高考理科数学试题及参考答案安徽卷doc.docx

1、高考理科数学试题及参考答案安徽卷doc2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷第 1 至第 2 页,第 卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷,答题卡规定的地方填写自己的座位号,姓名,并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中座位号,姓名,科类与本人座位号,姓名,科类是否一致. 2.答第卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第卷时,必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题

2、卡上书写.在试题卷上作答无 . . 效. . 4.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式: 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=PA.+PB. 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(AB)=PA.+PB. 1+2+n 球的表面积公式 S=4R2 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V=n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 64 3 R 312+22+n2=其中 R 表示球的半径n 2 (n + 1) 2 1 +2 +n = 43 3 3第卷(选择题 共 55 分) 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一,选择题:本大题共 11 小题,每小题

3、 5 分,共 55 分,在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1.下列函数中,反函数是其自身的函数为A. f ( x) = x , x 0,+ )3B. f ( x) = x 3 , x ,+ ) C. f ( x) = e , x ( ,+ )xD. f ( x ) =1 , x (0,+) x2.设 l,m,n 均为直线,其中 m,n 在平面 内, 是 l m 且l n的 l A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若对任意 x R,不等式 x ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A.

4、a-1 B. a 1C. a 1 D.a1 4.若 a 为实数,2 + ai 1 + 2i=- 2 i,则 a 等于A. 2B. 2C.2 2D.2 2 5.若 A = x 2 2 2 x 1 ,则 A (C R B) 的元素个数为A.0 B.1 C.2 D.3 6.函数 f ( x ) = 3 sin( 2 x ) 的图象为 C, 3 11 对称; 12 5 , ) 内是增函数; 12 12 个单位长度可以得到图象 C . 3图象 C 关于直线 x = 函灶 f (x ) 在区间 (由 y = 3 sin 2 x 的图象向右平移以上三个论断中,正确论断的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

5、2 x y + 2 0 2 2 点 那么 P Q 的 7. 如果点 P 在平面区域 x 2 y + 1 0 上, Q 在曲线 x + ( y + 2) = 1 上, x + y 2 0 最小值为 A. 5 1B.4 51C. 2 2 1 D. 2 1 8.半径为 1 的球面上的四点 A, B , C , D 是正四面体的顶点,则 A 与 B 两点间的球面距离为A. arccos(3 ) 3 6 ) 31 3B. arccos(C. arccos( )D. arccos( )1 49.如图, F1 和 F2 分别是双曲线x2 r 2 = 1(a 0, b 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 O

6、 为 a2 b2圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 F2 AB 是等边三角形,则双曲 线的离心率为A. 3B. 5C.5 2D. 1 + 3 10.以 (x ) 表示标准正态总体在区间( , x )内取值的概率,若随机变量 服从正态分 布 N ( , 2 ) ,则概率 P ( ) 等于A. ( + ) - ( ) B. (1) ( 1) C. (1 )D. 2 ( + ) 11.定义在 R 上的函数 f (x ) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它的一个正周期.若将方程f ( x ) = 0 在闭区间 T , T 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为A.0 B.1

7、C.3 D.5第卷(非选择题 共 95 分) 注意事项: 请用 0.5 毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效. . .小题, 把答案填在答题卡的相应位置. 二,填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. 填空题: 12.若(2x3+1 x)n 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于.13. 在四面体 O-ABC 中,AB = a, OB = b, OC = c, D 为 BC 的中点, 为 AD 的中点, E 则 OE = (用 a,b,c 表示) .14.如图,抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A,将线

8、段 OA 的 n 等分点从左至右 依次记为 P1, 2, Pn-1, P , 过这些分点分别作 x 轴的垂线, 与抛物线的交点依次为 Q1, 2, Q , Qn-1,从而得到 n-1 个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn-1Pn-1Pn-1,当 n时, 这些三角形的面积之和的极限为 .15.在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,这些几 何形体是 (写出所有正确结论的编号) . . 矩形; 不是矩形的平行四边形; 有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; 每个面都是等边三角形的四面体; 每个面都是直角三角形的四面体.小题, 解答应写出

9、文字说明,证明过程或演算步骤. 三,解答题:本大题共 6 小题,共 79 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 16. (本小题满分 12 分) 已知 0a0) . ()令 F(x)=xf ,讨论 F(x)在(0,+)内的单调性并求极值; (x) ()求证:当 x1 时,恒有 xln2x-2a ln x+1.19. (本小题满分 12 分) 如图,曲线 G 的方程为 y2=2x(y0) .以原点为圆心,以 t(t 0)为半径的圆分别与 曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C. ()求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c

10、的关系式; ()设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a+2,求证:直线 CD 的斜率为定值.20. (本小题满分 13 分) 在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有 6 只果蝇的笼子里,不慎混 入了两只苍蝇(此时笼内共有 8 只蝇子:6 只果蝇和 2 只苍蝇) ,只好把笼子打开一个小孔, 让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以表示笼内还剩下的果蝇 . . 的只数. ()写出的分布列(不要求写出计算过程) ; ()求数学期望 E; ()求概率 P(E) .21. (本小题满分 14 分) 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1,以

