勒让德函数.docx

1、勒让德函数在特殊函数中的应用1 作出0-4阶勒让德函数图形x=0:0.01:1;y0=legendre(0,x);y1=legendre(1,x);y2=legendre(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x); plot(x,y0(1,:),g*,x,y1(1,:),b+,x,y2(1,:),ro,x,y3(1,:),k:,x,y4(1,:),r:) legend(P_0,P_1,P_2,P_3,P_4);title(Legendre)仿真结果2 作出二阶连带勒让德函数图形x=0:0.01:1;y=legendre(2,x);plot(x,y(1,:),

2、g*,x,y(2,:),b+,x,y(3,:),ro) legend(P_20,P_21,P_22)3 作出三阶连带勒让德函数图形x=0:0.01:1;y=legendre(3,x);plot(x,y(1,:),g*,x,y(2,:),b+,x,y(3,:),ro,x,y(4,:),k:)legend(P_30,P_31,P_32,P_33)4 作出整数阶贝塞尔函数的图形cleary=besselj(0:5,(0:0.2:10);plot(0:0.2:10),y)ylabel(j_v(x)xlabel(x)legend(J_0,J_1,J_2,J_3,J_4,J_5)text(1,0.8,J_

3、0(x)text(2,0.6,J_1(x)text(3,0.5,J_2(x)text(4.2,0.4,J_3(x)text(5.1,0.4,J_4(x)text(6.5,0.4,J_5(x)Legendre函数2007年12月13日 星期四 01:00Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的，是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。1. 氢原子波函数的角度部分：用MATLAB来画一画：l=0,m=0，即s轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y0n=legendre(0,cos(t),sch);polar(t,y0n(1,:).2);l=1,m=0,+1,-1 即p轨道角度部分：

4、t=0:0.01:2*pi;y1n=legendre(1,cos(t),sch);polar(t,y1n(1,:).2,r);hold on;polar(t,y1n(2,:).2,g);l=2,m=0,+1,-1,+2,-2 即d轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y2n=legendre(2,cos(t),sch);polar(t,y2n(1,:).2,r); %d(z2)hold on;polar(t,y2n(2,:).2,g); polar(t,y2n(3,:).2,b);Legendre多项式 函数 7.12 由于展开式 7.13 而称为Legendre勒让德多项式的母函数。展开

5、项系数 称为Legendre多项式，下节将证明它满足Legendre方程式7.11。称为阶。 将式7.13左边利用二项式定理展开，有 在上式中，含有 的项只出现在含 的项和以前各项中。在这些项中，将含 的各项展成幂级数，并找出所有含 的项，其系数合为 7.13 其中， 这是因为当 时，求和中最低幂项是 ，当 时，最低幂项是 。Legendre多项式的具体形式写成 7.14 Legendre多项式的另一微商表达式是Rodrigues洛德利格公式 7.15 7.14式和7.15的正确性可以代入Legendre方程式7.11直接证明。 由式7.14和7.15可得出前几阶Legendre多项式具体形式

6、 在区间1，1上的图形，一般有 图7.1 Legendre函数第二类Legendre函数 值得一提的式，Legendre方程7.11应有另一个独立的解，这个解称为第二类Legendre函数，记为 。其形式为 等一般的形式是 由于 的对数形式，第二类Legendre函数在边界 是无界的并非全部 。因此不能构成Legendre方程的本征函数系，所以，对 将不在作讨论。 Legnedre多项式的零点 的零点都是一阶的，全部位于区域1，1内。且 与 的零点相互穿插，在 的两个相邻零点之间必有一个 的零点；反之亦然。 2.3 Legnedre多项式的性质 Legendre多项式的性质如下： 递推公式 (

7、7.16) (7.17) (7.18) (7.19) (7.20) 对称性 (7.21) 特殊点的值 (7.22) (7.23) (7.24) 积分表达形式 (7.25) Laplace第一积分 (7.26) 取 ，由式7.26得 取 ，由式7.26得 (7.27) Laplace第二积分 (7.28) 积分公式 7.29 7.30 7.31 利用Rodrigues公式7.15可证明积分公式，下面证明方程7.31。利用式7.15，有 将积分作 次分部积分，然后设 ，并利用积分公式 得 下面由母函数入手，证明Legendre多项式得递推公式，将母函数式7.12写下 7.12 对式7.12两边取

