勒让德函数.docx
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勒让德函数
在特殊函数中的应用
1作出0-4阶勒让德函数图形
>>x=0:
0.01:
1;
y0=legendre(0,x);
y1=legendre(1,x);
y2=legendre(2,x);
y3=legendre(3,x);
y4=legendre(4,x);plot(x,y0(1,:
),'g*',x,y1(1,:
),'b+',x,y2(1,:
),'ro',x,y3(1,:
),'k:
',x,y4(1,:
),'r:
')
>>legend('P_0','P_1','P_2','P_3','P_4');title('Legendre')
>>〔仿真结果〕
2作出二阶连带勒让德函数图形
>>x=0:
0.01:
1;
y=legendre(2,x);
plot(x,y(1,:
),'g*',x,y(2,:
),'b+',x,y(3,:
),'ro')
>>legend('P_2^0','P_2^1','P_2^2')
3作出三阶连带勒让德函数图形
>>x=0:
0.01:
1;
y=legendre(3,x);
plot(x,y(1,:
),'g*',x,y(2,:
),'b+',x,y(3,:
),'ro',x,y(4,:
),'k:
')
>>legend('P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3')
4作出整数阶贝塞尔函数的图形
>>clear
y=besselj(0:
5,(0:
0.2:
10)');
plot((0:
0.2:
10)',y)
ylabel('j_v(x)')
xlabel('x')
legend('J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','J_5')
text(1,0.8,'J_0(x)')
text(2,0.6,'J_1(x)')
text(3,0.5,'J_2(x)')
text(4.2,0.4,'J_3(x)')
text(5.1,0.4,'J_4(x)')
>>text(6.5,0.4,'J_5(x)')
Legendre函数
2007年12月13日星期四01:
00
Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的,是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。
1.氢原子波函数的角度部分:
用MATLAB来画一画:
l=0,m=0,即s轨道角度部分:
t=0:
0.01:
2*pi;
y0n=legendre(0,cos(t),'sch');
polar(t,y0n(1,:
).^2);
l=1,m=0,+1,-1即p轨道角度部分:
t=0:
0.01:
2*pi;
y1n=legendre(1,cos(t),'sch');
polar(t,y1n(1,:
).^2,'r');
holdon;
polar(t,y1n(2,:
).^2,'g');
l=2,m=0,+1,-1,+2,-2即d轨道角度部分:
t=0:
0.01:
2*pi;
y2n=legendre(2,cos(t),'sch');
polar(t,y2n(1,:
).^2,'r');%d(z^2)
holdon;
polar(t,y2n(2,:
).^2,'g');
polar(t,y2n(3,:
).^2,'b');
Legendre多项式
函数
〔7.12〕
由于展开式
〔7.13〕
而称为Legendre〔勒让德〕多项式的母函数。
展开项系数
称为Legendre多项式,下节将证明它满足Legendre方程式〔7.11〕。
称为阶。
将式〔7.13〕左边利用二项式定理展开,有
在上式中,含有
的项只出现在含
的项和以前各项中。
在这些项中,将含
的各项展成幂级数,并找出所有含
的项,其系数合为
〔7.13〕
其中,
这是因为当
时,求和中最低幂项是
,当
时,最低幂项是
。
Legendre多项式的具体形式写成
〔7.14〕
Legendre多项式的另一微商表达式是Rodrigues〔洛德利格〕公式
〔7.15〕
〔7.14〕式和〔7.15〕的正确性可以代入Legendre方程式〔7.11〕直接证明。
由式〔7.14〕和〔7.15〕可得出前几阶Legendre多项式具体形式
在区间〔-1,1〕上的图形,一般有
图7.1Legendre函数
第二类Legendre函数
值得一提的式,Legendre方程〔7.11〕应有另一个独立的解,这个解称为第二类Legendre函数,记为
。
其形式为
等一般的形式是
由于
的对数形式,第二类Legendre函数在边界
是无界的〔并非全部
〕。
因此不能构成Legendre方程的本征函数系,所以,对
将不在作讨论。
Legnedre多项式的零点
的零点都是一阶的,全部位于区域〔-1,1〕内。
且
与
的零点相互穿插,在
的两个相邻零点之间必有一个
的零点;反之亦然。
2.3Legnedre多项式的性质
Legendre多项式的性质如下:
递推公式
①
(7.16)
(7.17)
(7.18)
(7.19)
②
(7.20)
对称性
③
(7.21)
特殊点的值
④
(7.22)
⑤
(7.23)
⑥
(7.24)
积分表达形式
⑦
(7.25)
Laplace第一积分
⑧
(7.26)
取
,由式〔7.26〕得
取
,由式〔7.26〕得
⑨
(7.27)
Laplace第二积分
⑩
(7.28)
积分公式
〔7.29〕
〔7.30〕
〔7.31〕
利用Rodrigues公式〔7.15〕可证明积分公式,下面证明方程〔7.31〕。
