西安交大数学专业课程设置.docx
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西安交大数学专业课程设置
“微分几何”课程教学大纲
英文名称:
DifferntialGeometry
课程编号:
B09043
学时:
54学分:
3.5
适用对象:
理学院数学各专业本科生(二年级下)
先修课程:
数学分析、高等代数与几何
使用教材及参考书:
陈维恒著,《微分几何初步》,北大出版社
梅向明著,《微分几何》
虞言林著,《微分几何》
一、课程性质、目的和任务
本课程主要介绍3-维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论,使学生树立正确的几何观念,为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。
二、教学基本要求
本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段,会进行初步的曲率计算,并能理解Gauss绝妙定理的重要意义。
三、教学内容及要求
第一章预备知识
1.标架
2.向量值函数
第二章曲线论
1.参数曲线
2.曲线的弧长
3.曲线的曲率和Frenet标架
4.挠率和Frenet公式
5.曲线论基本定理
6.曲线在一点的标准展开
7.平面曲线
重点掌握:
曲线的Frenet标架及Frenet公式
第三章曲面的第一基本形式
1.曲面的定义
2.切不面及切向量
3.曲面的第一基本形式
4.曲面上正交参数曲面网的存在性
5.保长对应和保角对应
6.可展曲面
重点掌握:
第一基本形式的定义,计算及作用,可展曲面的三种基本形式。
第四章曲面的第二基本形式
1.第二基本形式
2.法曲率
3.Gauss映射和Weingarten映射
4.主方向和主曲率的计算
5.Duppin标形和曲面在一点的近似展开
6.某些特殊曲面。
重点掌握:
第二基本形式的定义,法曲率、主曲率、Gauss曲率、中曲率的计算。
第五章曲面论基本定理
1.自然标架的运动公式
2.曲面一唯一性定理
3.曲面论基本议程
4.曲面的存在定理
5.Gauss定理。
重点掌握:
自然标架的运动公司,曲面基本议程,Gauss曲率的内在计算(Gauss定理)。
第六章测地曲率和测地线
1.测地曲率和测地挠率
2.测地线
3.测地坐标系
4.常曲率曲面
5.向量场的平行移动
6.Gauss-Bonnet公式
重点掌握:
测地曲率的定义和测地线议程,平行移动和协变微分。
四、学时分配
章
内容
参考学时
1
预备知识
2
2
曲线论
8
3
第一基本形式
10
4
第二基本形式
10
5
曲面论基本定理
14
6
测地曲率及测地线
10
大纲制定者:
李洪军执笔
大纲审定者:
陈红斌
大纲批准者:
张胜利
大纲校对者:
李洪军
“数学分析”课程教学大纲
英文名称:
Mathematicalanalysis
课程编号:
BO
课程类型:
必修课
学时:
256学分:
适用对象:
理学院数学各专业一、二年级本科生
先修课程:
高中数学
使用教材及参考书:
1.陈传璋等,《数学分析》,高等教育出版社。
2.张筑生主编,《数学分析新讲》,北京大学出版社,1999年
3.W.RudinPrincipleofMathematicalAnalysis3rd
McGraw-HillBookCompany,NewYork1976
一、课程性质、目的和任务
本课程是理科数学专业的主要基本课之一,通过本课程的学习了解分析学的概貌,学会分析方法,培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。
二、教学基本要求
要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。
通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节,使得学生做到清晰、推严密、运算准确,并且了解分析学的基本要领及物理、几何意义,学会应用这些基本理论及方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。
三、教学内容及要求
第一章集合、映射与函数
重点掌握:
集合、映射与函数的概念,函数的表示,函数的复合运算。
第二章序列极限
重点掌握:
序列极限的定义与性质,敛散性判定的单调有界原理。
了解:
区间套定理及柯西收敛准则。
第三章函数极限与连续
重点掌握:
函数极限的定义与性质,两个重要极限,函数连续的定义,闭区间上连续函数的性质,无穷小量与无穷大量的定义与性质。
了解:
一致连续函数概念,无穷大(小)量阶的概念。
第四章微分、导数
重点掌握:
微分与导数的定义、运算及应用,高阶导数与高阶微分。
第五章利用导数研究函数
重点掌握:
微分中值定理,洛比达法则,泰勒公式,利用导数作函数图象、分析并作图。
了解:
平面曲线的曲率,弧长的微分及计算。
第六章不定积分
重点掌握:
不定积分的定义及性质,不定积分的计算。
第七章定积分的定义,存在的条件,可积函数,定积分的性质,定积分的计算,定积分的应用。
了解:
微分方法概念。
第八章欧氏空间与多元函数
重点掌握:
n维欧氏空间定义,Rn中点集的拓朴及基本性质,多元函数的概念,多元函数的极限与连续性概念与性质。
了解:
连续与紧性,连续与连通性等概念。
第九章多元函数的微分学
重点掌握:
偏导与全微分的概念,复合函数偏导数的链式法则,一阶微分形式的不变性,微分运算法则。
了解:
高阶偏导数和高阶全微分,泰勒公式。
第十章多元函数微分学的应用
重点掌握:
方向导数、梯度的定义与计算,曲线的切线与曲面的切平面议程,极值与条件极值概念与计算。
了解:
陷函数的重积分
