图形的镶嵌与图形的设计.docx

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图形的镶嵌与图形的设计

图形的镶嵌与图形的设计

一、选择题

1.（2012安徽省4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【】

A.10B.

C.10或

D.10或

【答案】C。

【考点】图形的剪拼，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理

【分析】考虑两种情况，分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。

根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长：

①如左图：

∵

，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=10。

②如右图：

∵

，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=

。

因此，原直角三角形纸片的斜边长是10或

。

故选C。

2.7.（2012四川广元3分）下面的四个图案中，既可以用旋转来分析整个图案的形成过程，又可以用轴对

称来分析整个图案的形成过程的图案有【】

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A。

【考点】利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案。

【分析】根据旋转、轴对称的定义来分析，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定

角度的位置移动；轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称．

图形1、图形4可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；

图形2、图形3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；

故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有4

个。

故选A。

3.（2012贵州铜仁4分）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【】

　　A．54　　B．110　　C．19　　D．109

【答案】D。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。

【分析】寻找规律：

第①个图形中有1个平行四边形；

第②个图形中有1+4=5个平行四边形；

第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形；

第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形；

…

第n个图形中有1+2（2+3+4+…+n）个平行四边形；

则第⑩个图形中有1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109个平行四边形。

故选D。

4.（2012山东济宁3分）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是【】

A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米

5.（2012山东枣庄3分）如图，从边长为（

）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（

）cm的正方形（

），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为【】

A．

B．

C．

D．

【答案】D。

【考点】图形的剪拼。

【分析】从图中可知，矩形的长是两个正方形边长的和

，宽是两个正方形边长的差3，因此矩形的面积为

。

故选D。

6.（2012山东潍坊3分）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是【】．

A．黑（3，7）；白（5，3）B．黑（4，7）；白（6，2）

C．黑（2，7）；白（5，3）D．黑（3，7）；白（2，6）

【答案】C。

【考点】利用轴对称设计图案。

【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答：

A、若放入黑（3，7），白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；

B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；

C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形；

D、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形。

故选C。

7.（2012广西贵港3分）如果仅用一种多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是【　　】

A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形

【答案】D。

【考点】平面镶嵌（密铺），多边形内角和定理。

【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断：

A．正三角形的一个内角度数为180°－360°÷3＝60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；

B．正四边形的一个内角度数为180°－360°÷4＝90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；

C．正六边形的一个内角度数为180°－360°÷6＝120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；

D．正八边形的一个内角度数为180°－360°÷8＝135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题

意。

故选D。

二、填空题

1.（2012四川成都4分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：

第一步：

如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；

第二步：

如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；

第三步：

如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．

（注：

裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）

则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为▲cm，最大值为▲cm．

【答案】20；12+

。

【考点】图形的剪拼，矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理。

【分析】画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示。

图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，

M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理）。

又∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形，

其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。

∵BC=6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小。

如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图。

过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半。

∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，

∴根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；

而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即

。

∵四边形M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN，

∴四边形M1N1N2M2周长的最小值为12+2×4=20；最大值为12+2×

=12+

。

2.（2012贵州遵义4分）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有　▲　种．

【答案】8。

【考点】利用轴对称设计图案。

【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案。

如图所示：

故一共有8种做法。

三、解答题

1.（2012山西省6分）实践与操作：

如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．

（1）请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．

（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．

【答案】解：

（1）在图3中设计出符合题目要求的图形：

（2）在图4中画出符合题目要求的图形：

【考点】利用轴对称和旋转设计图案。

【分析】此题为开放性试题，答案不唯一。

（1）根据轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合作出图形。

（2）根据中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合作出图形。

2.（2012四川广安8分）现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．

【答案】解：

如图，

∵等腰三角形的周长为32cm，底比一腰多2cm，

∴AB=AC=10，BD=CD=6，AD=8。

拼成的各种四边形如下：

①矩形：

∵BD=10，∴四边形的两条对角线长的和是10×2=20。

②平行四边形1：

连接AC，过点C作CE⊥AB的延长线于点E，

∵

，

∴四边形的两条对角线长的和是AC+BD=

+8。

③平行四边形2：

连接BD，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，

∵

，

∴四边形的两条对角线长的和是：

AC+BD=6+

。

④铮形：

连接BD′交AB于点O。

易知，△ADB∽△DOB。

∴

，即

。

∴BO=4.8。

∵BD=2BO=2×4.8=9.6，

∴四边形的两条对角线长的和是：

AC+BD=9.6+10=19.6。

【考点】图形的剪拼，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】根据题意画出所有的四边形，再根据勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的性质分别进行计算即可求出各个四边形的两条对角线长的和。

