立体几何中的建系设点问题.docx

1、立体几何中的建系设点问题立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问 题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段： 建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如 何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。 一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐 标轴1、 z轴的选取往往是比较容易的，依据的是 线面垂直，即 z轴要与坐标平面 xOy 垂直，在 几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上 的即是，而坐标原点即为 z 轴与底面的交点2、 x, y轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：1）尽可

2、能的让底面上更多的点位于 x, y 轴上（2）找角： x, y 轴要相互垂直，所以要利用 好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在 轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足 x, y, z轴成右手 系，所以在标 x, y轴时要注意。4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是 通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条线垂直），这个过程不能省略。6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：1如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直， 则这条直线与该平面垂直2两

3、条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平 面垂直3两个平面垂直， 则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直4直棱柱：侧棱与底面垂直（2 ）线线垂直（相交垂直） ：1正方形，矩形，直角梯形2等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）3菱形的对角线相互垂直 勾股定理逆定理：若 AB2 AC2 BC2 ，则 AB AC（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照 特点可以分为 3 类1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为 1）中的 A,C,D 点，坐标特点如下：x 轴： x,0,0 y 轴： 0,y,0 z 轴： 0,0,z规律：在

4、哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为 0 （2）底面上的点：坐标均为 x,y,0 ，即竖坐标 z 0，由于底面在作立 体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底 面的平面图进行参考：以上图为例：OCIAHB则可快速写出 H,I 点的坐标，位置关系清晰明 了11H 1,12,0 ,I 12 ,1,02、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果 A x1, y1,z 在底面的投影为 A x2, y2,0 ，那么 x1 x2, y1 y2 （即点 与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐 标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点

5、到底 面的距离。例如：正方体中的 B点，其投影为 B，而B 1,1,0 所以 B 1,1,z ， 而其到底面的距离为 1，故坐标为 B 1,1,1 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊 点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点 中 点 坐 标 公 式 ： A x1, y1,z1 ,B x2,y2,z2 ， 则 AB 中 点 M x1 2x ,2y 21y ,z 22z 1，图2中的 H,I,E,F 等中点坐标均可计算 利用向量关系进行计算（先设再求） ：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方 法通常是先设出所求点的坐标，

6、再选取向量，利用向量关系解出变量 的值，例如：求 A 点的坐标，如果使用向量计算，则设 A x,y,z ，可直 接写出 A 1,0,0 ,B 1,1,0 ,B 1,1,1，观察向量 AB AB ，而 AB 0,1,0 ， x 1 0 x 1 AB x 1,y 1,z 1 y 1 1 y 0 A 1, 0,1z 1 0 z 1二、典型例题：例 1：在三棱锥 P ABC中，PA 平面 ABC， BAC 90 ，D,E,F 分别是棱 AB, BC,CD的中点， AB AC 1,PA 2 ，试建立适当的空间直角坐标系 并确定各点坐标解： PA 平面 ABC PA A,B P ABAC 90 PA, A

7、B, AC 两两垂直以 AP, AB, AC 为轴建立直角坐标系坐标轴上的点：A 0,0,0 ,B 1,0,0 ,C 0,1,0 , P 0,0,2中点： D: AB中点 21,0,011E :BC中点 1, 1,022F : PC 中点 0, 1 ,12小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。这些过程在解答题中可以省略。例 2 ：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， E,F 分别是棱 BC, CC1 上的点，CF AB 2CE， AB : AD : AA1 1: 2 : 4 ，建立适当的直角坐标系并写出点 的坐标思路：建系方式显而易见， 长方体 AA1,

8、 AB,AD 两两垂直，本题所给的是线段的比例，如果 设 AB a, AD 2a,AA1 4a 等，则点的坐标都含 有a ，不便于计算。对待此类问题可以通过设 单位长度，从而使得坐标都为具体的数。 解：因为长方体 ABCD A1B1C1D1AB,AD, AA1两两垂直以 AB, AD, AA1为轴如图建系，设 AB 为单位长度1AD 2, AA1 4,CF 1,CE2B 1,0,0 ,C 1,2,0 ,D 0,2,0 ,B1 1,0,4 , A1 0,0,4 ,C1 1,2,4 ,D1 0,2,43E 1, ,0 , F 1,2,12例 3：如图，在等腰梯形 ABCD中，ABCD ，AD DC

