立体几何中的建系设点问题.docx
《立体几何中的建系设点问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何中的建系设点问题.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
立体几何中的建系设点问题
立体几何解答题的建系设点问题
在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：
建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？
如何正确快速写出点的坐标？
这是本文要介绍的内容。
一、基础知识：
（一）建立直角坐标系的原则：
如何选取坐标轴
1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z轴与底面的交点
2、x,y轴的选取：
此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值
得参考：
1）尽可能的让底面上更多的点位于x,y轴上
（2）找角：
x,y轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：
寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足x,y,z轴成右手系，所以在标x,y轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。
但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两
两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论：
（1）线面垂直：
1如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该
平面垂直
2两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直
3两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂
直
4直棱柱：
侧棱与底面垂直
（2）线线垂直（相交垂直）：
1正方形，矩形，直角梯形
2等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）
3菱形的对角线相互垂直
④勾股定理逆定理：
若AB2AC2BC2，则ABAC
（二）坐标的书写：
建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类
1、能够直接写出坐标的点
（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的A,C,D'点，坐标
特点如下：
x轴：
x,0,0y轴：
0,y,0z轴：
0,0,z
规律：
在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0
（2）底面上的点：
坐标均为x,y,0，即竖坐标z0，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：
以上图为例：
OC
I
AHB
则可快速写出H,I点的坐标，位置关系清晰明了
11
H1,12,0,I12,1,0
2、空间中在底面投影为特殊位置的点：
如果Ax1,y1,z在底面的投影为Ax2,y2,0，那么x1x2,y1y2（即点与投影点的横纵坐标相同）
由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。
例如：
正方体中的B'点，其投影为B，而B1,1,0所以B'1,1,z，而其到底面的距离为1，故坐标为B'1,1,1以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：
3、需要计算的点
①中点坐标公式：
Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2，则AB中点Mx12x,2y21y,z22z1，图2中的H,I,E,F等中点坐标均可计算
②利用向量关系进行计算（先设再求）：
向量坐标化后，向量的关系
也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：
求A'点的坐标，如果使用向量计算，则设A'x,y,z，可直接写出A1,0,0,B1,1,0,B'1,1,1，观察向量ABA'B'，而AB0,1,0，x10x1
'''
A'B'x1,y1,z1y11y0A'1,0,1
z10z1
二、典型例题：
例1：
在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D,E,F分别是
棱AB,BC,CD的中点，ABAC1,PA2，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
解：
PA平面ABCPAA,BPA
BAC90PA,AB,AC两两垂直
以AP,AB,AC为轴建立直角坐标系
坐标轴上的点：
A0,0,0,B1,0,0,C0,1,0,P0,0,2
中点：
D:
AB中点21,0,0
11
E:
BC中点1,1,0
22
F:
PC中点0,1,1
2
小炼有话说：
本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进
行详细书写。
这些过程在解答题中可以省略。
例2：
在长方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是棱BC,CC1上的点，
CFAB2CE，AB:
AD:
AA11:
2:
4，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标
思路：
建系方式显而易见，长方体AA1,AB,AD两两垂直，本题所给的是线段的比例，如果设ABa,AD2a,AA14a等，则点的坐标都含有a，不便于计算。
对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐标都为具体的数。
解：
因为长方体ABCDA1B1C1D1
AB,AD,AA1两两垂直
以AB,AD,AA1为轴如图建系，设AB为单位长度
1
AD2,AA14,CF1,CE
2
B1,0,0,C1,2,0,D0,2,0,B11,0,4,A10,0,4,C11,2,4,D10,2,4
3
E1,,0,F1,2,1
2
例3：
如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，ADDCCB1,ABC60，
CF平面ABCD，且CF1，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。
思路：
本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面ABCD找过C的相互垂直的直线即可。
由题意，BCD不是直角。
所以可以以其中一条边
为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐
标系
方案一：
（选择BC为轴），连结AC
以AC,CF,BC为坐标轴如图建系：
以CD,CF,CM为坐标轴如图建系：
3
同方案一）计算可得：
CM23,AB2
小炼有话说：
建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即z轴），对
