八年级春季班17图形运动中函数关系的确定马秋燕.docx
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八年级春季班17图形运动中函数关系的确定马秋燕
解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题，此类题目注重对几何图形运动变化能力的考察．动态几何问题是近年来各地常见的压轴题，它能考察学生的多种能力，有较强的选拔功能，解决这类问题的关键是“以静制动”，把动态的问题，变为静态问题来观察，结合特殊三角形的相关知识解决这类问题．
动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围．
例题解析
【例1】已知：
在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AB边上不与A点、B点重合
的任意一个动点，PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R．
（1）求证：
PQ=BQ；
（2）设BP=x，CR=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当x为何值时，PR∥BC．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例2】如图所示，已知：
在Rt△ABC中，∠C=90°，P是边AB上的一个动点，PQ⊥PC，
交线段CB的延长线与点Q．
（1）当BP=BC时，求证：
BQ=BP；
（2）当∠A=30°，AB=4时，设BP=x，BQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义
域．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例3】如图所示，已知：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是斜边AB中点，作DE⊥AB，交直线AC于点E；
（1）若∠A=30°，求线段CE的长；
（2）当点E在线段AC上时，设BC=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定
义域；
（3）若CE=1，求BC的长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例4】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90º，AB＝BC＝8，点E在边AB上，
DE⊥CE，DE的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：
DF＝CE；
（2）当点E为AB中点时，求CD的长；
（3）设CE＝x，AD＝y，试用x的代数式表示y．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例5】如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E为边AB上的一点（点E不与端点A、B重
合），F为BC延长线上的一点，且AE＝CF，联结EF交对角线AC于点G．
（1）求证：
DE＝DF；
（2）联结DG，求证：
DG⊥EF；
（3）设AE＝x，AG＝y，求y关于x的函数解析式及定义域．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例6】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝9，∠C＝60°，将一个30°
角的顶点P放在DC边上在滑动（P不与D、C重合），保持30°角的一边平行于BC，与边AB交于点E，30°角的另一边与射线CB交于点F，联结EF．
（1）当点F与点B重合时，求CP的长；
（2）当点F在CB边上时，设CP＝
，PE＝
，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当EF＝CP时，求CP的长．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例7】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边CD上的任意一点（不与C、D重合），
将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，联结AG．
（1）求证：
△ABG≌△AFG；
（2）若设DE＝x，BG＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）联结CF，若AG∥CF，求DE的长．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例8】如图，平面直角坐标系中点A（4，0），已知过点A的直线l与y轴正半轴交于点P，
且△AOP的面积是8，正方形ABCD的顶点B的坐标是（2，h），其中h＞2．
（1）求直线l的表达式；
（2）求点D的坐标；（用含h的代数式表示）．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例9】如图，在边长为1的正方形
中，
与
相交于点
，点
是AB延长线
上一点，联结CE，AF⊥CE，垂足为点F，交BD、BC于点H、G．设BE＝x，CG＝y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
（2）当点F是EC的中点时，证明：
CG＝2OH．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例10】如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AD、CD上，∠FEB＝∠EBC，
A
B
C
D
E
F
G
EF、BC的延长线相交于点G，设AE＝x，BG＝y．
（1）求y与x之间函数解析式，并写定义域；
（2）当点F为CD中点时，求AE的长．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例11】如图所示，已知：
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点D是边AB
上的动点（点D与点A、B不重合），过点D作DE垂直于AB交射线AC与E，连接BE，点F是BD的中点，连接CD、CF、DF．
（1）当点E在边AC上（点E与点C不重合）时，设AD=x，CE=y．
A
B
C
D
E
F
①直接写出y关于x的函数解析式及定义域；
②求证：
△CDF是等边三角形；
（2）如果BE=
，求出AD的长．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例12】如图，已知：
在△ABC中，∠CBA=90°，∠A=30°，BC=3，D是边AC上的一
个动点，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且DE=DF，作FP⊥EF，交线段AB于点P，交线段CB的延长线交于点G．
（1）求证：
AF=FP；
（2）设AD=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）
若点P到AC的距离等于线段BP的长，求线段AD的长．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例13】如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边上的一个动
点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB于点H，交射线CB于点G．
（1）求证：
GD=DC；
（2）设AD=x，HG=y．求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当BH=
时，求CG的长．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例14】
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AB=8，BC=14，点E、F分
别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF=90°，PE=PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE=x，MN=y．
（1）求边AD的长；
（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
图形的运动考察的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角
形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系．
例题解析
【例15】如图，等腰梯形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝20，CD＝12，DH⊥AB，E是线
段HB上一动点，在线段CD上取点F使AE＝EF，设AE＝x，DF＝y．
（1）当EF∥AD时，求AE的长；
（2）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
A
B
C
D
H
（3）将△ADF沿AF所在直线翻折，点D落在平面上的D′处，当D′E＝1时，求AE的长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例16】如图，三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10．将纸片折叠使B落
在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、F．
（1）设BE=x，DC=y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
A
B
C
D
E
F
（2）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例17】如图，已知：
△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C
重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点．
（1）求证：
CM=EM；
（2）如果BC=
，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化?