利用式〔7.15〕,有
将积分作
次分部积分,然后设
,并利用积分公式
得
下面由母函数入手,证明Legendre多项式得递推公式,将母函数式〔7.12〕写下
〔7.12〕
对式〔7.12〕两边取
导数,得
用
乘上两边,得
将上式左边中母函数再作展开,得等式
〔7.32〕
比较〔7.32〕式两边项得系数,得递推关系。
这是式〔7.20〕的结果。
同理,对式〔7.12〕两边的求导,得
将上式两边乘以
,并将左边母函数展开,得
〔7.33〕
比较
项的系数,得
这就是式〔7.19〕。
其它递推公式可依此导出,这里不再证明。
利用母函数,已证明Legendre式多项式〔7.14〕满足递推公式〔7.16〕~〔7.20〕,则式〔7.14〕是Legendre方程〔7.11〕的解。
下面证明定理。
定理设函数是
在〔-1,1〕区间上有一、二阶连续倒数的连续函数,
假设
满足递推公式〔7.16〕和式〔7.17〕~〔7.20〕,则
是Legendre方程
的解。
将递推公式〔7.16〕两边对
求导,得
〔7.34〕
再将式〔7.16〕乘以
,得
〔7.35〕
将式〔7.34〕乘以
,并与式〔7.35〕相加,得
〔7.36〕
由式〔7.17〕,将
换
成,有
〔7.37〕
将式〔7.37〕两边对
求导,得
〔7.38〕
或写成
〔7.39〕
将式〔7.39〕代入式〔7.36〕,得
〔7.40〕
再由式〔7.16〕将式〔7.40〕中的
项替代,最后,得到Legendre方程
2.4Fourier-Legendre级数
第6章§1.3讨论了区间〔-1,1〕上,Legendre方程的本征值为
〔7.41〕
相应的本征函数是Legendre多项式
〔7.42〕
由Legendre方程〔7.11〕知
,
。
在
边界,
因而Legendre方程的解满足自然边界条件,因而有本征函数正交性
〔7.43〕
第6章§
在区间〔-1,1〕上用Legendre函数展成的广义Fourier级数,称为Fourier-Lengendre级数。
模计算如下:
将母函数式〔7.12〕两边平方,得
〔7.47〕
Fourier-Lengendre级数展开定理
假设在区间〔-1,1〕上连续,或有限第一类间断点,那么,Fourier-Lengendre级数
〔7.44〕
其中
〔7.45〕
〔7.46〕
在〔-1,1〕上的连续点收敛于
;在
的间断点,则收敛于平均值
;在
,收敛于
;在
,级数收敛于
。
将方程〔7.47〕两边对
从-1到1积分,并利用正交关系式〔7.43〕可知式〔7.47〕右边的第二项积分等于零。
于是,有
〔7.48〕
式〔7.48〕左边的积分可完成为
〔7.49〕
将式〔7.49〕与式〔7.48〕的右边相比较,得
【】在〔-1,1〕区间上,试求
展成Fourier-Lengendre级数。
解设
根据积分公式〔7.30〕可知,当
时,所有积分等于零,即
利用式〔7.29〕,计算得
〔被积函数是奇函数〕
于是有
由上述计算可得出以下结论:
在的Fourier-Lengendre级数中,假设是奇数,只含奇数阶Lengendre多项式;假设为偶数,只含偶数阶Lengendre多项式。
且Lengendre多项式的阶数最高阶为。
下面列出部分的Fourier-Lengendre多项式的阶数:
由本章§1的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解。
把对称轴取作求坐标的轴,Helmholtz方程描写的轴对称问题形式解为
〔7.50〕
Laplace方程描写的轴对称问题的形式解:
(7.51)
对于球内问题,有
对于球外问题,
应为零。
【】半径为的均匀带电圆环,总电量为
,如图7.2,求圆环周围空间的电势。
图7.2带电的圆环
解先由Coulomb〔库仑〕定律求在
轴上的电势,
〔7.52〕
将式〔7.52〕作Laurant〔罗朗〕展开,得
〔7.53〕
势〔7.53〕可看成是形式解〔7.51〕在
的边界条件。
比较两式,且有
,得
【】半径为的半球导体,球面温度保持在,底面温度保持为,如图7.3,求半导体球内的稳定温度分布。
图7.3半圆形导体
解稳定时,导体内的温度分布满足Laplace方程。
温度分部具有轴对称性。
对于球内问题,由式〔7.51〕有
〔7.54〕
边界条件是
〔7.55〕
〔7.56〕
由式〔7.55〕,有
显然,只有当
为奇数
时才有
。
因而,式〔7.54〕成为
〔7.57〕
由式〔7.56〕,有
利用Fourier-Legendre级数展开定理,有
〔7.58〕
①题的结果求得的。
将式〔7.58〕换写成
表达式,并代入式〔7.57〕,有
〔7.59〕
§3*连带LEGENDRE多项式
3.1连带LEGENDRE多项式
上节讨论了对称的定解问题,当
时,式〔7.5〕转变成Legendre方程〔7.10〕。
当物理问题是非轴对称时,
将式〔7.5〕写下:
〔7.59〕
类似地,作代换,令
,式〔7.5〕变成连带Legendre方程
〔7.60〕
式〔7.60〕的本征值是
,只有当
取
等整数时,式〔7.60〕才有本征函数解。
设
〔7.61〕
于是,有
将上述结果代入式〔7.60〕得
〔7.62〕
另则,由Legendre方程〔7.11〕对
作
次求导,得
〔7.63〕
比较式〔7.63〕与〔7.62〕有
〔7.64〕
由式〔7.61〕得到满足方程〔7.60〕的连带Legendre多项式
〔7.65〕
在以上推导中,
阶导数表示为
特别是
3.2连带LEGENDRE多项式的性质
积分表达式
①
〔7.67〕
递推公式
②
〔7.68〕
③
(7.69)
④
〔7.70〕
⑤
〔7.71〕
对称性
⑥
〔7.72〕
⑦
〔7.73〕
⑧
〔7.74〕
正交关系
⑨
〔7.75〕
⑩
〔7.76〕