111命题 教案人教A版选修21.docx
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111命题教案人教A版选修21
1.1.1命题
●三维目标
1.知识与技能
理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．
2．过程与方法
通过学生举命题的例子，培养他们的辨析能力及分析问题和解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．
●重点难点
重点：
命题的概念、命题的构成．
难点：
分清命题的条件、结论和判断命题的真假．
（教师用书独具）
●教学建议
命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假，重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破本节的难点．
●教学流程
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⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习．⇒
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课标解读
1.了解命题的概念．（难点）
2.理解命题的构成，并能指出此类命题的条件和结论．（重点）
3.能判断一些简单命题的真假．（难点）
命题的概念
【问题导思】
给出下列语句：
（1）2＋4＝7；
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行；
（3）6能被2整除；
（4）全等三角形面积相等．
1．这些语句的表述形式有什么特点？
【提示】 都是陈述句．
2．你能判断这些语句的真假吗？
【提示】 能，
（2）、（3）、（4）为真；
（1）为假．
1．定义：
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
2．分类：
（1）真命题：
判断为真的语句；
（2）假命题：
判断为假的语句.
命题的结构
【问题导思】
观察命题：
（1）若整数a是素数，则a是奇数；
（2）若两个三角形全等，则它们的面积相等．
上述命题的形式是怎样的？
【提示】 “若……，则……”的形式．
命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是命题的条件，q是命题的结论.
命题的判断
下列语句中是命题的有________．
①一个数不是正数就是负数；
②0是自然数吗？
③22018是一个很大的数；
④4是集合{2,3,4}的元素；
⑤作△ABC≌△A′B′C′.
【思路探究】 以上语句都是陈述句吗？
你能判断它们的真假吗？
【自主解答】 ②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大，不能判断真假，不是命题；⑤是祈使句，不是命题．①是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数，④是命题，为真命题．
【答案】 ①④
判断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：
（1）一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
（2）该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
判断下列语句是不是命题，并说明理由．
（1）函数f（x）＝3x（x∈R）是指数函数；
（2）x2－3x＋2＝0；
（3）函数y＝cosx是周期函数吗？
（4）集合{a，b，c}有3个子集．
【解】
（1）是命题，满足指数函数的定义，为真．
（2）不是命题，不能判定真假．
（3）不是命题，是疑问句，不能判断真假．
（4）是命题．因为{a，b，c}有23＝8个子集，所以集合{a，b，c}有3个子集，为假．
因此
（1）与（4）是命题；
（2）与（3）不是命题.
命题真假的判断
给出下列几个命题：
（1）若x，y互为相反数，则x＋y＝0；
（2）若a＞b，则a2＞b2；
（3）若x＞－3，则x2＋x－6≤0；
（4）若a，b是无理数，则a＋b是无理数．
其中的真命题有________个．
【思路探究】
【自主解答】 根据两数互为相反数的性质，
（1）正确，为真命题；
（2）中若a、b均为负数时不正确，为假命题；（3）中若取x＝3＞－3，而x2＋x－6＝6＞0，故为假命题；（4）中取a＝
，b＝－
，则a、b均为无理数，而a＋b＝0为有理数，故为假命题．
【答案】 1
1．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况．
2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．
已知a，b为两条不同的直线，α，β为两不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
【解析】 如图所示，因为α，β为两个不同的平面，所以α∩β＝c，但平面α，β不会重合，因为a⊥α，b⊥β，所以a与b不一定相交．故“α，β相交，则a，b相交”是假命题．
【答案】 D
命题的构成
把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
（1）各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除．
（2）斜率相等的两直线平行．
（3）钝角的余弦值是负值．
【思路探究】
（1）上述命题的条件与结论分别是什么？
（2）怎样用“若p则q”的形式改写命题？
【自主解答】
（1）若一个整数的各位数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．
（2）若两条直线斜率相等，则这两条直线平行．
（3）若一个角为钝角，则这个角的余弦值是负值．
要把一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的改变，也能写成“若p，则q”的形式，但要注意语言的流畅性．
把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假．
（1）面积相等的两个三角形全等；
（2）当abc＝0时，a＝0，或b＝0，或c＝0；
（3）对顶角相等．
【解】
（1）若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．它是假命题．
（2）若abc＝0，则a＝0，或b＝0，或c＝0.它是真命题．
（3）若两个角为对顶角，则这两个角相等．它是真命题．
改写命题时，写错大前提致误
已知c＞0，当a＞b时，ac＞bc.
把该命题改写成“若p则q”的形式．
【错解】 若c＞0，a＞b，则ac＞bc.
【错因分析】 “已知c＞0”是大前提，条件应是“a＞b”，不能把它们全认为是条件．
【防范措施】 若已知命题中有大前提，在改写命题时，不能把大前提写在条件中，应仍作为命题的大前提．
【正解】 已知c＞0，若a＞b，则ac＞bc.