8、导数，得 用 乘上两边，得 将上式左边中母函数再作展开，得等式 7.32 比较7.32式两边项得系数，得递推关系。 这是式7.20的结果。 同理，对式7.12两边的求导，得 将上式两边乘以 ，并将左边母函数展开，得 7.33 比较 项的系数，得 这就是式7.19。其它递推公式可依此导出，这里不再证明。 利用母函数，已证明Legendre式多项式7.14满足递推公式7.167.20，则式7.14是Legendre方程7.11的解。下面证明定理。 定理 设函数是 在1，1区间上有一、二阶连续倒数的连续函数， 假设 满足递推公式7.16和式7.177.20 ， 则 是Legendre方程 的解。 将

9、递推公式7.16两边对 求导，得 7.34 再将式7.16乘以 ，得 7.35 将式7.34乘以 ，并与式7.35相加，得 7.36 由式7.17，将 换 成，有 7.37 将式7.37两边对 求导，得 7.38 或写成 7.39 将式7.39代入式7.36，得 7.40 再由式7.16将式7.40中的 项替代，最后，得到Legendre方程 2.4 FourierLegendre级数 第6章1.3讨论了区间1，1上，Legendre方程的本征值为 7.41 相应的本征函数是Legendre多项式 7.42 由Legendre方程7.11知 ， 。在 边界， 因而Legendre方程的解满足自

10、然边界条件，因而有本征函数正交性 7.43第6章 在区间1，1上用Legendre函数展成的广义Fourier级数，称为FourierLengendre级数。 模 计算如下：将母函数式7.12两边平方，得 7.47 FourierLengendre级数展开定理 假设在区间1，1上连续，或有限第一类间断点，那么，FourierLengendre级数 7.44 其中 7.45 7.46 在1，1上的连续点收敛于 ；在 的间断点，则收敛于平均值 ；在 ，收敛于 ；在 ，级数收敛于 。 将方程7.47两边对 从1到1积分，并利用正交关系式7.43可知式7.47右边的第二项积分等于零。于是，有 7.48

11、 式7.48左边的积分可完成为 7.49 将式7.49与式7.48的右边相比较，得 【】在1，1区间上，试求 展成FourierLengendre级数。 解 设 根据积分公式7.30可知，当 时，所有积分等于零，即 利用式7.29，计算得 被积函数是奇函数 于是有 由上述计算可得出以下结论：在的FourierLengendre级数中，假设是奇数，只含奇数阶Lengendre多项式；假设为偶数，只含偶数阶Lengendre多项式。且Lengendre多项式的阶数最高阶为。 下面列出部分的FourierLengendre多项式的阶数： 由本章1的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解。把对称轴

12、取作求坐标的轴，Helmholtz方程描写的轴对称问题形式解为 7.50 Laplace方程描写的轴对称问题的形式解： (7.51) 对于球内问题，有 对于球外问题， 应为零。 【】半径为的均匀带电圆环，总电量为 ，如图7.2，求圆环周围空间的电势。 图 7.2 带电的圆环解 先由Coulomb库仑定律求在 轴上的电势， 7.52 将式7.52作Laurant罗朗展开，得 7.53 势7.53可看成是形式解7.51在 的边界条件。比较两式，且有 ，得 【】半径为的半球导体，球面温度保持在，底面温度保持为，如图7.3，求半导体球内的稳定温度分布。 图7.3 半圆形导体解 稳定时，导体内的温度分布

13、满足Laplace方程。温度分部具有轴对称性。对于球内问题，由式7.51有 7.54 边界条件是 7.55 7.56 由式7.55，有 显然，只有当 为奇数 时才有 。因而，式7.54成为 7.57 由式7.56，有 利用FourierLegendre级数展开定理，有 7.58 题的结果求得的。将式7.58换写成 表达式，并代入式7.57，有 7.59 3* 连带LEGENDRE多项式 3.1 连带LEGENDRE多项式 上节讨论了对称的定解问题，当 时，式7.5转变成Legendre方程7.10。当物理问题是非轴对称时， 将式7.5写下： 7.59 类似地，作代换，令 ，式7.5变成连带Legendre方程 7.60 式7.60的本征值是 ，只有当 取 等整数时，式7.60才有本征函数解。设 7.61 于是,有 将上述结果代入式7.60得 7.62 另则，由Legendre方程7.11对 作 次求导，得 7.63 比较式7.63与7.62有 7.64 由式7.61得到满足方程7.60的连带Legendre多项式 7.65 在以上推导中， 阶导数表示为 特别是 3.2 连带LEGENDRE多项式的性质 积分表达式 7.67 递推公式 7.68 (7.69) 7.70 7.71 对称性 7.72 7.73 7.74 正交关系 7.75 7.76