高考理科数学试题及参考答案安徽卷doc.docx

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高考理科数学试题及参考答案安徽卷doc

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:

1.答题前,务必在试题卷,答题卡规定的地方填写自己的座位号,姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中"座位号,姓名,科类"与本人座位号,姓名,科类是否一致.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无.............效..4.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回.参考公式:

参考公式:

如果事件A,B互斥,那么P（A+B）=PA.+PB.如果事件A,B相互独立,那么P（AB）=PA.+PB.1+2+…+n球的表面积公式S=4лR2其中R表示球的半径球的体积公式V=

n（n+1）2n（n+1）（2n+1）6

43πR3

12+22+…+n2=

其中R表示球的半径

n2（n+1）21+2++n=4

333

第Ⅰ卷（选择题共55分）小题,在每小题给出的四个选项中,一,选择题:

本大题共11小题,每小题5分,共55分,在每小题给出的四个选项中,只选择题:

有一项是符合题目要求的.有一项是符合题目要求的.1.下列函数中,反函数是其自身的函数为

A.f（x）=x,x∈[0,+∞）

3

B.f（x）=x3,x∈[∞,+∞）C.f（x）=e,x∈（∞,+∞）

x

D.f（x）=

1,x∈（0,+∞）x

2.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,⊥α"是l⊥m且"l⊥n"的"lA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.若对任意x∈R,不等式x≥ax恒成立,则实数a的取值范围是A.a<-1B.a≤1

C.a<1D.a≥14.若a为实数,

2+ai1+2i

=-2i,则a等于

A.2

B.—2

C.22

D.—225.若A=x∈Ζ2≤22x<8

{

},B={x∈Rlog2x>1},则A∩（CRB）的元素个数为

A.0B.1C.2D.36.函数f（x）=3sin（2x

π）的图象为C,311π对称;12π5π,）内是增函数;1212π个单位长度可以得到图象C.3

①图象C关于直线x=②函灶f（x）在区间（

③由y=3sin2x的图象向右平移

以上三个论断中,正确论断的个数是A.0B.1C.2D.3

2xy+2≥022点那么PQ的7.如果点P在平面区域x2y+1≤0上,Q在曲线x+（y+2）=1上,x+y2≤0

最小值为A.51

B.

45

1

C.221D.218.半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点,则A与B两点间的球面距离为

A.arccos（

3）36）3

13

B.arccos（

C.arccos（）

D.arccos（）

14

9.如图,F1和F2分别是双曲线

x2r2=1（a>0,b>0）的两个焦点,A和B是以O为a2b2

圆心,以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为

A.3

B.5

C.

52

D.1+310.以φ（x）表示标准正态总体在区间（∞,x）内取值的概率,若随机变量ξ服从正态分布N（,σ2）,则概率P（ξ<σ）等于

A.φ（+σ）-φ（σ）B.φ

（1）φ

（1）C.φ（

1

σ

）

D.2φ（+σ）11.定义在R上的函数f（x）既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程

f（x）=0在闭区间[T,T]上的根的个数记为n,则n可能为

A.0B.1C.3D.5

第Ⅱ卷（非选择题共95分）注意事项:

请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效...............

小题,把答案填在答题卡的相应位置.二,填空题:

本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.填空题:

12.若（2x3+

1x

）n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于

.

13.在四面体O-ABC中,AB=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,为AD的中点,E则OE=（用a,b,c表示）.

14.如图,抛物线y=--x2+1与x轴的正半轴交于点A,将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,2,Pn-1,P…,过这些分点分别作x轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q1,2,Q…,Qn-1,从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2,…,△Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为.

15.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）...①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.

小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.三,解答题:

本大题共6小题,共79分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解答题:

16.（本小题满分12分）已知0

π

4

82cosα+sin2（α+β）a,2）,且ab=m.求的值.cosαsinα

2

β为f（x）=cos（2x+

π

）的最小正周期,a=（tan（a+

1（cosβ）,1）,b=4

17.（本小题满分14分）如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2.

（Ⅰ）求证:

A1C1与AC共面,B1D1与BD共面;（Ⅱ）求证:

平面A1ACC1⊥平面B1BDD1;（Ⅲ）求二面角A-BB1-C的大小（用反三角函数值圾示）.

18.（本小题满分14分）设a≥0,f（x）=x-1-ln2x+2alnx（x>0）.（Ⅰ）令F（x）=xf',讨论F（x）在（0,+∞）内的单调性并求极值;（x）（Ⅱ）求证:

当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1.

