小学五年级数学教案因数与倍数参考资料.docx
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小学五年级数学教案因数与倍数参考资料
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因数与倍数参考资料
（一）教学目标
1.使学生掌握因数、倍数、质数、合数等概念，知道有关概念之间的联系和区别。
2.使学生通过自主探索，掌握2、5、3的倍数的特征。
3.逐步培养学生的数学抽象能力。
（二）教材说明和教学建议
教材说明
通过四年多的数学学习，学生已经掌握了大量的整数知识（包括整数的认识、整数四则运算），本单元让学生在前面所学的整数知识基础上，进一步探索整数的性质。
本单元涉及到的因数、倍数、质数、合数以及第四单元中的最大公因数、最小公倍数都属于初等数论的基本内容。
数论是一个历史悠久的数学分支，它是研究整数的性质的一门学问，以严格、简洁、抽象著称。
数学一直被认为是“科学的皇后”，而数论则更被誉为“数学的皇后”，可见数论在数学中的地位。
本单元的知识作为数论知识的初步，一直是小学数学教材中的重要内容。
通过这部分内容的学习，可以使学生获得一些有关整数的知识，另一方面，有助于发展他们的抽象思维。
在数论中，数的整除性理论又是最为基本的理论，本单元的所有概念都是建立在数的整除性的基础之上。
对于任意整数a、b，都存在整数n、r，使b＝na＋r（其中r＜a），当r＝0时，我们就说b能被a整除（或a能整除b），此时，b＝na。
其他的一些概念，如因数、倍数等，都是以此为基础的。
在以往的数学教材中，也一直把“数的整除”概念编排在这一单元的起始位置，再把因数（以往的教材中称为约数），倍数，2、5、3的倍数的特征（以往的教材称为能被2、5、3整除的数的特征），质数，合数，分解质因数，最大公因数（以往的教材中称为最大公约数），最小公倍数等内容共同编排在后面，合为一个单元。
这样编排，虽然突显了以上这些概念的紧密逻辑关系，但也形成了同一单元内概念多而集中、抽象程度过高的现象，学生在学习时经常出现概念混淆、理解困难的问题。
因此，与以往教材相比，本套实验教材在编写时，对这部分内容进行了以下几方面的调整。
1.我们在本单元研究的都是整除现象，因此，可以说整除概念是贯穿这部分教材的一条主线。
但“整除”这一词汇是否必须出现呢？
让学生大量叙述“×能被×整除”“×能整除×”是否必要？
签于学生在前面已经具备了大量的区分整除与有余数除法的知识基础，对整除的含义已经有了比较清楚的认识，不出现整除的定义并不会对学生理解其他概念产生任何影响。
因此，本套教材中删去了“整除”的数学化定义，而是借助整除的模式na＝b直接引出因数和倍数的概念。
2.在以往的教材中，由于求最大公因数、最小公倍数时，采用的方法是唯一的、固定的，也就是用短除法分解质因数的方法。
因此，作为求最大公因数、最小公倍数的必要基础，“分解质因数”一直作为必学内容编排。
而在本册教材中，由于允许学生采用多样的方法求最大公因数和最小公倍数，分解质因数也失去了其不可或缺的作用，同时，也是为了减少这一单元的理论概念，教材不再把它作为正式教学内容，而是作为一个补充知识，安排在“你知道吗？
”中进行介绍。
3.公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数概念的建立是以因数、倍数的概念为基础的，也是为后面学习约分（需要尽快找出分子、分母的公因数）、通分（需要尽快找出两个分数分母的公倍数）做准备的，在整个知识链中起着承上启下的作用。
这两个内容可以集中编排在本单元，也可以分散编排在约分、通分的前面。
考虑到本单元概念较多，抽象程度高，本套教材把这两部分内容分散编排在第四单元，也更加突出了它们的应用性。
教学建议
1.由于这部分内容较为抽象，很难结合生活实例或具体情境来进行教学，学生理解起来有一定的难度。