9、 CB 1, ABC 60 ，CF 平面 ABCD ，且 CF 1，建立适当的直角 坐标系并确定各点坐标。 思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在 平面 ABCD找过C的相互垂直的直线即可。 由题 意， BCD 不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系方案一：（选择 BC 为轴），连结 AC以 AC, CF ,BC 为坐标轴如图建系：以 CD,CF ,CM 为坐标轴如图建系：3同方案一）计算可得： CM 23, AB 2小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即 z 轴），对于 x, y 轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所

10、在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足 C 的直线为轴建立的坐标系。1例 4：已知四边形 ABCD满足 AD BC, BA AD DC BC a ，E是BC中 2点，将 BAE 翻折成 B1AE，使得平面思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置 关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时， BAE 是等边三角形，四边形 AECD为60 的菱形是不变的， 寻找线面垂直时， 根据 平面 BAE 平面 AECD ，结合 B AE是等边三角形，可取 AE 中点 M ，则 可证 BM 平面 AECD ，再在四边形 AECD 找一

11、组过 M 的垂线即可建系 解：取 AE中点M ，连结 BMBAE 是等边三角形BM AE 平面 B AE 平面 AECDBM 平面 AECD ，连结 DM四边形 AECD为60 的菱形DM AE例 5：如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱形， 对角线 AC,BD 交于点O,OA 4,OB 3,OP 4，且 OP 平面 ABCD ，点 M 为 PC的三等分点（靠近 P ），建立适当的直角坐标系并求各点坐标 思路：由OP 平面 ABCD ，可得 OP 作为 z轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性质，选取 OB,OC 作为 x, y 轴。在所有点中只有 M 的坐标 相对麻烦，对于三等分点可

12、得 PM 1PC ，从而转化为向量关系即可求 出 M 坐标 解： OP 平面 ABCDOP OB,OP OCOP,OB,OC 两两垂直 以OP,OB, OC为坐标轴如图建系可得： P 0,0,4 ,B 3,0,0 ,C 0,4,0 , A 0, 4,0 ,D 3,0,011设 M x, y, z 由 PM PC 可得： PM PC33PM x,y,z 4 , PC 0,4, 4小炼有话说：1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来例 6：如图所示的多面体中，已知正方形 ABCD 与直角梯形 BDEF 所在 的平面互相垂直，

13、 EFBD，ED BD,AD 2, EF ED 1，试建立适当的 空间直角坐标系并确定各点坐标 思路：题目已知面面垂直，从而可以找到 DE 与底面垂直，再由底面是 正方形，可选 AD,DC为x,y轴，图中 F点坐标相对麻烦，可以用投影法 和向量法计算得到坐标轴上的点： A 2,0,0 , C 0, 2,0 , E 0,0,1底面上的点： B 2, 2,0F 点两种确定方式： 可看其投影，落在 BD 中点处 2 , 2 ,0 ，且高度为 1 ，所以 2222F , ,122 设F x,y,z EF x,y,z 1 ,DB 2, 2,0垂线即可建系（两种方案） ，对于坐标只有 C 坐标相对麻烦，但

14、由C1C A1 A可以利用向量进行计算。x 0 x 0由 C1C A1A 可得： y 2 2 y 2 2z 5 0 z 5C 0 , 2 2 , 5综上所述：A1 2, 2,0 ,A 2, 2,0 ,B1 2, 2,0 ,B 2, 2,0 ,C1 0,0, 5 ,C 0, 2 2, 5 方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系） 如图建系：由 AA1 2 2 计算可得 A1H B1H 2A1 2,0,0 ,A 0, 2,0 ,B1 0,2,0B 2,0,0 ,C1 0,0, 5设C x,y,z ，则 C1C x,y,z 5 A1A 2, 2,0x 2 x 2由 C1C A1A 可得： y 2 y

