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．

几何语言：

∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

一、用菱形的定义判定菱形

1．如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是BC，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，BE＝DF.求证：

四边形ABCD是菱形．

图1

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，

在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AB＝AD，

又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．

二、四条边相等的四边形是菱形

2．用一把刻度尺来判定一个四边形零件是菱形的方法是__测量四条边是否相等，若相等则是菱形__．

3．如图2，△ABC和△BDE都是等边三角形，点E，F分别为AB，BC边的中点，求证：

四边形BDEF为菱形．

图2

证明：

∵△ABC和△BDE都是等边三角形，

∴BD＝DE＝BE，∠A＝∠C＝60°，

∵点E，F分别为AB，BC边的中点，

∴EF∥AC，∴∠BEF＝∠BFE＝60°，

∴△BEF是等边三角形，

∴BF＝EF＝BE，∴BD＝DE＝BF＝EF，

∴四边形BDEF为菱形．

三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4．下列命题正确的是（　D　）

A．对角线互相平分的四边形是菱形

B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形

C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形

5．如图3，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（　C　）

图3

A．AC⊥BDB．AB＝BC

C．AC＝BDD．∠1＝∠2

6．如图4，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件：

__BO＝DO（答案不唯一）__，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）

图4

7．如图5，▱ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝

，AC＝4，BD＝2.求证：

四边形ABCD是菱形．

图5

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝

AC＝2，BO＝

BD＝1.

在△AOB中，AB2＝5，AO2＋BO2＝22＋12＝5，

∴AB2＝AO2＋BO2，∴△ABO为直角三角形，即AO⊥BO，

∴四边形ABCD是菱形．

1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是（　C　）

A．两条对角线相等

B．两条对角线互相垂直

C．两条对角线互相垂直平分

D．两条对角线相等且互相垂直

2．如图5－2－13，△ABC中DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　D　）

图5－2－13

A．AB＝AC

B．AD＝BD

C．BE⊥AC

D．BE平分∠ABC

【解析】∵DE∥BC，EF∥AB，

∴四边形DBFE是平行四边形，

要使四边形DBFE是菱形，则添加邻边相等即可，

由BE平分∠ABC，得∠DBE＝∠EBF，

又∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBF，

∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB，

∴四边形DBFE是菱形．故选D.

3．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（　C　）

【解析】A．由作图可知AC垂直平分BD，结合AD∥BC可证四边形ABCD是菱形，正确；

B．由作图可知AB＝BC，AD＝AB，结合AD∥BC可证四边形ABCD是菱形，正确；

C．由作图可知AB，CD是角平分线，只能得出四边形ABCD是平行四边形，错误；

D．由作图可知对角线AC平分对角，结合AD∥BC可证四边形ABCD是菱形，正确．故选C.

4．如图5－2－14，在▱ABCD中，添加一个条件__AB＝BC或AC⊥BD（答案不唯一）__，使▱ABCD是菱形．

图5－2－14　

5．如图5－2－15，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是__CB＝BF或BE⊥CF__（写出一个即可）．

图5－2－15

【解析】由题意，可得四边形CBFE是平行四边形，当CB＝BF或BE⊥CF时，都可以得出四边形CBFE为菱形．

6．如图5－2－16，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.求证：

（1）△AED≌△CFD；

（2）四边形ABCD是菱形．

图5－2－16

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，

在△AED和△CFD中，

∴△AED≌△CFD（ASA）；

（2）由

（1）得△AED≌△CFD，∴AD＝DC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

7．如图5－2－17，在▱ABCD和▱BFDE中，∠A＝∠F，AD与BE交于点M，BC与DF交于点N.