19.（本小题满分12分）如图,曲线G的方程为y2=2x（y≥0）.以原点为圆心,以t（t>0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式;（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a+2,求证:

直线CD的斜率为定值.

20.（本小题满分13分）在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子:

6只果蝇和2只苍蝇）,只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇.......的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）;（Ⅱ）求数学期望Eξ;（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.

21.（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0）,因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r（r>0）,那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金-n-1就变为a1（1+r）,第二年所交纳的储备金就变为a2（1+r）n2,……,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式;（Ⅱ）求证:

Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,n}是一个等差数列.{B

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷）通高等学校招生全国统一考试（数学（理科）理科）

参考答案

一,选择题:

本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分55分.选择题:

本题考查基本知识和基本运算每小题1.D7.A2.A8.C3.B9.D4.B10.B5.C11.D6.C

二,填空题:

本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.填空题:

本题考查基本知识和基本运算,12.713.

111a+b+c24413

14.

15.①③④⑤

三,解答题16.（本小题满分12分）本小题主要考查周期函数,平面向量数量积与三角函数基本关系式,考查运算能力和推理能力.本小题满分12分.解:

因为β为f（x）=cos（2x+

π）的最小正周期,故β=π81β）2,4

因ab=m,又ab=cosatan（a+故cosatan（a+

1β）=m+2.4

由于0a

π,所以4

2cos2α+sin2（a+β）2cos2α+sin（2α+2π）=cosα+sinαcosαsinα2cos2α+sin2α2cosα（cosα+sinα）=cosαsinαcosαsinα1+tanαπ=2cosαtan（α+）=2（2+m）1tanα4

=

=2cosα

17.（本小题满分14分）本小题主要考查直线与平面的位置关系,平面与平面的位置关系,二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分.解

法1（向量法）（向量法）:

以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,轴,轴建立空间直角坐标系Dxyz以yz如图,则有A（2,0,0）,B（2,2,0）,C（0,2,0）A1（1,0,2）,B1（1,1,2）,C1（0,1,2）,D1（0,0,2）.,

（Ⅰ）证明:

∵A1C1=（1,1,0）,AC=（2,2,0）,

D1B1=（1,1,0）,DB=（2,2,0）,∴AC=2A1C1,DB=2D1B1.∴AC与A1C1平行,与D1B1平行,DB

于是A1C1与AC共面,B1D1与BD共面.（Ⅱ）证明:

DD1AC=（0,2）2,0）=0,0,（2,

DBAC=（2,0）2,0）=0,2,（2,

∴DD1⊥AC,⊥AC.DBDD1与DB是平面B1BDD1,内的两条相交直线,

∴AC⊥平面B1BDD1.

又平面A1ACC1过AC,

∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.

（Ⅲ）解:

AA1=（1,2）,1=（1,1,CC1=（0,1,.0,BB2）,2）设n=（x1,y1,z1）为平面A1ABB1的法向量,

nAA1=x1+2z1=0,nBB1=x1y1=2z1=0,

于是y1=0,取z1=1,则z1=2,n=（2,0,1）.设m=（x2,y2,z2）为平面B1BCC1的法向量,

mBB1=x2y2+2z2=0,mCC1=y2+2z2=0.

于是x2=0,取z2=1,则y2=2,m=（0,2,1）.

cosm,n=

mn1=mn5

15

∴二面角ABB1C的大小为πarccos

解法2（综合法）（综合法）:

（Ⅰ）证明:

∵D1D⊥平面A1B1C1D1,D1D⊥平面ABCD,

∴D1D⊥DA,D1D⊥DC,平面A1B1C1D1‖平面ABCD.

于是C1D1‖CD,D1A1‖DA.设E,F分别为DA,DC的中点,连结EF,A1E,C1F,有A1E‖D1D,C1F‖D1D,DE=1,DF=1.∴A1E‖C1F,于是A1C1‖EF.由DE=DF=1,得EF‖AC,故A1C1‖AC,

A1C1与AC共面.

过点B1作B1O⊥平面ABCD于点O,则B1O//A1E,B1O//C1F.连结OE,OF,于是OE//B1A1,OF//B1C1,OE=OF.∴

∵B1A1⊥A1D1,∴OE⊥AD.∵B1C1⊥C1D1,∴OF⊥CD.

