人教A版数学必修2 第2章 233 直线与平面垂直的性质 234 平面与平面垂直的性质.docx
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人教A版数学必修2第2章233直线与平面垂直的性质234平面与平面垂直的性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．（重点）
2．能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．（重点、难点）
3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．（易错点）
[基础·初探]
教材整理1 直线与平面垂直的性质定理
阅读教材P70的内容，完成下列问题．
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行．（ ）
（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行．（ ）
（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．（ ）
【解析】 由线面垂直的定义和性质可知
（1）、
（2）、（3）均正确．
【答案】
（1）√
（2）√ （3）√
教材整理2 平面与平面垂直的性质定理
阅读教材P71“思考”以下至P72“例4”以上的内容，完成下列问题．
文字语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
符号语言
⇒a⊥β
图形语言
在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是（ ）
A．平行 B．EF⊂平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直D．相交且垂直
D [在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确．]
[小组合作型]
线面垂直性质定理的应用
如图2 3 31所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
图2 3 31
求证：
（1）MN∥AD1；
（2）M是AB的中点．
【精彩点拨】
（1）要证线线平行，则先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC.
（2）可证ON＝AM，ON＝
AB.
【自主解答】
（1）∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1.
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
（2）连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC.
∴ON綊
DC綊
AB，∴ON∥AM.
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.
∵ON＝
AB，∴AM＝
AB，∴M是AB的中点．
1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．
2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．
[再练一题]
1．如图2 3 32，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：
a∥l.
图2 3 32
【证明】 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
面面垂直性质定理的应用
如图2 3 33所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
图2 3 33
（1）若G为AD的中点，求证：
BG⊥平面PAD；
（2）求证：
AD⊥PB.
【精彩点拨】
（1）
―→
―→
（2）要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．
【自主解答】
（1）如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，
∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
（2）如图，连接PG.
∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD，由
（1）知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.
∴AD⊥平面PBG.
而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.
1．证明或判定线面垂直的常用方法
（1）线面垂直的判定定理；
（2）面面垂直的性质定理；
（3）若a∥b，a⊥α，则b⊥α（a、b为直线，α为平面）；
（4）若a⊥α，α∥β，则a⊥β（a为直线，α，β为平面）．
2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线．
[再练一题]
2．如图2 3 34，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：
平面VBC⊥平面VAC.
图2 3 34
【证明】 ∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB.
∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，
∴VA⊥平面VBC，
∵VA⊂平面VAC.
∴平面VBC⊥平面VAC.
[探究共研型]
垂直关系的综合应用
探究1 如图2 3 35，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝
，等边△ADB以AB为轴转动．当平面ADB⊥平面ABC时，能否求CD的长度？
图2 3 35
【提示】 取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝
，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝
＝2.
探究2 在上述问题中，当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？
证明你的结论．
【提示】 ①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，由探究1知AB⊥DE.
又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.
探究3 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．
【提示】 垂直问题转化关系如下所示：
如图2 3 36，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
图2 3 36
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
【精彩点拨】
（1）利用性质定理可得PA⊥底面ABCD；
（2）可证BE∥AD，从而得BE∥平面PAD；
（3）利用面面垂直的判定定理．
【自主解答】
（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.
（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形．
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
（3）因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由
（1）知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD.
又AD∩PA＝A，
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．
2．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：
（1）两个平面垂直；
（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线．
[再练一题]
3．如图2 3 37，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
（1）求证：
EF∥平面PAB；
（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.
求证：
平面PEF⊥平面PBC.
图2 3 37
【证明】
（1）∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
（2）∵PA＝PC，E为AC的中点，
∴PE⊥AC.
又∵平面PAC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.
又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.
∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.
又∵BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PEF.
1．下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【解析】 如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．
【答案】 D
2．已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则（ ）
A．ME⊥平面AC
B．ME⊂平面AC
C．ME∥平面AC
D．以上都有可能
【解析】 由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.
【答案】 A
3．如图2 3 38，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.
图2 3 38
【解析】 因为AF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以△EDC为直角三角形，CE＝
＝
.
【答案】
4．如图2 3 39，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________.
图2 3 39
【解析】 过A作AO⊥BD于O点，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD.
∴∠ADO＝45°.
【答案】 45°
5．如图2 3 40，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：
AD⊥平面PCD.
图2 3 40
【证明】 在矩形ABCD中，AD⊥CD，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.
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