第十一章多元函数的重积分
重点掌握:
重积分的概念与积分的性质,二重积分及三重积分的计算,柱面坐标与球面坐标。
了解:
重积分在物理上的应用。
第十二章曲线积分与曲面积分
重点掌握:
第一类曲线积分与曲面积分的定义及计算,第二类曲线积分与曲面积分的定义及计算。
了解:
它们的几何或物理意义及应用。
第十三章:
各种积分间的联系
重点掌握:
格林公式,曲线积分和路径的无关性,高斯公式,斯托克司公式。
第十四章广义积分
重点掌握:
无穷区间上广义积分的概念及收敛性的判别法,无界函数的广义积分的概念及收敛性的判别法。
第十五章数项级数
重点掌握:
无穷级数及其收敛性的概念,收敛级数的基本性质,正项级数、任意项级数及其收敛性判别法,绝对收敛级数与条件收敛级数的性质。
了解:
广义积分与级数的关系,上极限与下极限概念。
第十六章函数项级数、幂级数
重点掌握:
函数项级数的概念,一致收敛的定义,一致收敛级数的性质,幂级数概念,收敛半径,幂级数的性质,函数的幂级数展开。
了解:
逼近定理。
第十七章傅里叶级数
重点掌握:
傅里叶级数的要领及其收敛性判别法,任意周期的傅里叶展开及其复数形式,基本三角函数系,狄利克雷积分,黎曼引理,傅里叶变换。
第十八章实数理论
重点掌握:
上、下确界的概念,实数的基本定理及其证明(包括区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有界覆盖定理等),闭区间上连续函数的性质,一致连续性定理及其证明。
第十九章含参变量的积分
重点掌握:
含参变量的积分的概念及计算。
第二十章含参量的广义积分
重点掌握:
含参变量的广义积分的概念,一致收敛的定义,一致收敛积分的性质及判别法,欧拉积分。
了解:
阿贝尔判别法、狄立克莱判别法,Γ函数、β函数,含参变量积分与函数逼近问题。
第二十一章场论初步
重点掌握:
场的概念,场的表示法,向量场的通量、散度和高斯公式,向量场的环量和旋度。
了解:
保守场与势函数。
第二十二章节外微分形式与斯托克司公式
重点掌握:
反对称的κ重线性函数,κ次微分形式,外微分,微分形式的变量替换,高斯定理,斯托克司公式。
掌握外微分形式与斯托克司公式。
了解:
流形与流形上的积分。
四、学时分配
章
内容
参考学时
1
集合、映射与函数(含习题课、下同)
6
2
序列极限
16
3
函数极限与连续
16
4
微分、导数(含期中测验)
16
5
利用导数研究函数
16
6
不定积分
16
7
定积分及其应用
16
8
欧氏空间与多元函数
6
9
多元函数的微分学
14
10
多元函数微分学的应用
14
11
隐函数定理
14
12
多元函数的重积分(含期中测验)
16
13
曲线积分与曲面积分
16
14
各种积分间的联系
12
15
广义积分
8
16
数项级数
14
17
函数项级数
14
18
傅里叶级数
16
19
关于实数理论的进一步知识(含期中测验)
18
20
含参变量的积分
6
21
含参变量的广义积分
14
22
场论初步
10
23
外微分形式与斯托克司公式
8
大纲制定者:
陈红斌执笔
大纲审定者:
赫孝良
大纲批准者:
张胜利
大纲校对者:
陈红斌
“复变函数”课程教学大纲
英文名称:
Theoryof0necomplexvariable{Complexanaylsis}
课程编号:
C09003
课程类型:
必修课(双语)
学时:
60学分:
4
适用对象:
理学院数学各专业本科生(二年级下)
先修课程:
数学分析、高等代数与几何
使用教材及参考书:
钟玉泉:
《复变函数论》,高教出版社。
余家荣:
《复变函数论》,高教出版社。
Ahlfors:
《ComplexAnalysis》McGraw-HillBookCompany。
Marsden<一、课程性质、目的和任务
本课程是理科数学专业的基础课之一,通过本课程的学习使学生掌握复变函数论的基本理论和内容与方法,为工程应用打下基础,也为进一步学习与研究多复变函数、复动力系统、复几何等提供必要的预备知识。
二、教学基本要求
要求学生熟悉掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算、学会应用本课程的基本理论及方法支解决工程实际提出的问题,并通过对英文版教材的教学与阅读,提高学生的专业外语水平。
三、教学内容及要求
第一章平面点集与初等函数
重点掌握:
复平面上的点集、复变函数概念;复变函数的极限与连续性概念及有关理论;解析函数的概念与柯西一黎曼条件、复变函数的导数与微分、初等解析函数。
了解:
复球面与无穷远点,初等多值函数等内容。
第二章全纯函数与柯西积分
重点掌握:
全纯函数概念,复变函数积分的定义及基本性质、柯西积分定理、柯西积分公式。
了解:
柯西型积分,解析函数与调合函数的关系,平面向量场一解析函数的应用。
第三章解析函数的幂级数表示法
重点掌握:
复级数的基本性质,幂级数及其敛散性,解析函数的泰勒展式及罗朗展式。
了解:
解析函数零点孤立性及唯一性定理。
第四章奇点与留数
重点掌握:
解析函数的孤立奇点,解析函数在无穷远点的性质,留数及留数定理与计算实积分。
了解:
整函数与亚纯函数概念,平面向量场——解析函数的应用;辐解原理。
第五章共形映射
重点掌握:
解析变换的特性,线性变换,某些初等函数所构成的共形映射。
第六章解析延拓
重点掌握:
解析延拓与幂级数延拓概念,透弧解析延拓,对称原理。
了解:
完全解析函数及黎曼面概念,多角形式域的共形映射。
第七章黎曼定理与正规族
了解:
黎曼定理与正规族的概念。
四、学时分配
章
教学内容
参考学时
1
平面点集与初等函数
10
2
全纯函数与柯西积分
10
3
解析函数的幂级数表示法
12
4
奇点与留数
12
5
共形映射
10
6
解析延拓
6
7
黎曼定理与正规族
4