恒定电场习题解答.docx
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恒定电场习题解答
习题3
，该轴平行于
3-1半径为a的均匀极化介质球以它的一条直径为轴匀速旋转，角速度球的极化强度P,求：
（1）由于旋转形成的面电流密度分布；
（2）通过球面上=0的半圆周也即球的一条“经线”的总电流；
（3）
）的电流分别是
通过这条“经线”的上半段（0ww/2）和下半段（/2W<
多少？
（1）
介质球表面的极化面电荷密度为
球面上任一点的线速度为
旋转时介质球表面的极化电荷形成面电流，其密度为
12n
PaQn2d
22
常数）。
若已知电容器中恒定漏电流为Jx,求电容器中的电荷密度
O
题3-2图
解：
由导电媒质的本构关系可知，两极板之间的电场强度为
E虫
x
于是可得电位移矢量
ax（axb）Jx
电容器中的电荷密度为
p?
DaJx
3-3内、外导体半径分别为a和b的同轴电缆，内外导体之间填充两层电容率分别为i
和2、电导率分别为1和2的介质，介质分界面半径为C。
当外加电压为U时，求两种介质
中的电场及分界面上的自由电荷密度。
解：
由同轴电缆的轴对称特点可知，电位、电场强度和电流密度仅是半径的函数，电流密度和电场强度沿半径a方向。
设内外导体间单位长度的漏电流为I，由于在媒质分界面上电流连续，因此可写出
Ji
iEi,
J2
2E2
2n
2n
于是可得
Ei
I
E21—
2n1
2n2
内外导体间的电压为
c
b
Ic
Ib
U
aEid
cE2d
In
In
a
c
2n1a
2n2c
解得
I
2nu
1
c1
.b
In
In
1
a2
c
最后得出两种媒质中的电场强度分别为
E1a
（a
c）
1
c
1
b
In
In1
1
a
2
c
u
E2a
（c
b）
1
c
1
b
In
In2
ia2c
两种媒质分界面上的自由电荷密度为
S2E2（C）1E1（C）
丄lnC丄lnbc
3-4内、外导体半径分别为a和b的同轴电缆，内外导体之间以过轴线的平面为分界面，一半填充电容率为1、电导率为1的媒质，一半填充电容率为2、电导率为2的媒质，求该电缆单位长度的电容和漏电导以及单位长度储存的电能和损耗功率。
解：
由该同轴电缆的对称特点可知，电位、电场强度和电流密度仅是半径的函数，电
流密度和电场强度沿半径a方向。
设内外导体间单位长度的漏电流为I，由于在媒质分界面上电场处于切向，应满足切向连续，因此有E1E2E。
由
可得
内外导体间的电压为
单位长度的漏电导为
单位长度的静电能为
2）
单位长度的损耗功率为
求两球面之间的电阻。
解：
利用静电比拟原理，可设
两球面间电压为
两球面间电容为
4n0K
lnR2（RK）
R1（R2K）
由静电比拟原理可得两球面间电阻为
3-6如题3.6图所示的平行板电容器，极板面积为S,板间距离为d。
两极板之间正中
间三分之一的空间填充电容率为、电导率为的介质，两边各三分之一的空间是空气。
当
外加电压为U时，求该电容器的电容和漏电导。
Tu,
00
题3-6图
解：
由介质分界面的边界条件可知，电容器内各部分电场强度均匀分布，即
于是，极板表面各部分的电荷密度分别为
oE、
oE，极板上的总电量为
S
Q3（oE
该电容器的总电容为
（2o
）S
3d
漏电导为
题3-7图
u时，金属片中的电场为
解：
（1）沿厚度方向的电导可用平板电容比拟，上下加电压
EU
极板上带电量为
电容量为
cuq
由静电比拟原理，可得上下方向的电阻即为
RoG
（2）
U时，金属片
沿两弧面方向的电导可用同轴电缆的电容比拟，在两弧面间加电压中的电场为
Ea亠
内导体弧面带电量为
QsSE（ri）ri
In—
ri
两弧面间电容为
由静电比拟原理，可得沿半径方向的电阻即为
In（D/rJ
U，金属片内电位
（3）沿两直边方向的电导可用旋转电容器比拟，在两直边上加电压
满足拉普拉斯方程:
由静电比拟原理，可得两直边之间的电阻即为
22
解得
C1
C2
代入边界条件（0）U,
（）0，
解得
U
G—,
C2
U
于是得到电位解为
U
U
直边上电荷密度为
1
U
s
0
/In互
ri
3-8闪电在t0时刻击中一个半径为
a0.1m的有耗介质球（
=10S/m，r=1.2），
求电荷从体积内扩散到
把1mC的电荷散落在球上。
假设t0时刻时电荷在球内均匀分布,
表面上的暂态过程中任意时刻的电场强度和电流密度分布。
解：
由题意，t0时刻时，球内的电荷密度为
3
（C/m3）
q310
33
4na/34n（0.1）
电荷密度随时间变化的规律可由电流连续性方程、媒质的本构关系即高斯定律确定,
t?