11、后每 年交纳的数目均比上一年增加 d(d0) ,因此,历年所交纳的储务金数目 a1,a2,是一个 公差为 d 的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算 复利.这就是说,如果固定年利率为 r(r0) ,那么,在第 n 年末,第一年所交纳的储备金 - n-1 就变为 a1(1+r) ,第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r)n 2,以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额. ()写出 Tn 与 Tn-1(n2)的递推关系式; ()求证:Tn=An+Bn,其中An是一个等比数列, n是一个等差数列. B2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 年普通

12、高等学校招生全国统一考试 安徽卷) 通高等学校招生全国统一考试( 数 学(理科) 理科)参考答案一,选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 55 分. 选择题:本题考查基本知识和基本运算 每小题 1.D 7.A 2.A 8.C 3.B 9.D 4.B 10.B 5.C 11.D 6.C二,填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分. 填空题:本题考查基本知识和基本运算, 12.7 13.1 1 1 a+ b+ c 2 4 4 1 314.15.三,解答题 16. (本小题满分 12 分) 本小题主要考查周期函数, 平面向量数量积与三角函数基本关系式,

13、考查运算能力和推 理能力.本小题满分 12 分. 解:因为 为 f ( x ) = cos( 2 x + ) 的最小正周期,故 = 8 1 ) 2, 4因 ab=m,又 ab= cos a tan(a + 故 cos a tan(a +1 ) = m + 2. 4由于 0 a ,所以 42 cos 2 + sin 2(a + ) 2 cos 2 + sin(2 + 2) = cos + sin cos sin 2 cos 2 + sin 2 2 cos (cos + sin ) = cos sin cos sin 1 + tan = 2 cos tan( + ) = 2(2 + m) 1 ta

14、n 4= 2 cos 17. (本小题满分 14 分) 本小题主要考查直线与平面的位置关系, 平面与平面的位置关系, 二面角及其平面角等 有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题 满分 14 分. 解 法 1(向量法) (向量法) : 以 D 为原点, DA,DC, DD1 所在直线分别为 x 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系 D xyz 以 y z 如图,则有 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) A1 (1,0,2), B1 (1,1,2), C1 (0,1,2), D1 (0,0,2). ,()证明: A1C1 = (1,1,0

15、), AC = ( 2,2,0),D1 B1 = (1,1,0), DB = (2,2,0), AC = 2 A1C1 , DB = 2 D1 B1 . AC与 A1C1平行, 与D1 B1平行, DB于是 A1C1 与 AC 共面, B1 D1 与 BD 共面. ()证明: DD1 AC=(0, 2) 2, 0)=0, 0, ( 2,DB AC=(2, 0) 2, 0)=0, 2, ( 2, DD1 AC, AC. DB DD1与DB是平面B1 BDD1, 内的两条相交直线, AC 平面B1 BDD1 .又平面 A1 ACC1过AC, 平面A1 ACC1 平面B1 BDD1 .()解: AA

16、1=( 1, 2), 1=( 1, 1, CC1=(0, 1, . 0, BB 2), 2) 设 n = ( x1 , y1 , z1 )为平面A1 ABB1的法向量,n AA1 = x1 + 2 z1 = 0, n BB1 = x1 y1 = 2 z1 = 0,于是 y1 = 0, 取z1 = 1, 则z1 = 2, n = ( 2,0,1). 设 m = ( x 2 , y 2 , z 2 )为平面B1 BCC1的法向量,m BB1 = x 2 y 2 + 2 z 2 = 0, m CC1 = y 2 + 2 z 2 = 0.于是 x 2 = 0, 取z 2 = 1, 则y 2 = 2,

17、m = (0,2,1).cos m, n =mn 1 = m n 51 5 二面角A BB1 C的大小为 arccos解法 2(综合法) (综合法) :()证明: D1 D 平面A1 B1C1 D1 , D1 D 平面ABCD, D1 D DA,D1 D DC , 平面A1 B1C1 D1 平面 ABCD.于是 C1 D1 CD, D1 A1 DA. 设 E,F 分别为 DA,DC 的中点,连结 EF, A1 E , C1 F , 有 A1 E D1 D, C1 F D1 D, DE = 1, DF = 1. A1 E C1 F , 于是 A1C1 EF . 由 DE=DF=1,得 EFAC,

18、 故 A1C1 AC ,A1C1 与 AC 共面.过点 B1作B1O 平面ABCD于点O,则B1O / A1 E , B1O / C1 F .连结OE,OF, 于是 OE / B1 A1,OF / B1C1, OE = OF . B1 A1 A1 D1 , OE AD. B1C1 C1 D1 , OF CD.所以点 O 在 BD 上,故 D1 B1与DB共面. ()证明: D1 D 平面ABCD, D1 D AC , 又 BDAC(正方形的对角线互相垂直) ,D1 D与BD是平面B1 BDD1 内的两条相交直线, AC 平面B1 BDD1 . 又平面 A1 ACC1过AC, 平面A1 ACC1