（1）四边形BNDM一定是平行四边形吗？

为什么？

（2）当AB与BF满足什么数量关系时，四边形BNDM是菱形？

请说明理由．

图5－2－17

解：

（1）四边形BNDM是平行四边形．理由：

∵BC∥AD，BE∥DF，

∴四边形BNDM是平行四边形；

（2）当AB＝BF时，四边形BNDM是菱形．理由：

∵AD∥BC，BE∥FD，

∴∠AMB＝∠MBN，∠FNB＝∠MBN，

∴∠AMB＝∠FNB，

在△ABM和△FBN中，

∴△ABM≌△FBN（AAS），

∴BM＝BN，∴四边形BNDM是菱形．

8．如图5－2－18，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连结BE，DF.求证：

四边形BFDE是菱形．

图5－2－18

证明：

∵EF垂直平分BD

，

∴OB＝OD，∠EOD＝∠FOB＝90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，

在△EOD和△FOB中，

∴△EOD≌△FOB，∴EO＝FO，

∵OB＝OD，EF⊥BD，

∴四边形BFDE是菱形．

9．如图5－2－19，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.

（1）求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AC⊥BD，求四边形ABCD的面积．

　图5－2－19

解：

（1）证明：

∵O是AC的中点，

∴OA＝OC，∵AD∥BC，

∴∠ADO＝∠CBO，

在△AOD和△COB中，

∴△AOD≌△COB（AAS），∴OD＝OB，

∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形，

∴S菱形ABCD＝

AC·BD＝24.

10．如图5－2－20，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连结OE.

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

　图5－2－20

（2）若AB＝

，BD＝2，求OE的长．

解：

（1）证明：

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝∠BAC.

∵AB∥DC，∴∠DCA＝∠BAC.

∴∠DAC＝∠DCA.∴DA＝DC.

又∵AB＝AD，∴AB＝DC.

又∵AB∥DC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

又∵AB＝AD，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，OB＝OD＝

DB＝1，AC⊥BD.

在Rt△ABO中，由勾股定理，

得OA＝

＝

＝2.

∴AC＝2OA＝4.

∵CE⊥AB，OA＝OC，

∴OE＝

AC＝2.

1．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：

分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）

A．矩形B．菱形

C．正方形D．等腰梯形

2．已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）

A．AC，BD互相平分

B．BA＝BC

C．AC＝BD

D．AB∥CD

3．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件是（）

A．AD＝BC

B．AC＝BD

C．AB＝CD

D．AD＝CD

4．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连结AD，BD，则下列结论：

①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD＝BE.其中正确的个数是（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

5．下列说法正确的是（）

A．一组邻边相等，一组对边平行的四边形是菱形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

D．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

6．如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是（）

A．AB＝BC

B．AC⊥BD

C．BD平分∠ABC

D．AC＝BD

7．已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）

A．AC，BD互相平分B．BA＝BC

C．AC＝BDD．AB∥CD

8．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（）

A．AB＝BCB．AC＝BC

C．∠B＝60°D．∠ACB＝60°

9．如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）

A．AE＝AFB．EF⊥AC

C．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线

10．如图，过四边形ABCD的各顶点作对角线BD，AC的平行线围成四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，则原四边形一定是（）

A．菱形B．平行四边形

C．矩形D．对角线相等的四边形

11.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：

四边形AEDF是菱形．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线．

（1）求证：

∠ACD＝∠ADC；

（2）若∠B＝60°，求证：

四边形ABCD是菱形．

参考答案

1-5BAADD

6-10DAACD

11.证明：

∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，

∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．

又∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AB＝AC，

∴AE＝AF，∴平行四边形AEDF是菱形

12.证明：

（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，在△ABC中，

∠FAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B.∵AD平分∠FAC，

∴∠FAC＝2∠FAD＝2∠CAD，∴∠FAD＝∠B，∴AD∥BC.

∴∠D＝∠DCE.∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠DCE.

∴∠ACD＝∠ADC　

（2）∵∠B＝60°，∴∠ACB＝∠CAD＝60°，

∵AB＝AC，∠ACD＝∠ADC，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．

∴AB＝BC＝AC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形