届高三二轮专题突破集合与常用逻辑用语 1.docx
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届高三二轮专题突破集合与常用逻辑用语1
第1讲 集合与常用逻辑用语
【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定,常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现,考查的基础知识和基本技能,题目难度中等偏下.
1.集合的概念、关系与运算
(1)集合中元素的特性:
确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.
(2)集合与集合之间的关系:
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C,空集是任何集合的子集,含有n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-2.
(3)集合的运算:
∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB),∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(∁UA)=A.
2.四种命题及其关系
四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,遇到复杂问题正面解决困难的,采用转化为反面情况处理.
3.充分条件与必要条件
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p,q互为充要条件.
4.简单的逻辑联结词
(1)命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有p,q均为真,才为真;綈p和p为真假对立的命题.
(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q);命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q).
5.全称量词与存在量词
“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x0∈M,綈p(x0)”;“∃x0∈M,p(x0)”的否定为“∀x∈M,綈p(x)”.
考点一 集合间的关系及运算
例1
(1)(2012·课标全国)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3B.6C.8D.10
(2)
设函数f(x)=lg(1-x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图
中阴影部分表示的集合为( )
A.[-1,0]B.(-1,0)
C.(-∞,-1)∪[0,1)D.(-∞,-1]∪(0,1)
弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键.
答案
(1)D
(2)D
解析
(1)∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},
∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4.
∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},
∴B中所含元素的个数为10.
(2)因为A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1所以B={y|y=f(x)}={y|y≤0},
A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0],
故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1).
(1)对于集合问题,抓住元素的特征是求解的关键,要注意集合中元素的三个特征的应用,要注意检验结果.
(2)对于给出已知集合,进行交集、并集与补集运算时,可以直接根据它们的定义求解,也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具,运用分类讨论、数形结合等思想方法,直观求解.
(1)(2013·山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
(2)
设全集U=R,集合P={x|y=ln(1+x)},集合Q={y|y=
},则
右图中的阴影部分表示的集合为( )
A.{x|-1B.{x|-1C.{x|x<0,x∈R}
D.{x|x>-1,x∈R}
答案
(1)C
(2)B
解析
(1)x-y∈
.
(2)由1+x>0得x>-1,即P={x|x>-1};Q={y|y≥0},因此结合题意得,题中的阴影部分表示的集合是P∩(∁RQ)={x|-1考点二 四种命题与充要条件
例2
(1)已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )
A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3
B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3
C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
(2)设x,y∈R,则“x2+y2≥9”是“x>3且y≥3”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(1)从“否命题”的形式入手,但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别.
(2)结合图形与性质,从充要条件的判定方法入手.
答案
(1)A
(2)B
解析
(1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题,所以A正确.
(2)
如图:
x2+y2≥9表示以原点为圆心,3为半径的圆上及圆外的点,
当x2+y2≥9时,x>3且y≥3并不一定成立,当x=2,y=3时,x2+y2≥9,
但x>3且y≥3不成立;而x>3且y≥3时,x2+y2≥9一定成立,故选
B.
一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题,解这类试题时要注意对于一些关键词的否定,如本题中等于的否定是不等于,而不是单纯的大于、也不是单纯的小于.进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假,这里要注意断定一个命题为真需要进行证明,断定一个命题为假只要举一个反例即可.
(1)(2012·天津)设x∈R,则“x>
”是“2x2+x-1>0”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(2)给出以下三个命题:
①若ab≤0,则a≤0或b≤0;
②在△ABC中,若sinA=sinB,则A=B;
③在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有实数根.
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )
A.①B.②C.③D.②③
答案
(1)A
(2)B
解析
(1)不等式2x2+x-1>0的解集为
,故由x>
⇒2x2+x-1>0,但2x2+x-1>0D⇒/x>
,故选A.
(2)在△ABC中,由正弦定理得sinA=sinB⇔a=b⇔A=B.故选B.
考点三 逻辑联结词、全称量词和存在量词
例3
(1)(2012·湖北)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
(2)已知命题p:
抛物线y=2x2的准线方程为y=-
;命题q:
若函数f(x+1)为偶函数,则f(x)关于x=1对称.则下列命题是真命题的是( )
A.p∧qB.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q
答案
(1)B
(2)D
解析
(1)通过否定原命题得出结论.
原命题的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.