15、 2 C 2, 2 , 5z 5 0 z 5综上所述：A1 2,0,0 ,A 0, 2,0 ,B1 0,2,0 ,B 2,0,0 , C1 0,0, 5 ,C 2, 2, 5 小炼有话说：本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现， 用方案二写出的坐标相对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而 且数比较整齐。（相信所给的 AA1 2 2 目的也倾向使用方案二建系）因 为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐会决 定计算过程是否更为简便。所以若题目中建系有多种选择时，不妨观 察所给线段长度的特点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基 础例 8 ： 如 图 ， 在 四 棱 柱

16、 ABCD - A1B1C1D1 中 ， 侧 棱 A1A 底面 ABCD ,AB AC,AB=1,AC = AA1 = 2, AD = CD = 5,且点 M 和N 分别为 B1C和D1D 的中点。建立合适 的空间直角坐标系并写出各点坐标思路：由 A1A 底面ABCD ，AB AC可得 AA1, AB, AC两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中 A1,B1,C1,D1 均可通过投影到底面得到横纵坐 标，图中 D 点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何知 识进行计算。解： 侧棱 A1A 底面 ABCDA1A AB, A1 A ACAB AC AB, AC , AA1两两垂直以 A

17、B,AC, AA1为轴建立直角坐标系底面上的点： B 0,1,0 ,C 2,0,0由 AD = CD = 5 可得 ADC 为等腰三角形， 若 为 AC 中点，则 DP ACDP AD 2 AP2 2D 1, 2,0可投影到底面上的点： A1 0,0,2 , B1 0,1,2 ,C1 2,0,2 ,D1 1, 2,2 因为 M 和N 分别为 B1C和D1D 的中点1M 1, ,1 , N 1, 2,12综上所述在 AB 上 ， 且 EA PO ， 四 边 形 A B C 为 直 角 梯 形 ，1ADBC,BC AB, BC CD BO PO 2,EA AO CD ，建立适当的坐标2系并求出各点

18、坐标思路：由条件可得 AB AD ，而PO 平面 ABCD，EAPO可得到 EA 平 面 ABCD ，从而以 EA, AB, AD为轴建系。难点在于求底面梯形中 AB,OD 的 长度。可作出平面图利用平面几何知识处理。 解： PO 平面 ABCD， EAPOEA 平面 ABCDEA AB, EA ADADBC, BC AB AD ABAE,AD,AB 两两垂直，如图建系：1EA CD 1 E 0, 0,12Rt AOB 中： AB OB2 OA2 3cos AOB AO 1 AOB 60BO 2ADBC BOC AOB 60BC BO BOC 为等边三角形OC BC CD OCB 60DOC

19、60 C O D为等边三角形OD CD 2B 3,0,0 ,O 0,1,0 , D 0,3,0 ,C 3,2,0P在底面 ABCD投影为O且PO 2 P 0,1,2综上所述： B 3,0,0 ,O 0,1,0 ,D 0,3,0 ,C 3,2,0 , P 0,1,2 , E 0,0,1例 10 ： 已 知 斜 三 棱 柱 ABC A1B1C1, BCA 90 ,AC BC 2, A1 在 底 面 ABC上的射影恰为 AC 的中点 D ，又知 BA1 AC1 ，建立适当的空间直角坐标系并 确定各点坐标思路：本题建系方案比较简单， A1D 平面 ABC，进而 A1D作z轴，再过D引 AC垂线即可。难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标； 二是 B1的投影不易在图中作出 （需要扩展平面 ABC ），以考虑利用向量计算得到。以 A1D,DC ,DM 为轴建立直角坐标系C1 0,2, hBA1 2, 1,h , AC1 0,3,hBA1 AC1 BA1 AC1 0 3 h2 0 ，解得 h 3A1 0,0, 3 , C1 0,2, 3B1 2,2, 3综上所述： A 0, 1,0 ,C 0,1,0 ,B 2,1,0 , A1 0,0, 3 ,C1 0,2, 3 ,B1 2,2, 3