1．判断一个语句是否为命题应紧抓两点：
①是不是陈述句，②能否判断真假．
2．判断命题真假的难点是对已有知识的掌握，尤其是真命题的判断．
3．准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p则q”形式的关键．
1．（2018·湛江高二检测）下列语句为命题的是（ ）
A．x－1＝0 B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？
D．这是一棵大树
【解析】 C不是陈述句，A、D无法判断其真假，只有B是命题，且为假命题．
【答案】 B
2．下列命题是真命题的为（ ）
A．若
＝
，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则
＝
D．若x＜y，则x2＜y2
【解析】 只有A正确，B、C、D可以举反例验证．
【答案】 A
3．把命题“偶函数的图象关于y轴对称”改写成“若p，则q”的形式为________．
【答案】 若一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称
4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式并判断其真假：
（1）菱形的四条边相等；
（2）当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
（3）空集是任何集合的真子集．
【解】
（1）若一个四边形是菱形，则它的四条边相等．真命题．
（2）若x＝2，则x2－3x＋2＝0.真命题．
（3）若一个集合是空集，则这个集合是任何集合的真子集．假命题.
一、选择题
1．下列语句是命题的是（ ）
①三角形的内角和等于180°；②2>3；
③偶数是自然数；④x＞2；
⑤这座山真险啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤D．②③⑤
【解析】 ①②③是命题，④中x>2无法判断真假，⑤是感叹句，∴④⑤不是命题．
【答案】 A
2．（2018·郑州高二检测）在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【解析】 A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．
【答案】 D
3．下列说法正确的是（ ）
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
【解析】 将命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：
若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A是错误的；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根．”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B是错误的；选项D是正确的；选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”．
【答案】 D
4．（2018·黔东南州高二检测）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．a＞b，c＞d⇒ac＞bd
B．a＜b⇒a2＜b2
C.
＜
⇒a＞b
D．a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d
【解析】 可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．
【答案】 D
5．设有不同的直线m，n和不同的平面α，β.下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
【解析】 若α∥β，m⊂β，n⊂β可知m∥α，n∥α，但m与n可以相交，所以A不正确；B不正确；若α⊥β，则α中仍有不与β垂直的直线，C不正确；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n，又m⊥β，则m∥n，又m⊄α，所以m∥α，D正确．
【答案】 D
二、填空题
6．指出下列命题的条件和结论．
（1）当x＝2时，x2－3x＋2≠0.条件是：
________，结论是：
________.
（2）平行四边形的对角线互相平分．条件是：
________，结论是：
________.
【解析】
（1）条件是“x＝2”，结论是“x2－3x＋2≠0”．
（2）命题可改写为：
若一个四边形为平行四边形，则它的对角线互相平分．
条件是“四边形为平行四边形”，结论“对角线互相平分”．
【答案】
（1）x＝2 x2－3x＋2≠0
（2）四边形为平行四边形 对角线互相平分
7．下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题的序号是________．
【解析】 ②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①、④正确．
【答案】 ①④
8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45°的角．其中真命题的编号是________．（写出所有真命题的编号）
【解析】 如图所示，取BD的中点E，连AE、EC，取AC、AD的中点F、G，连结EF、FG、EG.
∵AE⊥BD，EC⊥BD，
∴∠AEC就是二面角A—BD—C的平面角．
∴∠AEC＝90°.
由BD⊥平面AEC，可知BD⊥AC，①正确；
由△AEC≌△AED，可知AD＝AC＝CD，②正确；
由AE⊥平面BCD知，∠ABE＝45°是AB与平面BCD所成的角，③正确．故①②③为真命题．
【答案】 ①②③
三、解答题
9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
②若x＝4，则2x＋1<0；
③一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
④求证：
x∈R时，则方程x2－x＋2＝0无实根．
【解】 ①②③是命题，④不是命题．
命题①中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，
显然其最小正周期为π，是真命题．
命题②中，当x＝4时，2x＋1>0，∴②是假命题．
命题③中，若等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．
④是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
（1）当m>
时，方程mx2－x＋1＝0无实根；
（2）平行于同一平面的两条直线平行．
【解】
（1）命题可改写为：
若m>
，则mx2－x＋1＝0无实根．
∵当m>
时，Δ＝1－4m<0，所以是真命题．
（2）命题可改写为：
若两直线平行于同一平面，则它们互相平行．
∵平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题．
11．命题“ax2－2ax－3≤0恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．
【解】 由于ax2－2ax－3≤0恒成立是真命题，
（1）当a＝0时，－3≤0成立．
（2）当a≠0时，应满足
，解之得－3≤a＜0.
由
（1）
（2）得a的取值范围为[－3,0].
（教师用书独具）
设有两个命题：
p：
函数y＝lg（x2－2x＋m）的值域为R；q：
函数f（x）＝－（7－3m）x是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
【自主解答】 若命题p为真命题，则x2－2x＋m的值可取到一切正数，故Δ＝4－4m≥0，即m≤1；若命题q为真命题，则7－3m＞1，即m＜2.所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真，即
或
故m的取值范围是1＜m＜2.
已知命题p：
|x2－x|≥6，q：
x∈Z，且p假q真，求x的值．
【解】 ∵p假q真
∴
∴
∴
故x的取值为：
－1,0,1,2.
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