如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例18】一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，沿斜边AB的中线CD
把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2），将△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时停止平移，在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、C2B分别交于点F、P．
（1）当△AC1D1平移到如图3所示位置时，猜想D1E与D2F的数量关系，并证明你
的猜想；
（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1和△BC2D2重叠（阴影）部分面积为y，试求y
A
B
C
D图1
C1C2
D1D2图2
A
B
C2
C1
A
B
P
D1图3
E
F
D2
与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例19】已知△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点D是AB边中点，将一块直角三角板
的直角顶点放在D点旋转，直角的两边分别与边AC、BC交于E、F．
（1）取运动过程中的某一瞬间，画出△ADE关于D点的中心对称图形，E的对称点为
，试判断BC与B
的位置关系，并说明理由；
（2）
设AE=x，BF=y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题1】已知一直角三角形纸片OAB，∠AOB=90°，OA=2，OB=4，将该纸片放在，放
置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（1）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的
函数解析式，并确定y的取值范围．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题2】在等边△ABC中，AB=8，点D在边BC上，△ADE为等边三角形．且点E与点
D在直线AC的两侧，过点E作EF∥BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．
（1）如图，求证：
四边形BCEF是平行四边形；
（2）设BD=x，FG=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AD的长为7时，求线段FG的长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题3】如图所示，已知：
在正方形ABCD中，点P是射线BC上的任意一点（点B与点
C除外）联接DP，分别过点C、A作直线DP的垂线，垂足为E、F.
①点P在BC的延长线上时，那么线段AF、CE、EF之间有怎样的数量关系?
请证明
你的结论；
②当点P在边BC上时，正方形的边长为2，设CE=x，AF=y.求y与x的函数解析式.并写出函数的定义域；
③在②的条件下，当x=1时.求EF的长．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题4】已知：
三角形纸片ABC中，∠C=90°，AB=12，BC=6，B′是边AC上一点．将
三角形纸片折叠，使点B与点B′重合，折痕与BC、AB分别相交于E、F．
（1）设BE=x，B′C=y，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当△AFB′是直角三角形时，求出x的值．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业1】如图所示：
长方形纸片ABCD的边AB=2，BC=3，点M是边CD上的一个动点，
（不与点C重合），把这张长方形纸片折叠，使点B落在M上，折痕交边AD与点E，交边BC于点F．
（1）写出图中全等三角形；
（2）设CM=x，AE=y，求y与x之间的函数解析式，写出定义域；
（3）试判断∠BEM能否可能等于90度?
如可能，请求出此时CM的长；如不能，请说
明理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业2】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点P是射线BC上的一个动点，
∠PAQ＝60°，PQ交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ＝y．
（1）求证：
△APQ是等边三角形；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果PD⊥AQ，求BP的值．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业3】如图所示，已知：
在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，
AD平分∠CAB，E为AC上一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．
（1）
求证：
AD=DB；
（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；
（3）当∠DEF=90°时，求BF的长．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝
，BC＝9，点Q是边AC上的动点
（点Q不与A、C重合），过点Q作QR//AB，交边BC于R，再把△QCR沿着动直线QR翻折得到△QPR，设AQ＝x．
（1）求∠PRQ的大小；
（2）当点P落在斜边AB上时，求x的值；
（3）当点P落在Rt△ABC外部时，PR与AB相交于点E，如果BE＝y，请直接写出y关于x的函数关系式及定义域．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
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