切线长定理.docx
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切线长定理
1．（2015•东西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（ ）
A．
9
B．
10
C．
3
D．
2
考点：
切线长定理．
专题：
计算题．
分析：
作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四边形ABHD为矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=
，即CB=CE=
，然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9．
解答：
解：
作DH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴AD和BC为⊙O切线，
∵CD和MN为⊙O切线，
∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，
∵四边形ABHD为矩形，
∴BH=AD=2，DH=AB=6，
设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，
在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，
∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=
，
∴CB=CE=
，
∴△MCN的周长=CN+CM+MN
=CN+CM+NF+MF
=CN+CM+NF+MB
=CE+CB
=9．
故选A．
点评：
本题考查了切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．也考查了勾股定理．
2．（2015•秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（ ）
A．
32
B．
34
C．
36
D．
38
考点：
切线长定理．
分析：
根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．
解答：
解：
由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长=2×（7+10）=34．
故选：
B．
点评：
此题主要考查了切线长定理，熟悉圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键．
3．（2014•齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）
A．
12
B．
24
C．
8
D．
6
考点：
切线长定理；勾股定理．
分析：
由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC；设EF=EC=xcm．则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．
解答：
解：
∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4﹣1=3cm，
∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm2．
故选D．
点评：
此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF，EF=EC．
4．（2014春•鹿城区校级期末）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（ ）
A．
120°
B．
60°
C．
30°
D．
45°
考点：
切线长定理；圆周角定理；切线的性质．
专题：
计算题．
分析：
连接OA，BO，由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°，PA、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和可求得∠P=180°﹣∠AOB=60°．
解答：
解：
连接OA，BO；
∵∠AOB=2∠E=120°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°﹣∠AOB=60°．
故选B．
点评：
本题考查了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为360度求解．
5．（2014秋•安顺期末）如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（ ）
A．
15
B．
12
C．
20
D．
30
考点：
切线长定理．
分析：
直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，进而求出答案．
解答：
解：
∵P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，
∵PA=15，∴△PCD的周长为：
PA+PB=30．
故选：
D．
点评：
此题主要考查了切线长定理，得出△PCD的周长为：
PA+PB是解题关键．
6．（2014秋•德城区期末）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．
20cm
B．
15cm
C．
10cm
D．
随直线MN的变化而变化
考点：
切线长定理．
分析：
利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．
解答：
解：
∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM=MF，FN=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．
故选：
A．
点评：
此题主要考查了切线长定理，得出AM+AN+MN=AD+AE是解题关键．
7．（2014秋•鄞州区期末）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（ ）
A．
40°
B．
140°
C．
70°
D．
80°
考点：
切线长定理；圆周角定理．
专题：
计算题．
分析：
连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
解答：
解：
∵PA是圆的切线．
∴∠OAP=90°，
同理∠OBP=90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，
∴∠ACB=
∠AOB=70°．
故选C．
点评：
本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确求得∠AOB的度数，是解决本题的关键．
8．（2013秋•滨湖区校级期末）如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（ ）
A．
8
B．
9
C．
10
D．
11
考点：
切线长定理．
分析：
根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长．
解答：
解：
∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB=10，BC=7，CD=8，
∴AD+7=10+8，
解得：
AD=11．
故选：
D．
点评：
此题主要考查了圆外切四边形的性质，得出对边和直接关系是解题关键．
9．（2014秋•夏津县校级期末）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（ ）
A．
5，
（90°+∠P）
B．
7，90°+
C．
10，90°﹣
∠P
D．
10，90°+
∠P
考点：
切线长定理．
分析：
根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB=180°，再根据CD为切线可知∠COD=
∠AOB．
解答：
解：
∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；
∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；
如图，连接OA、OE、OB．
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD=
∠AOB，
∴∠AOB=180°﹣∠P，
∴∠COD=90°﹣
∠P．
故选：
C．
点评：
本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型．
10．（2014秋•莱州市期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点E在
上，过点E作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于点C，D．若PA=3cm，则△PCD的周长等于（ ）
A．
3cm
B．
6cm
C．
9cm
D．
12cm
考点：
切线长定理．
分析：
由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：
PB=PA=10，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．
解答：
解：
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB=PA=10，CA=CE，DB=DE，
∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=6cm；
故△PCD的周长是6cm．
故选：
B．
点评：
此题主要考查了切线长定理的应用，能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长，是解答此题的关键．
二．解答题（共20小题）
11．（2013秋•云梦县期末）如图，已知：
射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CD=12，tan∠CPO=
，求PO的长．
考点：
切线长定理；勾股定理；解直角三角形．
专题：
计算题．
分析：
（1）由切线长定理得①PC=PD，②∠CPO=∠DPA，由垂径定理得③CD⊥BA，④∠CEP=90°，由切割线定理得，⑤PC2=PA•PB；
（2）连接OC，由切线长定理得PC=PD，∠CPO=∠DPA，再由垂径定理得DE，则求得CP，即可得OC，最后根据勾股定理得出
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