3.（2012辽宁鞍山8分）如图，某社区有一矩形广场ABCD，在边AB上的M点和边BC上的N点分别有一棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在BD上（点B除外）选一点P再种一棵景观树，使得∠MPN=90°，请在图中利用尺规作图画出点P的位置（要求：

不写已知、求证、作法和结论，保留作图痕迹）．

【答案】解：

如图所示：

点P即为所求。

【考点】作图（应用与设计作图），线段垂直平分线的性质，圆周角定理。

【分析】首先连接MN，作MN的垂直平分线交MN于O，以O为圆心，

MN长为半径画圆，交BD于点P，点P即为所求．

4.（2012贵州遵义4分）如图，将边长为

cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O经过的路线长是　▲　cm．（结果保留π）

5.（2012贵州铜仁5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：

不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）

【答案】解：

作图如下：

M即为所求。

【考点】作图（应用与设计作图）。

【分析】连接AB，作出线段AB的垂直平分线，在矩形中标出点M的位置（以点C为圆心，

AB长为半径画弧交AB的垂直平分线于点M）。

6.（2012山东德州8分）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？

请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）

【答案】解：

作图如下：

C1，C2就是所求的位置。

【考点】作图（应用与设计作图）。

【分析】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点。

（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；

（2）作线段AB的垂直平分线FG。

则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置。

7.（2012山东济宁5分）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E和F．

（1）在图中画出线段DE和DF；

（2）连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？

【答案】解：

（1）如图所示；

（2）∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形。

∵AD是△ABC的角平分线，∴∠FAD=∠EAD。

∵AB∥DE，∴∠FAD=∠EDA。

∴∠EAD=∠EDA。

∴EA=ED。

∴平行四边形AEDF是菱形。

∴AD与EF互相垂直平分。

【考点】作图（复杂作图），平行的性质，菱形的判定和性质。

【分析】

（1）根据题目要求画出线段DE、DF即可。

（2）首先证明四边形AEDF是平行四边形，再证明∠EAD=∠EDA，根据等角对等边可得EA=ED，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明四边形AEDF是菱形，再根据菱形的性质可得线段AD和EF互相垂直平分。

8.（2012广西桂林8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．

（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；

（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使

．

【答案】解：

（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图所示：

A1（1，－3），B1（4，－2），C1（2，－1）。

（2）根据A（1，3）、B（4，2）、C（2，1），

以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使

，

则A2（－2，－6），B2（－8，－4），C2（－4，－2）。

在坐标系中找出各点并连接，如图所示：

【考点】作图（轴对称变换和位似变换）。

【分析】

（1）根据坐标系找出点A、B、C关于x轴对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1、B1、C1的坐标即可。

（2）利用在原点的另一侧画出△A2B2C2，使

，原三角形的各顶点坐标都乘以－2得出对应点的坐标即可得出图形。

9.（2012江西南昌5分）如图，有两个边长为2的正方形，将其中一个正方形沿对角线剪开成两个全等的等腰直角三角形，用这三个图片分别在网格备用图的基础上（只要再补出两个等腰直角三角形即可），分别拼出一个三角形、一个四边形、一个五边形、一个六边形．