J?
（E）
解方程得
10
-_t
31.2ot
39.421011t
oe
e
e
4n
4n
由任意时刻的高斯定律可得任意时刻球内任意点的电场强度为
14n3
4n01.2r2〒
任意时刻的电流密度分布为
JEar7.51O10re9.4210叫（A/m2）
3-9在电导率为的无限大均匀漏电介质里有两个导体小球，半径分别为r1和「2,小
球间距d（d>>r1,d>>r2,即两球之间的静电感应可以忽略），求两小球间的电阻R。
解：
导体小球为等势体，设两球分别带q和-q,由于d>>r1,d>>r2，因此，在求解球表
面和球外的电位时，可忽略两球间的静电感应，把q和-q看作是各自位于球心的点电荷，
于是可求得
q
4n（dr1）
qq
2B
4nr24n（da）
两球之间电压为
于是得两球之间电容为
小q,
“1
111、
C4n
（-
）
U
石
dr1r2dr2
由静电比拟原理，可得两球之间电阻为
11
1
111
R-
（-
）
G4n
r1
r2dr1da
3-10一个半径为a的导体球接地器埋入地下，球心距地面h（h>a），考虑到地面的影响,
求该接地器的接地电阻，设土壤的电导率为。
（a）原系统（b）镜像系统（c）静电比拟系统
题3-10图
解：
考虑地面的影响，可采用镜像法来求解下半空间的电位，镜像系统如题3-10（b）
图所示。
需要注意的是
（1）构造镜像系统时使用了恒定电场的边界条件J1nJ（0），
EnE2t，因此其镜像电流应如图（b）中所示，而与图（b）对应的静电比拟系统中镜像
电荷应是Q而不是-Q;
（2）要使图（b）的下半空间电流分布与图（a）相同，注入的总电流须是图（a）的2倍；而镜像系统和原系统在求解区域电位必相同，因此，求得的电导必是原系统电导的2倍。
由图（b）的静电比拟系统图（c）可求出土壤中导体球对无穷远处（零参考）的电位为
qq
4na4n（2ha）
注意：
两个导体球是连在一起的，因而电位相等。
4na（2ha）
h
于是可得两个导体球对无穷远的电容为
2
11
4na4n（2ha）
由静电比拟原理，可得原接地导体球的接地电导为
G2
2na（2ha）
h
接地电阻为
h
2na（2ha）
3-11厚度为d的无限大均匀导电媒质板上垂直地插有两根无限长金属圆柱形电极，两
圆柱的轴线相距D,半径为a，D>>a;两电极间电压为U,求两电极之间的电流。
题3-11图
解：
由于媒质板与两平行圆柱的电场强度平行，按照电场强度切向连续的边界条件，
媒质板内外的电场强度和电位分布相同。
因此，先求没有媒质板时的电位。
设两圆柱导体单
位带电量分别为i和-i,取两圆柱轴线的中分面为电位零参考，则两圆柱间电压为
U2（a）-^1
2noa
解得
noU
inD
厚度为d的导体圆柱表面的带电量为
noUd
.Dain
a
nUdnUd
.Da,D
inin
aa
3-12半径为a,长为i的管形接地器直立于电导率为的土壤中，管口与地面平齐，考
（b）镜像系统
题3-12图
解：
考虑地面的影响，可用镜像法来求解下半空间的电位，其镜像系统如题
拟法求解，其静电比拟系统如图（C）所示。
设导体管单位长度带电量为i，可视为位于轴
线上，取无穷远为零参考，于是，管外任一点电位为
管表面单位（
（,z）
a,z0）
（a,0）
若Ia，取l2
II
I47Rdzl4n.（zz）2
-In
4n
（zI）22（zI）
（zI）2
（zl）
2dZ
II^/FVl4n厂a2—I
a22I...I2a2
I2，则导体管表面电位近似为
—In?
2na
该管的电容为
4ni
in
a
由静电比拟原理,
可得原接地导体管的接地电导为
GG2nI
G3戸
In—
a
接地电阻为
1,2I
RIn
2nIa
3-13在很深的湖底上方高
h>>a。
假设湖底为良导体平面，湖水电导率为
h处悬浮着一根半径为a的极长的直导线，导线平行于湖底,
，求单位长度的导线与湖底之间的电阻。
2a
「Of2a
7//7/7Z77
（a）原系统
3.12（b）图
丄o-I
（b）镜像系统
题3-13图
解：
考虑湖底的影响，可用镜像法来求解湖水中的电位，其镜像系统如题
所示，其中利用了边界条件J1nJ
inJ2n，E1t
E（（0）。
由于h>>a,可设长线单位长度的带电量为行双线传输线的电位
i，位于轴线上，其镜像电荷为
I,利用平
可写出导线表面相对于湖底的电位为
该导线单位长度对湖底的电容为
于是可得该导线单位长度对湖底的电导为
电阻为
In-2
i
I_
（0）
2n
2haIn
a
2n
.2haIn
a
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