在过去的教学中，一些教师往往忽视概念的本质，而是让学生死记硬背相关概念或结论，学生无法理清各概念间的前后承接关系，达不到融会贯通的程度。
再加上有些教师在考核时使用一些偏题、难题，导致学生在学习这部分知识时觉得枯燥乏味，体会不到初等数论的抽象性、严密性和逻辑性，感受不到数学的魅力。
为了克服以上教学中出现的问题，应注意以下两点。
（1）加强对概念间相互关系的梳理，引导学生从本质上理解概念，避免死记硬背。
本单元中因数和倍数是最基本的两个概念，理解了因数和倍数的含义，对于一个数的因数的个数是有限的、倍数的个数是无限的等结论自然也就掌握了，对于后面的公因数、公倍数等概念的理解也是水到渠成。
要引导学生用联系的观点去掌握这些知识，而不是机械地记忆一堆支离破碎、毫无关联的概念和结论。
（2）由于本单元知识特有的抽象性，教学时要注意培养学生的抽象思维能力。
虽然我们强调从生活的角度引出数学知识，但数论本身就是研究整数性质的一门学科，有时不太容易与具体情境结合起来，如质数、合数等概念，很难从生活实际中引入。
而学生到了五年级，抽象能力已经有了进一步发展，有意识地培养他们的抽象概括能力也是很有必要的，如让学生通过几个特殊的例子，自行总结出任何一个数的倍数个数都是无限的，逐步形成从特殊到一般的归纳推理能力，等等。
2.这部分内容可以用6课时进行教学。
（三）各小节的教材说明和教学建议
1.因数和倍数
（第12～16页）
教材说明
这部分教材首先介绍了因数和倍数的概念，然后在例1和例2分别介绍了求一个数的因数和倍数的方法。
1.因数和倍数。
编写意图
本单元在引入因数和倍数的概念时与以往的教材有所不同。
在以往的教材中，都是通过除法算式来引出整除的概念，每个除法算式对应着一对有整除关系的数，如b÷a＝n表示b能被a整除，b÷n＝a表示b能被n整除。
在此基础上再引出因数和倍数的概念。
实际上，如前所述，由于乘除法本身就存在着互逆关系，用乘法算式（如b＝na）同样可以表示整除的含义。
因此，本套教材中没有用数学化的语言给“整除”下定义，而是利用一个简单的实物图（2行飞机，每行6架）引出一个乘法算式2×6＝12，通过这个乘法算式直接给出因数和倍数的概念。
这样，学生不必通过12÷2＝6得出12能被2整除，进而2是12的因数，12是2的倍数。
再通过12÷6＝2得出12能被6整除，进而6是12的因数，12是6的倍数，大大简化了叙述和记忆的过程。
在这儿，用一个乘法算式2×6＝12可以同时说明“2和6都是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数。
”
接着，通过3×4＝12，进一步巩固因数和倍数的概念。
在学生熟练掌握了因数和倍数的概念以后，教材让学生试着找出12的其他因数，引导学生写出两个数的积等于12的另一个乘法算式1×12＝12，从而得出1和12也是12的因数。
最后，教材对整数0进行特殊说明，以明确本单元中数的研究范围。
因为数论只研究整数的性质，所以，本单元中涉及到的数都是整数。
由于学生还没有学习负整数，因此，本单元的整数与自然数同义。
根据因数和倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的因数。
但是考虑到以后研究最大公因数和最小公倍数时，如果不排除0，很多问题无从讨论，如讨论0和5的最大公因数既没有实际意义，也没有数学意义，再如，如果把0考虑在内，任意两个自然数的最小公倍数就是0，这样的研究没有任何价值。
因此，教材指出本单元研究的内容一般不包括0，这样就避免了一些不必要的麻烦。
教学建议
教学因数和倍数概念时，可以结合教材上的直观图（2行飞机，每行6架）引导学生列出乘法算式2×6=12或6×2=12，再根据所列的乘法算式直接给出因数和倍数的概念。
接下来，再结合直观图（3行飞机，每行4架）进一步巩固因数和倍数的概念。
最后，让学生脱离情境图，想一想12还有哪些因数，引导学生列出乘法算式1×12=12或12×1=12，概括出“1和12都是12的因数，12是1和它本身的倍数”。