(2)命题p:
抛物线y=2x2的准线方程为y=-
,所以命题p是假命题.
命题q:
将函数f(x+1)的图象向右平移1个单位得到f(x)的图象,所以函数f(x)的图象关于x=1对称,故命题q是真命题.所以p∨q为真.
(1)全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接否定结论;而命题的真假可以先分清命题的构成,然后通过真值表直接判断.
(2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时,往往可以将条件进行等价转化.若是由命题的真假求某个参数的取值范围,还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算.
(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知命题p:
∀x∈R,2x<3x;命题q:
∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧qB.綈p∧q
C.p∧綈qD.綈p∧綈q
(2)已知命题p:
“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:
“∃x0∈R,x
+2ax0+2-a=0”.若命题“(綈p)∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a≤-2或a=1B.a≤2或1≤a≤2
C.a>1D.-2≤a≤1
答案
(1)B
(2)C
解析
(1)
当x=0时,有2x=3x,不满足2x<3x,∴p:
∀x∈R,2x<3x是
假命题.
如图,函数y=x3与y=1-x2有交点,即方程x3=1-x2有解,
∴q:
∃x∈R,x3=1-x2是真命题.
∴p∧q为假命题,排除A.
∵綈p为真命题,
∴綈p∧q是真命题.选B.
(2)命题p为真时a≤1;“∃x0∈R,x
+2ax0+2-a=0”为真,即方程x2+2ax+2-a=0有实根,故Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≥1或a≤-2.(綈p)∧q为真命题,即綈p真且q真,即a>1.
1.解答有关集合问题,首先正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键;其次关注元素
的互异性,空集是任何集合的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助
数轴和韦恩图加以解决.
2.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间的对应关系,把命题对应的元素用集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法.
3.含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的,这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确,再根据逻辑联结词的含义进行判断.
4.一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系,但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.
1.已知集合A={z∈C|z=1-2ai,a∈R},B={z∈C||z|=2},则A∩B等于( )
A.{1+
i,1-
i}B.{
-i}
C.{1+2
i,1-2
i}D.{1-
i}
答案 A
解析 A∩B中的元素同时具有A,B的特征,问题等价于|1-2ai|=2,a∈R,解得a=±
.故选A.
2.下列命题中正确的是( )
A.若命题p为真命题,命题q为假命题,则命题“p∧q”为真命题
B.“sinα=
”是“α=
”的充分不必要条件
C.l为直线,α,β为两个不同的平面,若l⊥β,α⊥β,则l∥α
D.命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”
答案 D
解析 对A,只有当p,q全是真命题时,p∧q为真;对B,sinα=
⇒α=2kπ+
或2kπ+
,k∈Z,故“sinα=
”是“α=
”的必要不充分条件;对C,l⊥β,α⊥β⇒l∥α或l⊂α;对D,全称命题的否定是特称命题,故选D.
3.若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2A.a>-2B.a≤-2
C.a>-1D.a≥-1
答案 C
解析 A={x|-1B={x|-2如图所示:
∵A∩B≠∅,∴a>-1.
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一、选择题
1.(2013·课标全国Ⅰ)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B等于( )
A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}
答案 A
解析 ∵x=n2,n∈A,∴x=1,4,9,16.
∴B={1,4,9,16}.
∴A∩B={1,4},故选A.
2.(2012·安徽)命题“存在实数x,使x>1”的否定是( )
A.对任意实数x,都有x>1
B.不存在实数x,使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1
D.存在实数x,使x≤1
答案 C
解析 利用特称命题的否定是全称命题求解.
“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.故选C.
3.(2013·福建)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 a=3时A={1,3},显然A⊆B.
但A⊆B时,a=2或3.所以A正确.
4.(2013·湖北)已知全集为R,集合A=
,B=
,则A∩∁RB等于( )
A.{x|x≤0}
B.{x|2≤x≤4}
C.{x|0≤x<2或x>4}
D.{x|0答案 C
解析 A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4}
∴A∩∁RB={x|x≥0}∩{x|x>4或x<2}
={x|0≤x<2或x>4}.
5.已知集合P={0,m},Q={x|2x2-5x<0,x∈Z},若P∩Q≠∅,则m等于( )
A.1B.2
C.1或
D.1或2
答案 D
解析 由于Q={x|2x2-5x<0,x∈Z}={x|0,x∈Z}={1,2},而P={0,m}且P∩Q≠∅,故m=1或2.故选D.