于x,y轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为
坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就
是选过垂足C的直线为轴建立的坐标系。
1
例4：
已知四边形ABCD满足AD∥BC,BAADDCBCa，E是BC中2
点，将BAE翻折成B1AE，使得平面
思路：
在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。
本题在翻折时，BAE是等
边三角形，四边形AECD为60的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面B'AE平面AECD，结合B'AE是等边三角形，可取AE中点M，则可证B'M平面AECD，再在四边形AECD找一组过M的垂线即可建系解：
取AE中点M，连结B'M
B'AE是等边三角形
B'MAE平面B'AE平面AECD
B'M平面AECD，连结DM
四边形AECD为60的菱形
DMAE
例5：
如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，对角线AC,BD交于点
O,OA4,OB3,OP4，且OP平面ABCD，点M为PC的三等分点（靠
近P），建立适当的直角坐标系并求各点坐标思路：
由OP平面ABCD，可得OP作为z轴，在底面上可利用菱形对角
线相互垂直的性质，选取OB,OC作为x,y轴。
在所有点中只有M的坐标相对麻烦，对于三等分点可得PM1PC，从而转化为向量关系即可求出M坐标解：
OP平面ABCD
OPOB,OPOC
OP,OB,OC两两垂直以OP,OB,OC为坐标轴如图建系
可得：
P0,0,4,B3,0,0,C0,4,0,A0,4,0,D3,0,0
11
设Mx,y,z由PMPC可得：
PMPC
33
PMx,y,z4,PC0,4,4
小炼有话说：
1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质
2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点
坐标计算出来
例6：
如图所示的多面体中，已知正方形ABCD与直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，EF∥BD，EDBD,AD2,EFED1，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标思路：
题目已知面面垂直，从而可以找到DE与底面垂直，再由底面是正方形，可选AD,DC为x,y轴，图中F点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到
坐标轴上的点：
A2,0,0,C0,2,0,E0,0,1
底面上的点：
B2,2,0
F点两种确定方式：
①可看其投影，落在BD中点处2,2,0，且高度为1，所以22
22
F,,1
22
②设Fx,y,zEFx,y,z1,DB2,2,0
垂线即可建系（两种方案），对于坐标只有C坐标相对麻烦，但由
C1CA1A可以利用向量进行计算。
x0x0
由C1CA1A可得：
y22y22
z50z5
C0,22,5
综上所述：
A12,2,0,A2,2,0,B12,2,0,B2,2,0,
C10,0,5,C0,22,5方案二：
（利用正方形对角线相互垂直建系）如图建系：
由AA122计算可得A1HB1H2
A12,0,0,A0,2,0,B10,2,0
B2,0,0,C10,0,5
设Cx,y,z，则C1Cx,y,z5A1A2,2,0
x2x2
由C1CA1A可得：
y2y2C2,2,5
z50z5
综上所述：
A12,0,0,A0,2,0,B10,2,0,B2,0,0,C10,0,5,C2,2,5小炼有话说：
本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现，用方案二写出的坐标相对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而且数比较整齐。
（相信所给的AA122目的也倾向使用方案二建系）因为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐会决定计算过程是否更为简便。
所以若题目中建系有多种选择时，不妨观察所给线段长度的特点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基础
例8：
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,
AC=AA1=2,AD=CD=5,且点M和N分别为B1C和D1D的中点。
建立合适的空间直角坐标系并写出各点坐标
思路：
由A1A底面ABCD，ABAC可得AA1,AB,AC两两垂直，进而以它
们为轴建立坐标系，本题中A1,B1,C1,D1均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中D点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。
解：
侧棱A1A底面ABCD
A1AAB,A1AAC
ABACAB,AC,AA1两两垂直
以AB,AC,AA1为轴建立直角坐标系
底面上的点：
B0,1,0,C2,0,0
由AD=CD=5可得ADC为等腰三角形，若为AC中点，则DPAC
DPAD2AP22
D1,2,0
可投影到底面上的点：
A10,0,2,B10,1,2,C12,0,2,D11,2,2因为M和N分别为B1C和D1D的中点
1
M1,,1,N1,2,1
2
综上所述
在AB上，且EA∥PO，四边形ABC为直角梯形，
1
AD∥BC,BCAB,BCCDBOPO2,EAAOCD，建立适当的坐标
2
系并求出各点坐标
思路：
由条件可得ABAD，而PO平面ABCD，EA∥PO可得到EA平面ABCD，从而以EA,AB,AD为轴建系。
难点在于求底面梯形中AB,OD的长度。
可作出平面图利用平面几何知识处理。
解：
PO平面ABCD，EA∥PO
EA平面ABCD
EAAB,EAAD
AD∥BC,BCABADAB
AE,AD,AB两两垂直，如图建系：
1
EACD1E0,0,1
2
RtAOB中：
ABOB2OA23
cosAOBAO1AOB60
BO2
AD∥BCBOCAOB60
BCBOBOC为等边三角形
OCBCCDOCB60
DOC60COD为等边三角形
ODCD2
B3,0,0,O0,1,0,D0,3,0,C3,2,0
P在底面ABCD投影为O且PO2P0,1,2
综上所述：
B3,0,0,O0,1,0,D0,3,0,C3,2,0,P0,1,2,E0,0,1
例10：
已知斜三棱柱ABCA1B1C1,BCA90,ACBC2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
思路：
本题建系方案比较简单，A1D平面ABC，进而A1D作z轴，再过
D引AC垂线即可。
难点有二：
一是三棱柱的高未知，进而无法写出上
底面点的竖坐标；二是B1的投影不易在图中作出（需要扩展平面ABC），
以考虑利用向量计算得到。
以A1D,DC,DM为轴建立直角坐标系
C10,2,h
BA12,1,h,AC10,3,h
BA1AC1BA1AC103h20，解得h3
A10,0,3,C10,2,3
B12,2,3
综上所述：
A0,1,0,C0,1,0,B2,1,0,A10,0,3,C10,2,3,B12,2,3
升级会员 