在此基础上，教师可以引导学生利用一般的乘法算式a×b=c归纳出因数和倍数的概念：
a、b都是c的因数，c是a和b的倍数。
教学时，应注意以下四点：
（1）虽然本套教材不是从过去的整除定义（形式上是除法算式）出发，而是通过一个乘法算式来引出因数和倍数概念，但在本质上仍是以“整除”为基础，只是略去了许多中间描述。
因此，要注意，只有在这个乘法算式中的因数和积都是整数的情况下才能讨论因数和倍数的概念。
教学时，教师也可以举出一些反例加以说明，如5×0.8＝4，虽然等式成立，但不能说5和0.8是4的因数，或4是5和0.8的倍数。
（2）因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。
a是b的因数，反过来b就是a的倍数，因此，描述因数或倍数时必须说清楚谁是谁的因数（或倍数），要引导学生使用比较规范的语言，如“2是12的因数，12是2的倍数”而不是“2是因数，12是倍数”，在课堂上或练习中学生如果出现类似的错误要及时加以纠正。
（3）要注意区分乘法算式各部分名称中的“因数”和本单元中的“因数”的联系和区别。
在同一个乘法算式中，两者都是指乘号两边的整数，但前者是相对于“积”而言的，与“乘数”同义，可以是小数，而后者是相对于“倍数”而言的，与以前所说的“约数”同义，说“×是×的因数”时，两者都只能是整数。
（4）要注意区分“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。
“倍”的概念比“倍数”要广，如我们可以说“15是3的5倍”，也可以说“1.5是0.3的5倍”，但我们只能说“15是3的倍数”，却不能说“1.5是0.3的倍数”。
我们在求一个数的倍数时，运用的方法与“求一个数的几倍是多少”是相同的，只是这里的“几倍”都是指整数倍。
2.例1。
编写意图
例1是教学一个数的因数的求法。
教材直接提出问题“18可以由哪两个数相乘得到？
”引导学生利用因数的概念来求18的因数。
在这里，每列出一个乘法算式，就可以求出18的一对因数，只要学生有序地写出两个数的乘积是18的所有乘法算式，就可以把因数找全。
在此基础上，再用集合图表示出一个数的全部因数，为后面用交集形式表示两个数的公因数打下基础，使学生初步体会到一个数的因数的个数是有限的。
接下来，通过“做一做”进一步巩固求一个数的因数的方法。
最后，以例1和“做一做”为基础，引导学生抽象地概括出一个数的最小因数和最大因数分别是什么，总结出一个数的因数的个数是有限的结论，向学生渗透从个别到全体、从具体到一般的抽象归纳的思想方法。
教学建议
教学例1时，要引导学生从因数的概念出发去求18的因数，也就是想：
哪两个整数相乘的积是18？
从每个满足条件的乘法算式中可以找出18的一对因数。
找的时候，要引导学生有序地思考。
教学时，如果学生用除法思考，固定被除数18，改变除数，看除得的商是不是整数，如果是，则除数和商都是被除数的因数，这样的思考方法也是应该鼓励的。
等学生把18的所有因数都写出来，再让他们用集合的形式表示出来，为后面求两个数的公因数做准备。
然后，让学生做“做一做”的题目。
通过例1和“做一做”的练习，引导学生观察到每个数的最小因数是1，而最大因数是它本身，因此，它的因数的个数是有限的。
3.例2。
编写意图
例2是教学一个数的倍数的求法。
根据一个数的倍数的定义，可知该数和任意非零自然数之积都是该数的倍数。
因此，2的倍数也就是2和任意非零自然数的乘积，学生在列乘法算式时就会发现这样的算式是列不完的，因此，2的倍数的个数是无限的。
接下来，也用集合图表示出2的倍数，为后面学习用交集表示两个数的公倍数打下基础。
“做一做”中分别安排了让学生求3、5的倍数的练习，一方面巩固了对倍数概念的理解，另一方面，结合例2中2的倍数，为后面学习2、3、5的倍数的特征做准备。
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