【答案】解：

如图所示，

【考点】作图（应用与设计作图），网格问题。

【分析】拼接三角形，让直角边与正方形的边重合，斜边在同一直线上即可；

拼接四边形，可以把两个直角三角形重新拼接成正方形，也可以拼接成等腰梯形，或平行四边形；

拼接五边形，只要让两个直角三角形拼接后多出一边即可；

拼接六边形，只要让拼接后的图形多出两条边即可。

还可以有如下拼接（答案不唯一）：

10.（2012吉林长春6分）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个四边形ABCD．

要求：

四边形ABCD的顶点D在格点上，且有两个角相等（一组或两组角相等均可）；所画的两个四边形不全等．

【答案】解：

作图如下：

【考点】作图（应用与设计作图），平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】①过C画AB的平行线，过A画BC的平行线，两线交于一点D，根据平行四边形的判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可知∠CBA=∠CDA，∠BAD=∠BCD。

②在网格内画CD=CB，AD=AB，则△BCD和△BAD是等腰三角形，故∠CDB=∠CBD，∠ADB=∠ABD，由此可得∠CDA=∠CBA。

11.（2012吉林省7分）在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称

点为点C．

（1）若A点的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC．设AB与y轴的交点为D，则

=________;

（2）若点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则△ABC的形状为_______.

【答案】解：

（1）画图如下：

。

（2）直角三角形。

12.（2012黑龙江绥化6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．

（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；

（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；

（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？

如果是轴对称图形，请画出对称轴．

【答案】解：

（1）如图所示，△A1B1C1即为所求。

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求。

（3）如图所示，OC、A1A2即为所求。

【考点】作图（旋转和轴对称变换）。

【分析】

（1）根据轴对称的性质，作出各对应点即可得出图象。

（2）将A，B，C，沿点O顺时针旋转90度即可得出对应点，画出图象即可；

（3）利用轴对称图形性质，画出对称轴即可。

13.（2012黑龙江哈尔滨6分）图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．

（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；

（2）在图2中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）；

【答案】解：

（1）如图1、2，画一个即可：

（2）如图3、4，画一个即可：

【考点】网格问题，作图（应用与设计作图）。

【分析】

（1）利用网格结构，过点A的竖直线与过点B的水平线相交于点C，连接即可，或过点A的水平线与过点B的竖直线相交于点C，连接即可。

（2）根据网格结构，作出BD=AB或AB=AD，连接即可。

14.（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9X9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为l个单位长度．

（1）在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△AlBlCl．

（2）在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转900后得到的△AB2C2

（3）在

（1）中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积．

【答案】解：

（1）、

（2）如图所示：

（3）∵△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC向上平移过程中，边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，∴边AC所扫过区域的面积=4×2=8。

【考点】作图（旋转和平移变换），平行四边形的判定和性质。

【分析】

（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可。

（2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2。

（3）根据△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。

15.（2012黑龙江龙东地区6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（1）将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1;

（2）写出A1、C1的坐标；

（3）将△A1B1C1绕C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1，求线段B1C1旋转过程中扫过的面积（结

果保留π）。

【答案】解：

（1）两次平移后的△A1B1C1如图所示：

（2）由△A1B1C1在坐标系中的位置可知，A1（0，2）；C1（2，0）。

（3）旋转后的图形如图所示：

∵由勾股定理可知，

，∴

。

∴线段B1C1旋转过程中扫过的面积为

。

【考点】作图（旋转和平移变换），扇形面积的计算。

【分析】

（1）根据图形平移的性质画出两次平移后的△A1B1C1即可。

（2）根据△A1B1C1在坐标系中的位置写出A1、C1的坐标；

（3）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2B2C1，再根据勾股定理求出B1C1的长，由扇形的面积公式即可计算出线段B1C1旋转过程中扫过的面积。

16.（2012黑龙江牡丹江6分）已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为8，将该三角形沿底边上的高剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？

请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角线的长，并画出体现解法的辅助线

【答案】解：

能拼成3种平行四边形，如图：

图1中，对角线的长为5；

图2中，对角线的长为3和

；

图3中，对角线的长为4和

【考点】拼图，等腰三角形的的性质，平行四边形、矩形的判定和性质，勾股定理。

【分析】根据平行四边形的性质拼图。

图1中，拼成的平行四边形是矩形，对角线的长为5；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的长为

；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的长为

。