所以点O在BD上,故D1B1与DB共面.（Ⅱ）证明:

∵D1D⊥平面ABCD,D1D⊥AC,∴又BD⊥AC（正方形的对角线互相垂直）,

D1D与BD是平面B1BDD1内的两条相交直线,∴AC⊥平面B1BDD1.∴又平面A1ACC1过AC,平面A1ACC1⊥平面B1BDD1,

（Ⅲ）解:

∵直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影,AC⊥DB,根据三垂线定理,有AC⊥B1B.过点A在平面ABB1A1内作AM⊥B1B于M,连结MC,MO,则B1B⊥平面AMC,于是B1B⊥MC,B1B⊥MO,所以,∠AMC是二面角AB1BC的一个平面角.根据勾股定理,有

A1A=5,C1C=5,B1B=6.

∵OM⊥B1B,有

B1OOB2=,BM=B1B321010,AM=,CM=,333

OM=

cos∠AMC=

AM2+CM2AC21=,2AMCM5

1∠AMC=πarccos,5

二面角ABB1C的大小为πarccos

15

18.（本小题满分14分）本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性,极值和证明不等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力,本小题满分14分.（Ⅰ）解:

根据求导法则得f′（x）=1

2Inx2a+,x0.xx

故F（x）=xf′（x）=x2Inx+2a,x0,

于是F′（x）=1列表如

下:

xF′（x）F（x）（0,2）↓

2x2=,x0.xx

20极小值F

（2）

（2,+∞）+↑

故知F（x）在（0,2）内是减函数,在（2,+∞）内是增函数,所以,在x=2处取得极小值F

（2）=2-2In2+2a.（Ⅱ）证明:

由a≥0知,F（x）的极小值F

（2）=2In2+2a0.于是由上表知,对一切x∈（0,+∞）,恒有F（x）=xf′（x）0.从而当x0时,恒有f′（x）0,故f（x）在（0,+∞）内单调增加.所以当x1时,f（x）f

（1）=0,即x1In2x+2aInx0.故当x1时,恒有xInx2aInx+1.

2

19.（本小题满分12分）本小题综合考查平面解析几何知识,主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式,直线的方程与斜率,抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算能力与思维能力,综合分析问题的能力.本小题满分12分.解:

（Ⅰ）由题意知,A（a,2a）因为OA=t,所以a+2a=t

22

由于t0,故有t=

a2+2a.

（1）

由点B（0,t）C（c,0）的坐标知,直线BC的方程为

xy+=1.ct

又因点A在直线BC上,故有

a2a+=1,ct

将

（1）代入上式,得

a2a+=1,ca（a+2）

解得c=a+2+

2（a+2）.

（Ⅱ）因为D（a+2,2（a+2））,所以直线CD的斜率为

kCD=

2（a+2）2（a+2）==a+2ca+2（a+2+2（a+2））

2（a+2）2（a+2）

=1,

所以直线CD的斜率为定值.

20.（本小题满分13分）本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算,离散型随机变量的分布列,数学期望的概念及其计算,考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.解:

（1）ξ的分布列为

（Ⅱ）数学期望为Eξ=（Ⅲ）所求的概率

2（1×6+2×5+3×4）=2.28

P（ξ≥Eξ）=P（ξ≥2）=

5+4+3+2+115=.2828

21.（本小题满分14分）本小题主要考查等差数列,等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料,提取信息,建立数学模型的能力,考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.解:

（Ⅰ）我们有Tn=Tn1（1+r）+an（n≥2）.（Ⅱ）T1=a1,对n≥2反复使用上述关系式,得

Tn=Tn1（1+r）+an=Tn2（1+r）2+aa1（1+r）+an=

=a1（1+r）

a1

+a2（1+r）a2++an1（1+r）+an.

①

在①式两端同乘1+r,得

（1+r）Tn=a1（1+r）a+a2（1+r）n1++an1（1+r）2+an（1+r）.

②-①,得

②

rTn=a1（1+r）n+d（1+r）n1+（1+r）n2++（1+r）an

=

[

]

d（1+r）n1r+a1（1+r）nan,ra1r+ddar+d（1+r）nn122rrr

a1r+dar+dd（1+r）n,Bn=12n,2rrr

[

]

即Tn=

如果记An=

则Tn=An+Bn,

其中{An}是以

a1r+d（1+r）为首项,以1+r（r0）为公比的等比数列;{Bn}是以r2

a1r+ddd为首项,为公差的等差数列.2rrr