机器人学蔡自兴课后习题答案可编辑修改word版.docx
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机器人学蔡自兴课后习题答案可编辑修改word版
其余的比较简单，大家可以自己考虑。
3.坐标系{B}的位置变化如下：
初始时，坐标系{A}与{B}重合，让坐标系{B}
BB
绕Z轴旋转角；然后再绕X旋转角。
给出把对矢量BP的描述变为对AP描述的旋转矩阵。
解：
坐标系{B}相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变
换顺序为依次右乘。
∴对AP描述有
AP=ATBP；
B
B
其中AT=Rot（z,）Rot（x,）。
9.图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。
要求把它们重新摆放在图2-10b所示位置。
（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。
（2）作图说明每个从右至左的变换序列。
（3）作图说明每个从左至右的变换序列。
解：
（1）方法1:
如图建立两个坐标系{o1x1y1z1}、{o2x2y2z2}，与2个楔块相固联。
图1：
楔块坐标系建立（方法1）
对楔块1进行的变换矩阵为：
T1=Rot（y,90）Rot（z,90）；
对楔块2进行的变换矩阵为：
T=Trans（-3,0,4）Rot（z,-90o）0TRot（x,90o）Rot（z,180o）；
⎡10
⎢01
其中0T=⎢
00⎤
0⎥；
2
所以：
T1
⎢0010⎥
⎢⎥
⎣0⎦
⎡0010⎤
⎢100⎥
=⎢⎥
⎢0100⎥
⎢⎥
⎣00⎦
⎡0
⎢1
；T=⎢
⎢0
⎢
⎣
0-12⎤
00⎥
-104⎥
00⎥
对楔块2的变换步骤：
①绕自身坐标系X轴旋转90︒；
②绕新形成的坐标系的Z轴旋转180︒；
③绕定系的Z轴旋转-90︒；
④沿定系的各轴平移（-3,0,4）。
方法2：
如图建立两个坐标系{o1x1y1z1}、{o2x2y2z2}与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。
图1：
楔块坐标系建立（方法2）
对楔块1进行的变换矩阵为：
T1=Rot（y,90）Rot（z,90）；
对楔块2进行的变换矩阵为：
2
T=Trans（-2,0,9）Trans（4,0,0）Rot（y,90o）Rot（x,180o）Rot（z,-90o）；
⎡001
⎢100
所以：
T=⎢
⎢010
⎢
⎣00
0⎤⎡0
⎥⎢
⎥；T=⎢
0⎥⎢0
⎥⎢
⎦⎣
0-12⎤
00⎥
。
-109⎥
00⎥
备注：
当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。
（2）、（3）略。
2.图3-11给出一个3自由度机械手的机构。
轴1和轴2垂直。
试求其运动方程式。
解：
方法1建模：
如图3建立各连杆的坐标系。
图3：
机械手的坐标系建立
根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表1。
表1：
机械手的连杆参数
杆杆
i
ai
di
i
1
90o
L1
0
1
2
0
L2
0
2
3
0
0
0
3
该3自由度机械手的变换矩阵：
0T=AAA；
⎡c1
⎢s
0s1
0-c
L1c1⎤Ls⎥
3123
⎡c2
⎢s
-s2c
0L2c2⎤
0Ls⎥
A=⎢1
1⎢01
⎢
⎣00
111⎥；
00⎥
⎥
01⎦
A=⎢2
2⎢0
⎢
⎣0
222⎥；
010⎥
⎦
001⎥
⎡c3
⎢s
-s3c
00⎤
00⎥
A=⎢3
3⎢0
⎢
⎣0
3⎥；
010⎥
1
⎥
00⎦
⎡c1c2c3-c1s2s3
⎢scc-sss
-c1c2s3-c1s2c3
-scs-ssc
s1
-c
L1c1+L2c1c2⎤Ls+Lsc⎥
0T=⎢123
123
123
123
111
212⎥
3⎢sc+cs
-ss+cc0
Ls⎥
⎢2323
⎣0
2323
00
22⎥
1⎦
方法二进行建模：
坐标系的建立如图4所示。
图4：
机械手的坐标系建立
根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表2。
表2：
机械手的连杆参数
杆杆
i-1
ai-1
di
i
1
0
0
0
1
2
90o
L1
0
2
3
0
L2
0
3
⎡c1
-s100⎤
⎡c2-s2
0L1⎤
⎢s
c00⎥
⎢00
-10⎥
A=⎢1
1⎢0
1⎥；
010⎥
A=⎢
2⎢sc
⎥；
00⎥
⎢
⎣
⎡c3
⎢s
00
-s30
c0
⎥⎢⎥
⎦⎣⎦
L2⎤
0⎥
A=⎢3
3⎢0
⎢
⎣0
3⎥；
010⎥
1
⎥
00⎦
⎡c1c2c3-c1s2s3
⎢scc-sss
-c1c2s3-c1s2c3
-scs-ssc
s1
-c
L1c1+L2c1c2⎤Ls+Lsc⎥
0T=⎢123
123
123
123
111
212⎥
3⎢sc+cs
-ss+cc0
Ls⎥
⎢2323
⎣0
2323
00
22⎥
1⎦
3.图3-12所示3自由度机械手，其关节1与关节2相交，而关节2与关节3
平行。
图中所示关节均处于零位。
各关节转角的正向均由箭头示出。
指定本机
