完整word二次函数综合题型分类训练.docx
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完整word二次函数综合题型分类训练
专题一 二次函数之面积、周长最值问题
1、如图,抛物线
与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.
(1)求抛物线的解析式。
(2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
2、如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M在对称轴上一点,求使MN+MD的值最小时的M的坐标;
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
3、如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(2,3),tan∠DBA=
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C、A,求四边形BMCA面积的最大值;
4、如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?
若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作y轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
5、如图12,已知二次函数
的图象与x轴的正半轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,且OC2=OA·OB.
(1)求c的值;
(2)若△ABC的面积为3,求该二次函数的解析式;
(3)设D是
(2)中所确定的二次函数图象的顶点,试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
6、如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?
若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如果点P是
(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?
若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.
专题二 二次函数之等腰三角形问题
1、如图,抛物线y=ax2—5ax+4经过ABC△的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上, 点C在y轴上,且AC=BC.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出A、B、C三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:
若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在PAB是等腰三角形.若存在, 求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.
2、如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?
若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点M是抛物线上一点,以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.
3、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C.
(1)若m=2,n=1,求A、B两点的坐标;
(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是(0,﹣1),求∠ACB的大小;
(3)若m=2,△ABC是等腰三角形,求n的值.
4、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标;
(3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形,将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S.
5、如图,已知抛物线经过A(1,0),B(0,3)两点,对称轴是x=﹣1.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)动点Q从点O出发,以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动,同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.
①当t为何值时,四边形OMPQ为矩形;
②△AON能否为等腰三角形?
若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
6、如图,已知抛物线y=﹣
x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)试判断△AOC与△COB是否相似?
并说明理由;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?
若不存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
7、已知Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点在y轴正半轴上。
如图1
(1)求线段OA,OB的长和经过点A,B的抛物线的解析式;
(2)如图2,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E。
①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标;
②连接CD,CP,如图3,△CDP是否有最大面积?
若有,求出它的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由。
专题三 二次函数之面积问题
1、如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3).
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m),求m的值和这个一次函数的解析式;
(3)第
(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;
(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足:
3S1=2S?
若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.
2、阅读材料:
如图,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,
外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在
△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
解答下列问题:
如图,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B。
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB;
(3)是否存在一点P,使
,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。
专题四二次函数之相似三角形问题
1、如图,已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)经过A(—1,0),B(4,0),C(0,2)三点。
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)E为抛物线上一动点,是否存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似?
若存在,试求出E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若将直线BC平移,使其经过点A,且与抛物线相交于点D,链接BD,试求出∠BDA的度数。
2、如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,将边BC折叠,使点B落在边OA的点D处。
已知折叠
且
。
(1)判断
与
是否相似?
请说明理由;
(2)求直线CE与x轴交点P的坐标;
(3)是否存在过点D的直线l,使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似?
如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由.
3、如图,直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于B、C,经过B、C两点的抛物线y=ax2
+bx+c与x轴另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2,
(1)求抛物线解析式;
(2)连结AC,请问在x轴上是否存在点Q,使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似,若存在,请求出Q点坐标;若不存在,说明理由。
(3)D点为第四象限的抛物线上一点,过点D作DE⊥x轴,交CB于E,垂足于H,过D作DF⊥CB,垂足为F,交x轴于G,试问是否存在这样的点D,使得△DEF的周长恰好被x轴平分?
若能,请求出D点坐标;若不能,请说明理由.
专题五二次函数之四边形问题
1、
如图,对称轴为直线
的抛物线经过点 A(6,0)和B(0,4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?
若存在,求出点E
的坐标;若不存在,请说明理由.
2、如图,已知与x轴交于点(1,0)A,和(5,0)B,的抛物线
的顶点为C(3,4),抛物线
与
关于x轴对称,顶点为
.
(1)求抛物线
的函数关系式;
(2)已知原点O,定点D(0,4),
上的点P与
上的点
始终关于x轴对称,则当点P运动到何处时,以点
为顶点的四边形是平行四边形?
(3)在
上是否存在点M,使ABM△是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形?
若存,
求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
3、如图在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=(x—m)2—m2+m的顶点为A,与y轴的交点为B,连接AB,AC⊥AB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连接BD,做AE∥x轴,DE∥y轴,
(1)当m=2时,求点B的坐标;
(2)求DE的长?
(3)①设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式?
②过点D作AB的平行线,与第(3)①题确定的函数图象的另一交点为P,当m为何值时,以A,B,D,P为顶点的四边形是平行四边形?
4、如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,与y轴交于C点,对称轴与抛物线相交于点P,与直线BC相交于点M,连接PB.已知x1、x2恰是方程x2—2x—3=0的两根,且sin∠OBC=
(1)求该抛物线的解析式;(y=-x2+2x+3 )
(2)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等,若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等,若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.
5、已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(x1,0)、B(—1,0)且x1>0,AO2+BO2=10,抛物线交y轴于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明△ADC是直角三角形;
(3)第一象限内,在抛物线上是否存在一点E,使∠ECO=∠ACB?
若存在,求出点E的坐标.
6、如图,已知:
直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D的坐标为(—1,0),在直线y=—x+3上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似,求出点P的坐标;
(3)
在
(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积?
如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由.
7、如图,抛物线y=—x2—2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求A、B、C的坐标;
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N。
若点P在点Q左边,当矩形PQMN的周长最大时,求△AEM的面积;
(3)在
(2)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ。
过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FC=
DQ,求点F的坐标。