版高考数学大一轮复习备考讲义浙江专用第一章 集合与命题11word版含答案.docx

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版高考数学大一轮复习备考讲义浙江专用第一章集合与命题11word版含答案

§1.1　集合及其运算

最新考纲

考情考向分析

1.了解集合、元素的含义及其关系.

2.理解集合的表示法.

3.了解集合之间的包含、相等关系.

4.理解全集、空集、子集的含义.

5.会求简单集合间的并集、交集.

6.理解补集的含义并会求补集.

集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和Venn图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.

1.集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示.

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法.

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B

（或B⊇A）

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB

（或BA）

集合

相等

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

3.集合的基本运算

运算

自然语言

符号语言

Venn图

交集

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

知识拓展

1.若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.

2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3.A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U（∁UA）＝A.

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集.（　×　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}.（　×　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　×　）

（4）{x|x≤1}＝{t|t≤1}.（　√　）

（5）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立.（　√　）

（6）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×　）

题组二　教材改编

2.[P11例9]已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U（A∪B）＝________.

答案　{x|x是直角}

3.[P44A组T5]已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.

答案　2

解析　集合A表示以（0,0）为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点

，

，则A∩B中有两个元素.

题组三　易错自纠

4.已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于（　　）

A.0或

B.0或3

C.1或

D.1或3或0

答案　B

解析　A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝

，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.

5.若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（　　）

A.5B.4C.3D.2

答案　C

解析　当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3，故选C.

6.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x

答案　（3，＋∞）

解析　A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，

∵A⊆B，B＝{x|x3.

7.若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.

答案　0或

解析　若a＝0，则A＝

，符合题意；

若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝

.

综上，a的值为0或

.

题型一　集合的含义

1.若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.

答案　0或1

解析　若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；

若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；

若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；

当a＝－1时，不符合题意.

综上可知，a＝0或a＝1.

2.设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.

答案　1

解析　∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.

经检验，a＝1符合题意.

3.若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是（　　）

A.2B.3C.4D.5

答案　B

解析　B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}.

思维升华

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合.

（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

题型二　集合的基本关系

典例

（1）（2017·衢州质检）已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4}，则集合M的个数为（　　）

A.2B.3

C.4D.5

答案　C

解析　满足条件的集合M有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个.

（2）已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x

答案　[2018，＋∞）

解析　由x2－2019x＋2018<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

可得a≥2018.

引申探究

本例

（2）中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________.

答案　（－∞，1]

解析　A＝{x|1

思维升华

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练

（1）已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（　　）

A.

或－

B.－

或

C.

或－

或0D.－

或

或0

答案　D

解析　由题意知，A＝{2，－3}.

当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；

当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝

，

由B⊆A，可得

＝－3或

＝2，

∴a＝－

或a＝

.

综上可知，a的值为－

或

或0.

（2）已知集合A＝

，B＝{x|x＋m2≥1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________________________.

答案　

∪

解析　因为y＝

2＋

，x∈

，

所以y∈

.又因为A⊆B，所以1－m2≤

，

解得m≥

或m≤－

.

题型三　集合的基本运算

命题点1　集合的运算

典例

（1）（2017·全国Ⅰ）已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则（　　）

A.A∩B＝{x|x<0}B.A∪B＝R

C.A∪B＝{x|x>1}D.A∩B＝∅

答案　A

解析　∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}.

又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}.

故选A.

（2）（2018届浙江源清中学月考）已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|x－1≤0}，则A∩B等于（　　）

A.（－1,1]B.（－1,1）

C.∅D.[－1,2]

答案　A

解析　集合A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，

B＝{x|x－1≤0}＝{x|x≤1}，A∩B＝{x|－1＜x≤1}＝（－1,1].

命题点2　利用集合的运算求参数

典例

（1）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A.－12

C.a≥－1D.a>－1

答案　D

解析　因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

（2）设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}.若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______.

答案　（－∞，－1]∪{1}

解析　因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，

解得a<－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞，－1]∪{1}.

思维升华

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.

跟踪训练

（1）（2017·天津）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C等于（　　）

A.{2}B.{1,2,4}

C.{1,2,4,6}D.{x∈R|－1≤x≤5}

答案　B

解析　A∪B＝{1,2,4,6}.

又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝{1,2,4}，

故选B.

（2）已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

A.[－1,2）B.[－1,3]

C.[2，＋∞）D.[－1，＋∞）

答案　D

解析　由x2－x－12≤0，得（x＋3）（x－4）≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}.又A∩B＝B，所以B⊆A.

①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；

②当B≠∅时，有

解得－1≤m<2.