6.(2013·陕西)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|,则有cos〈a,b〉=±1.
即〈a,b〉=0或π,所以a∥b.由a∥b,得向量a与b同向或反向,所以〈a,b〉=0或π,所以|a·b|=|a||b|.
7.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},则集合A×B中属于集合{(x,y)|logxy∈N}的元素个数是( )
A.3B.4C.8D.9
答案 B
解析 由给出的定义得A×B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}.其中log22=1,log24=2,log28=3,log44=1,因此一共有4个元素,故选B.
8.已知p:
∃x∈R,mx2+2≤0,q:
∀x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2]D.[-1,1]
答案 A
解析 ∵p∨q为假命题,∴p和q都是假命题.
由p:
∃x∈R,mx2+2≤0为假命题,
由綈p:
∀x∈R,mx2+2>0为真命题,
∴m≥0.①
由q:
∀x∈R,x2-2mx+1>0为假命题,
得綈q:
∃x∈R,x2-2mx+1≤0为真命题,
∴Δ=(-2m)2-4≥0⇒m2≥1⇒m≤-1或m≥1.②
由①和②得m≥1,故选A.
9.设平面点集A=
,B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则A∩B所表示的平面图形的面积为( )
A.
πB.
πC.
πD.
答案 D
解析 借助图形,数形结合求解.
由题意知A∩B所表示的平面图形为图中阴影部分,曲线y=
与直线y=x将圆(x-1)2+(y-1)2=1分成S1,S2,S3,S4四部
分.
∵圆(x-1)2+(y-1)2=1与y=
的图象都关于直线y=x对称,
从而S1=S2,S3=S4,而S1+S2+S3+S4=π,
∴S阴影=S2+S4=
.
10.给出下列命题:
①∀x∈R,不等式x2+2x>4x-3均成立;
②若log2x+logx2≥2,则x>1;
③“若a>b>0且c<0,则
>
”的逆否命题;
④若p且q为假命题,则p,q均为假命题.
其中真命题是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
答案 A
解析 ①中不等式可表示为(x-1)2+2>0,恒成立;②中不等式可变为log2x+
≥2,得x>1;③中由a>b>0,得
<
,而c<0,所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真;④由p且q为假只能得出p,q中至少有一个为假,④不正确.
二、填空题
11.(2012·天津)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
答案 -1 1
解析 A={x|-5B={x|(x-m)(x-2)<0},所以m=-1,n=1.
12.已知R是实数集,M={x|
<1},N={y|y=
+1},则N∩(∁RM)=________.
答案 [1,2]
解析 M={x|
<1}={x|x<0或x>2},
N={y|y=
+1}={y|y≥1},
∁RM={x|0≤x≤2},
∴N∩(∁RM)={x|1≤x≤2}=[1,2].
13.设p:
<0,q:
0答案 (2,+∞)
解析 p:
02.
14.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1D∈/A,且k+1D∈/A,那么称k是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
解析 所求不含“孤立元”的集合中的元素必是连续三个整数,故有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个.
15.给出下列四个命题:
①命题“若α=β,则cosα=cosβ”的逆否命题;
②“∃x0∈R,使得x
-x0>0”的否定是:
“∀x∈R,均有x2-x<0”;
③命题“x2=4”是“x=-2”的充分不必要条件;
④p:
a∈{a,b,c},q:
{a}⊆{a,b,c},p且q为真命题.
其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号)
答案 ①④
解析 对①,因命题“若α=β,则cosα=cosβ”为真命题,
所以其逆否命题亦为真命题,①正确;
对②,命题“∃x0∈R,使得x
-x0>0”的否定应是:
“∀x∈R,均有x2-x≤0”,故②错;
对③,因由“x2=4”得x=±2,
所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件,故③错;
对④,p,q均为真命题,由真值表判定p且q为真命题,故④正确.
16.对于集合M、N,定义:
M-N={x|x∈M且x
N},MN=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={x|y=log2(-x)},则A
B=________.
答案 (-∞,-
)∪[0,+∞)
解析 A={y|y≥-
},B={x|x<0},A-B={x|x≥0},B-A={x|x<-
},
则A
B=(A-B)∪(B-A)=(-∞,-
)∪[0,+∞).