19、 平面B1 BDD1 ,()解:直线 DB 是直线 B1 B在平面ABCD上的射影,AC DB, 根据三垂线定理,有 AC B1 B. 过点 A 在平面 ABB1 A1内作AM B1 B于M,连结MC , MO, 则 B1 B 平面AMC, 于是 B1 B MC,B1 B MO, 所以,AMC 是二面角 A B1 B C的一个平面角. 根据勾股定理,有A1 A = 5 , C1C = 5 , B1 B = 6 . OM B1 B, 有B1O OB 2 = , BM = B1 B 3 2 10 10 , AM = , CM = , 3 3 3OM=cos AMC =AM 2 + CM 2 AC

20、2 1 = , 2 AM CM 51 AMC = arccos , 5二面角 A BB1 C的大小为 arccos1 518. (本小题满分 14 分) 本小题主要考查函数导数的概念与计算, 利用导数研究函数的单调性, 极值和证明不等 式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力,本小题满分 14 分. ()解:根据求导法则得 f ( x ) = 1 2 In x 2a + , x 0. x x故 F ( x ) = xf ( x ) = x 2 In x + 2a, x 0,于是 F ( x ) = 1 列表如 下: x F(x) F(x) (0,2) 2 x2 = , x 0. x x2

21、0 极小值 F(2)(2,+) + 故知 F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+)内是增函数,所以,在 x=2 处取得 极小值 F(2)=2-2In2+2a. ()证明:由 a 0知,F ( x)的极小值F ( 2) = 2 In 2 + 2a 0. 于是由上表知,对一切 x (0,+), 恒有F ( x) = xf ( x) 0. 从而当 x 0时,恒有f ( x) 0, 故f ( x)在(0,+)内单调增加. 所以当 x 1时,f ( x) f (1) = 0, 即x 1 In 2 x + 2a In x 0. 故当 x 1时,恒有x In x 2a In x + 1.219. (本小

22、题满分 12 分) 本小题综合考查平面解析几何知识, 主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式, 直 线的方程与斜率,抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算能力与思维能力,综合分析问 题的能力.本小题满分 12 分. 解:()由题意知,A( a, 2a ) 因为 OA = t , 所以a + 2a = t2 2由于 t 0, 故有t =a 2 + 2a .(1)由点 B(0,t)C(c,0)的坐标知,直线 BC 的方程为x y + = 1. c t又因点 A 在直线 BC 上,故有a 2a + = 1, c t将(1)代入上式,得a 2a + = 1, c a ( a + 2)解得 c = a

23、 + 2 +2(a + 2) .()因为 D ( a + 2, 2( a + 2) ), 所以直线CD的斜率为k CD =2( a + 2) 2( a + 2) = = a+2c a + 2 ( a + 2 + 2( a + 2) )2( a + 2) 2( a + 2)= 1,所以直线 CD 的斜率为定值.20. (本小题满分 13 分) 本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算, 离散型随机变量的分布列, 数学期望 的概念及其计算,考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分 13 分. 解: (1) 的分布列为()数学期望为 E = ()所求的概率2 (1 6 + 2 5 + 3 4)

24、 = 2. 28P ( E ) = P ( 2) =5 + 4 + 3 + 2 + 1 15 = . 28 2821. (本小题满分 14 分) 本小题主要考查等差数列,等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料,提取 信息,建立数学模型的能力,考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分 14 分. 解: ()我们有 Tn = Tn 1 (1 + r ) + a n ( n 2). () T1 = a1 , 对n 2反复使用上述关系式,得Tn = Tn 1 (1 + r ) + a n = Tn 2 (1 + r ) 2 + a a 1 (1 + r ) + a n = = a1

25、 (1 + r )a 1+ a 2 (1 + r ) a 2 + + a n 1 (1 + r ) + a n .在式两端同乘 1+r,得(1 + r )Tn = a1 (1 + r ) a + a 2 (1 + r ) n1 + + a n 1 (1 + r ) 2 + a n (1 + r ).-,得rTn = a1 (1 + r ) n + d (1 + r ) n1 + (1 + r ) n 2 + + (1 + r ) a n=d (1 + r ) n 1 r + a1 (1 + r ) n a n , r a1r + d d ar+d (1 + r )n n 1 2 2 r r ra1 r + d a r+d d (1 + r ) n , Bn = 1 2 n, 2 r r r即 Tn =如果记 An =则 Tn = An + Bn ,其中 An 是以a1 r + d (1 + r )为首项,以1 + r (r 0)为公比的等比数列; Bn 是以 r2a1r + d d d 为首项, 为公差的等差数列 . 2 r r r