综上，m的取值范围为[－1，＋∞）.

题型四　集合的新定义问题

典例若集合E＝{（p，q，r，s）|0≤p

A.200B.150

C.100D.50

答案　A

解析　在集合E中，当s＝1时，p＝q＝r＝0，此时只有1个元素；当s＝2时，p，q，r∈{0,1}，此时有2×2×2＝8（个）元素；当s＝3时，p，q，r∈{0,1,2}，此时有3×3×3＝27（个）元素；当s＝4时，p，q，r∈{0,1,2,3}，此时有4×4×4＝64（个）元素，故card（E）＝1＋8＋27＋64＝100.

在集合F中，（t，u）的取值可能是（0,1），（0,2），（0,3），（0,4），（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），共10种可能.同理，（v，w）也有10种可能，故card（F）＝10×10＝100，∴card（E）＋card（F）＝200.

思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.

（2）用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.

跟踪训练定义一种新的集合运算△：

A△B＝{x|x∈A，且x∉B}.若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于（　　）

A.{x|3

C.{x|3

答案　B

解析　A＝{x|1

1.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则（　　）

A.A＝BB.A∩B＝∅

C.ABD.BA

答案　D

2.（2017·浙江）已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于（　　）

A.（－1,2）B.（0,1）C.（－1,0）D.（1,2）

答案　A

解析　∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，

∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}.

故选A.

3.设集合U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{y|y=

x，x∈A}，则A∩（∁RB）等于（　　）

A.∅B.{x|x≥1}

C.{x|x≤0}D.{x|0＜x≤1}

答案　B

解析　当x＞0时，0＜

x＜1，B＝{y|0＜y＜1}，∁RB＝{y|y≥1或y≤0}，

∴A∩（∁RB）＝{x|x≥1}.

4.（2017·温州模拟）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＜0}，B＝{x|x≥1}，则A∩B等于（　　）

A.（1,2）B.（2，＋∞）

C.（1，＋∞）D.∅

答案　A

解析　∵A＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x≥1}.

∴A∩B＝{x|1＜x＜2}＝（1,2）.

5.已知集合A＝

，B＝{y|y＝2x}，则A∩B等于（　　）

A.（0,4]B.（0,1）

C.（0,1]D.[－4,1]

答案　B

解析　∵A＝{x|－4≤x<1}，B＝{y|y>0}，

∴A∩B＝（0,1），故选B.

6.已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A.{0,1}B.{1}

C.{1,2}D.{0,1,2}

答案　B

解析　因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}.

7.已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为（　　）

A.8B.4C.3D.2

答案　B

解析　由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集.

8.（2017·全国Ⅱ）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1}，则B等于（　　）

A.{1，－3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

答案　C

解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}.故选C.

9.若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3（2－x）≤1}，则A∩（∁UB）＝________________.

答案　{x|x<－1或x≥2}

解析　集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，

∵log3（2－x）≤1＝log33，∴0<2－x≤3，

∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，

∴∁UB＝{x|x<－1或x≥2}，

∴A∩（∁UB）＝{x|x<－1或x≥2}.

10.已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为__________.

答案　－

解析　∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－

或m＝1（舍去），

当m＝－

时，m＋2＝

≠3，符合题意，

∴m＝－

.

11.（2017·舟山模拟）若集合A＝{y|y＝lgx}，B＝{x|y＝

}，则集合A∩B＝________.

答案　[0，＋∞）

解析　集合A＝{y|y＝lgx}＝{y|y∈R}＝R，

B＝{x|y＝

}＝{x|x≥0}，

则集合A∩B＝{x|x≥0}＝[0，＋∞）.

12.已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________.

答案　[1，＋∞）

解析　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）.由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

13.已知集合A＝{x|1

A.

B.

C.（－∞，0]D.[0，＋∞）

答案　D

解析　∵A∩B＝∅，

①若当2m≥1－m，即m≥

时，B＝∅，符合题意；

②若当2m<1－m，即m<

时，

需满足

或

解得0≤m<

或∅，即0≤m<

.

综上，实数m的取值范围是[0，＋∞）.

14.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝______，n＝________.

答案　－1　1

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<1，

则B＝{x|m

15.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.

答案　6

解析　依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.

16.设集合M＝

，N＝

，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________.

答案　

解析　由已知，可得

即0≤m≤

；

即

≤n≤1，当集合M∩N的长度取最小值时，M与N应分别在区间[0,1]的左、右两端.

取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝

，N＝

，所以M∩N＝

∩

＝

，此时集合M∩N的“长度”的最小值为

－

＝

.