械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵0T，1T和2T。
123
解：
对于末端执行器而言，因为单独指定了末端执行器的坐标系，则要确定末端执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。
方法1建模：
按照方法1进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图5。
图5：
机械手的坐标系建立
连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。
机械手的D-H参数值见表3。
表3：
机械手的连杆参数
杆杆
i
ai
di
i
1
90o
0
L1+L2
1
2
0
L3
0
2
3
0
L4
0
3
末端执行器
0
0
0
4
注：
关节变量
1=2=3=4=0。
将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为：
⎡100
⎢00-1
T=
0⎤⎡100
0⎥；1T=⎢010
L3⎤
⎥
⎥；
1⎢01
⎢
⎣0
⎡1
⎢0
0L1
0
00
10
+L2⎥
⎥
⎦
L4⎤
0⎥
2⎢0010⎥
⎢⎥
⎣00⎦
⎡1000⎤
⎢0100⎥
2=⎢
3⎢001
⎢
⎣00
⎥3=⎢⎥
0⎥末⎢0010⎥
⎥⎢⎥
⎦⎣00⎦
方法2建模：
按照方法2进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图6。
图6：
机械手的坐标系建立
3自由度机械手的D-H参数值见表4。
表4：
机械手的连杆参数
杆杆
i-1
ai-1
di
i
1
0
0
L1+L2
1
2
90o
0
0
2
3
0
L3
0
3
末端执行器
0
L4
0
4
注：
关节变量
1=2=3=4=0。
将表4中的参数带入得到各变换矩阵分别为：
0⎤
0⎥
0⎢⎥
10⎥
⎢2⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎡100
⎢010
2=⎢
3⎢001
⎢
⎣00
L3⎤
⎥
⎥；
0⎥
⎥
⎦
⎡100
⎢010
3=⎢
末⎢001
⎢
⎣00
L4⎤
⎥
⎥
0⎥
⎥
⎦
⎡010
⎢001
1.已知坐标系{C}对基座标系的变换为：
C=⎢
⎢100
⎢
⎣00
4⎤
3
⎥
⎥；对于基座标系的微分
0⎥
⎥
⎦
平移分量分别为沿X轴移动0.5，沿Y轴移动0，沿Z轴移动1；微分旋转分量分别为0.1，
1.2和0。
（1）求相应的微分变换；
（2）求对应于坐标系{C}的等效微分平移与旋转。
解：
（1）对基座标系的微分平移：
d=[0.5,0,1]T；
对基座标系的微分旋转：
=[0.1,0.2,0]T；
⎡0
∆=⎢0
00.2
0-0.1
0.5⎤
⎥
⎥；
⎢-0.20.101⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎡0.20
⎢-0.10
相应的微分变换：
dc=∆c=
00.5⎤
0⎥
⎢0-0.2
⎢
⎣
0.1
0
0.5⎥
⎥
⎦
（2）由相对变换C可知n、o、a、p，
c=n⋅（（⨯p）+d）=0.5；cd=o⋅（（⨯p）+d）=0.5；cd=a⋅（（⨯p）+d）=0
c=n⋅=0；c=o⋅=0.1；c=a⋅=0.2
xyz
对应于坐标系{C}的等效微分平移：
cd=[0.5;0.5;0]；微分旋转：
c=[0;0.1;0.2]。
2.试求图3.11所示的三自由度机械手的雅可比矩阵，所用坐标系位于夹手末端上，其姿态与第三关节的姿态一样。
解:
设第3个连杆长度为L3。
1）
使用方法1建模，末端执行器的坐标系与连杆3的坐标系重合，使用微分变换法。
图7：
机械手的坐标系建立表5：
D-H参数表
杆杆
i
ai
di
i
1
90o
L1
0
1
2
0
L2
0
2
3
0
0
0
3
⎡c（2+3）
⎢s（+）
-s（2+3）0
c（+）0
L2c2⎤Ls⎥
⎡c3
⎢s
-s3c
00⎤
00⎥
1T=⎢2323
22⎥；2T=⎢33
⎥；3T=E；
3⎢0
⎢
⎣
010⎥
001⎥
3⎢0
⎢
⎣
010⎥3
⎥
00⎦
由上式求得雅可比矩阵：
⎡L2s3
⎢Lc
00⎤
00⎥
⎢23
⎢0
TJ=⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢
⎣0
⎥
00⎥
0
⎥；
0⎥
00⎥
⎥
11⎥⎦
2）
使用方法2建模，使用微分变换法。
图8：
机械手的坐标系建立表6：
D-H参数表
杆杆
i-1
ai-1
di
i
1
0
0
0
1
2
90o
L1
0
2
3
0
L2
0
3
⎡c（2+3）-s（2+3）0
L1+L2c2⎤
⎡c3
-s30L2⎤
⎢00
-10⎥
⎢s
c00⎥
1T=⎢⎥；2T=⎢33⎥；
2
3⎢s（+）c（+）0Ls⎥3⎢0010⎥
⎢323
⎣00
22⎥⎢⎥
1⎦⎣⎦
3
3T=E；
由上式求得雅可比矩阵：
⎡0
⎢0
L2s30⎤
Lc0⎥
⎢
TJ=⎢-L1-L2c2
23⎥
00⎥
；
⎢s（+）00⎥
⎢23⎥
⎢c（2+3）
⎢
⎢
⎣0
00⎥
⎥
11⎥⎦
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